“点到直线的距离”教学逻辑重构路径研究

毋晓迪, 韦双爱, 韦柳伶

(广西民族大学数学与物理学院,广西 南宁 530006)

0 引言

教学的有效性根植于逻辑性[1].数学学科核心素养的落实与关键能力的发展需要教师根据教学的逻辑设计学习活动,引导学生在自主探究中主动生成.由于知识之间存在着具有相同逻辑形式的不同表达,有教师基于教材中知识呈现的布局进行教学准备,也有教师根据自身的把握和理解对教材融合重组,展现出丰富多彩的设计文本.而一个好的教学设计需要关注数学知识的学科逻辑、关注学生的认知逻辑,更应该落脚于教的逻辑[2].

点到直线的距离是解析几何中常见的问题,是点到直线上所有点的距离的最小值,是刻画几何学中相关位置关系的重要几何量.对“点到直线距离公式”内涵的深入理解,有助于明确公式中字母的本质.2003年人教A版《普通高中教科书·数学》(必修2)采用面积法得出点到直线的距离公式,2019年人教A版《普通高中教科书·数学》(选择性必修第一册)(以下统称“新教材”)采取定义法,把两直线的交点坐标求出来,利用两点间的距离公式化简而得,这两种推导方法均是基于学生认知逻辑编写的,体现了学生的主体地位.由于学生心理认知具有阶段性,即使再完整的知识结构体系也会被分割,这样对学生系统化学习会产生不利影响.例如,用定义法推导公式的过程中,求交点的坐标以及代入两点间距离公式后化简过程是阻碍学生顺利推导出公式的绊脚石.

另外,新教材中的另一种推导方法——向量投影法,对学生的要求较高,缺少脚手架式的知识衔接与过渡,多数学生很难达到理解并掌握的层面要求,最终演变成教师“一言堂”的教学模式,学生对公式的理解就停留在以记忆为主的浅层学习上.鉴于此,以顺应学生的认知规律为出发点,有必要对当前教材中编排的内容主线进行适度重组,重构教学逻辑.

1 重构导入情境,旨在激发促学,追溯问题本源

新教材直接设置问题情境:如何求点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离?该问题涉及的字母较多,问题较为抽象.虽然多数学生有事先预习的行为,但是教材中采取定义法求距离,思路自然,而运算量较大,学生难以选取化简方法,容易出现计算失误等情况.如果一堂课的开始就出现思维阻塞,那么不仅无法有效激发学生的学习欲望,也不能打消学生的畏难心理.

为了有效突破思维壁垒,从方法论视角突出“点到直线距离公式”的本质,有必要对当前的导入情境进行重构.首先,简单温故平面内两点间距离公式:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则

其推导过程是通过构造直角三角形,借助勾股定理得出公式.其次,顺势设置问题1:已知点C(2,4)和直线l:2x+y-2=0,设点D(x,y)是直线l上的任一点,则

请学生思考:|CD|的最小值是多少?此时点D在什么位置?

经过讨论,学生解决问题的思路有:

2)从已有的认知经验出发,分析出点到直线的距离就是过该点的垂线段长度,只需要求出垂足坐标,根据两点间距离公式即可求出;

3)构造直角三角形,利用面积相等,求出斜边上的高,即为所求最小值(如图1所示);

图1

由求点到直线距离的实例重构导入情境,可以帮助学生降低思维认知负荷,在思考问题中发散思维,从多种方法中体悟求点到直线距离的核心本质.引导学生顺着“求距离、作垂直、析关系、构图形、巧运算”的认知逻辑,构建求点到直线距离公式的认知网络.

关于点到直线距离公式的得出,关注不同学生的知识表征方式,从具体实例感受求点到直线距离有不同的求解方法,为解决点P(x0,y0)到一般直线l:Ax+By+C=0的距离问题起铺垫作用.这样有助于合理消除公式推导中多字母混淆造成的思维抽象性与运算复杂性所引发的认知难度,彰显“促学”意义,对发展学生的数学学科核心素养具有促进意义.

2 重构内容顺序,优化教学路径,发展思维品质

学科教学的高效开展离不开三大逻辑,即学科逻辑、教的逻辑和学的逻辑.三大逻辑对标回答整个“教与学”的三大问题:为什么要教这个内容?为什么要这么教?为什么要这么学?因此,三大逻辑之间是相互关联的,具体联系可用图2表示.

