在球坐标系中分析液体对球面的静压力

黄 亮

(重庆市南开中学校,重庆 400030)

中学教学中,在处理理想液体对球面的静压力问题时,多从“阿基米德原理”入手.依托实验数据,关注整体效果.鲜有涉及压力产生方式、作用原理、过程细节及影响因素,致使该处存疑较多.球面(球体、球台、球缺等)作为基本几何体,其所受液体压力问题十分典型、基础.是理论学习与工程实践中的重要物理“元模型”,直接影响相关现象解释与原理分析.

定性讨论时,由球面几何对称性引申出的部分“结论”,也有待论证.以便师生了解推导过程,准确把握适用条件、应用范围.为探寻新型教学方式提供理论依据.

球坐标系作为三维正交坐标系的一种,在运用其分析球面受力时,描述方式简洁、变换过程灵活,符合学生的认知规律.利于师生将问题的探讨引向纵深.

在物理问题中,球坐标系用径向距离(位矢模长)r、极角(天顶角)θ、方位角φ确定空间中某点的位置,如图1.以下沿用这一惯例.部分学科中,会采用(ρ,φ,θ)表示距离、天顶角、转角等.需注意角的标记方式,切勿混淆.

图1 球坐标的物理意义

用球坐标表示球面上某处的面积元素[1](面积元、面积微元)时,可比拟“切西瓜”和“分月饼”的场景,如图2.从空间几何的角度来帮助学生理解:将“西瓜”水平切出薄圆片→沿薄片半径切出一个小扇面→扇面对应的“瓜皮”部分可认为是面积元素dS.

图2 球坐标中的面积元素

用级数或雅可比行列式的推导结果相同,过程不作展开.

1 分析方法与步骤

分析液体静压力前,沿重力加速度g的负方向设z轴,取球心处为原点建立球坐标系,如图3.令液体密度为ρ,球体半径为R,球心O所在深度为h0,则球面的面积元素为:

图3 球面所受液体压力的分析

dS=R2sinθdθdφ

该面积元素所在处液体深度为

hS=(h0-Rcosθ).

静止液体内部没有相对运动,切向力为0.故面积元素上所受液体静压力FS为该处的法向力,数值上等于该处液体静压强(法应力)p与面积dS的乘积

FS=pdS=ρghSdS=ρg(h0-Rcosθ)R2sinθdθdφ.

Fs指向球心,将其沿x、y、z方向分解后分别讨论.[2]积分区域D为球面的浸没部分,用球坐标表示为

D={(r,θ,φ)|r=R,θ1≤θ≤θ2,φ1≤φ≤φ2}.

球面所受液体压力的x方向分量(向Oxy平面投影得水平分量Fxy后再向x轴二次投影)为

(1)

y方向分量(向Oxy平面投影得水平分量Fxy后再向y轴二次投影)为

(2)

x、y轴满足右手系原则,当z轴取定后,两者的指向是任意的.且面积元的深度只与z轴相关.因此x、y方向上的规律具有相似性.因此可根据实际需要,令坐标系绕z轴旋转至合适位置以方便讨论.

z方向分量(向z轴投影)为

(3)

若为球形空腔盛装液体类问题,面积元上的压力元素方向背离球心,将FS取反即可,分析方法不变.

2 常用结论与规律

根据问题条件,确定浸没部位球坐标(r,θ,φ)的取值范围(积分区域D)后分别代入式(1)(2)(3)计算并讨论.

2.1 完整球面浸没

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤2π},

2.2 竖直半球浸没

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤π}.

球冠所受压力在y方向分量的大小等于球缺底面圆所受的液体压力,两者反向.z方向分量即为浮力,如图4.推广:

图4 竖直浸没的半球、球台与球缺

(a) 浸没球面的始末端关于y轴对称时:φ1+φ2=nπ(n=1,3),∑Fx=0 ;始末端关于x轴对称时:φ1+φ2=2π,∑Fy=0 ;且均与θ取值无关.

(b) 竖直球缺浸没时,球冠与其底面圆在水平方向上所受液体压力等大反向,在竖直方向上所受的液体压力与浮力等大同向.

(c) 竖直球台浸没时,球冠所受液体压力与两底面圆所受压力差等大反向,在竖直方向上所受的液体压力与浮力等大同向.

物体浸入静止流体中时,不会因液体压力作用而发生“左右摆动”或“前后偏移”.说明水平方向上的液体静压力是平衡的.故2)中结论可向任意曲面推广:浸没曲面在水平某方向上受到的液体压力分量,同曲面在与该方向垂直面上的正投影平面受到的液体压力等大.

2.3 水平半球浸没

上半球:D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π/2,0≤φ≤2π}.

球冠所受压力在z方向分量的大小等于球缺底面圆所受的液体压力与浮力的差.方向沿z轴负向,如图5.

图5 水平浸没的半球、球台与球缺

下半球:D={(r,θ,φ)|r=R,π/2≤θ≤π,0≤φ≤2π}.

球冠所受压力在z方向分量的大小等于球缺顶面圆所受的液体压力与浮力的和.方向沿z轴正向.推广:

(a) 水平球缺浸没时,球冠与其底面圆在竖直方向上所受液体压力差与浮力等大同向,在水平方向上所受的液体压力合为零.

(b) 水平球台浸没时,球冠所受液体压力在竖直方向与其两底面圆所受压力合与浮力等大同向,水平方向上所受的液体压力合为零.

2.4 1/4球浸没

图6 1/4球浸没的两种典型情况

水平1/4球面,所受压力在y方向分量的大小等于其竖直半圆面所受液体压力(球面在Oxz面上的正投影为半圆);z方向分量的大小等于底部半圆面所受的液体压力与浮力之差.方向沿z轴负向.

竖直1/4球:D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π,0≤φ≤π/2},

竖直1/4球面,所受压力在x、y方向分量的大小均等于其竖直半圆面所受液体压力;z方向分量等于浮力.

2.5 1/8球浸没

D={(r,θ,φ)|r=R,0≤θ≤π/2,0≤φ≤π/2},

图7 1/8球浸没

1/8球面,所受压力在x、y方向分量的大小均等于竖直1/4圆面所受液体压力(球面在Oxz面、Oyz面上的正投影均为1/4圆);z方向分量等于底部1/4圆面所受压力与浮力之和.

3 