图2

实际上,知识的学习需要遵循思维的秩序与规律,教学设计的过程是需要教师厘清教的逻辑的过程.而新知识的学习离不开旧知识的积累与铺垫,这就要求教学内容的呈现顺序适配教的逻辑,目的是转识(学科知识)成智(学生的个体经验).

从定性到定量重构公式推导思路,符合知识的发展顺序,也更贴合学生的认知发展规律.一方面,有助于学生捕捉关键信息,训练思维的灵活性,进而增加具身体验;另一方面,有助于自主建构新旧知识之间的逻辑关联,提升思维的深刻性和广阔性.

3 重构学生认知,变知识为能力,达成意义建构

知识的掌握与运用的过程,往往以能力的增长为落脚点.数学教学必须寓能力的发展于知识传授过程中,然而知识的传授需要着眼于能力的培养.而联系数学知识与能力有3个不可或缺的要素,它们分别是知识结构、思想方法和基本技能.上述3个要素使教学与学习活动变得更加有序,在此基础上,通过应用达到变通和迁移,进而促使能力得以形成和发展,变知识为能力,其过程如图3所示.

图3

图3中最上面的长箭头,表示数学知识可以直接转化为能力,这是由数学知识自身独有的价值所决定的.数学知识中蕴涵着丰富的思想方法,即便教师单纯传授知识,学生的能力也会获得发展.但这种知识向能力直接转化的途径是被动盲目的,以新课程改革理念为教学立足点,发展学生学科核心素养不能依赖于该教学路径.图3最下面的长箭头则表明能力对学习数学知识的决定作用.学习数学知识需要一定的能力作为基本保障,能力提升了,掌握知识的速度就会加快,习得的知识数量就会增多.

鉴于此,教师要把学生已有的知识储备和认知基础作为课堂教学的抓手,把握好教学时机,铺设符合学生认知逻辑发展的教学思路.而学生娴熟的基本活动经验能提升新知的获取效率.因此,教师要关注学生最先容易接受的问题解决思路,继而逐阶铺垫问题,带动学生思维拾级而上.

以学生对问题1的多视角解答思路为思维生长点重构逻辑认知.为了避免学生思维定势,以学生初中阶段所熟知的直线方程y=kx+b为切入点,以直线斜率为问题起点,同时以学生熟悉的三角形相似知识为突破口,同化新知识,引起顺应过程,进而解决点到直线的距离公式推导中的显性与隐性问题.

4 重构公式内涵,明确字母本质,助推思维进阶

数学公式是用符号表示数学量之间关系的一种表达方式,是数学概念或者特有规律的简洁反映.若学生只简单记忆公式的具体表征,不能厘清公式中每个字母(或符号)的本质含义,则容易养成“知其然”而“不知其所以然”的死记硬背的学习状态.

进一步思考,探索系数A,B,C的几何意义,可以借助新教材第67页习题第11题的结论:设点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,这条直线的方程还可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0,实现对直线法向量法的认知.

本节课的教学,不论采取何种方法推导点到直线的距离公式,最终都能得到公式

图4

而点P(x0,y0),则

由直线l的法向量为n=(A,B),知

若设点Q(x1,y1)是直线l上的任意一点,则

Ax1+By1+C=0.

通过挖掘点到直线距离公式的内涵,揭示公式中字母的本质,厘清数学知识的生成和发展路径,丰富学生数学学习的基本活动经验,教会学生挖掘公式背后所蕴含的逻辑、思想、方法和思维,创造“理解为本”的学习体验,引导学生思维结构、思维品质、思维方式和思维技巧向高层次进阶,形成系统的思维培养方法.

5 结语

教材作为知识的载体,需要教师根据实际情况灵活处理,构思具有可探究性和操作性的教学素材,规划好教学流程.根据教学目标预设学习“探究点”,在思维碰撞中发展思维能力,实现关键问题逐层突破.另外,教学应当帮助学生建立良好的知识结构,并发展学生的学科核心素养,若教材中的内容不能有效地帮助学生实现从实际发展水平自然过渡到潜在发展水平,则教师要着眼于学生的“最近发展区”,敢于重构、重组教材,尝试对教材实施二次加工,设置问题情境,串联起“思维断层带”,优化教学流程,丰富思维度,促成思维延伸.教师从“独自演奏”逐步向“协助伴奏”演变,实施从“预设建构”到“动态生成”的教学转变,学生的学习才能实现由低阶思维的被动学习向高阶思维的主动学习拾级迈进.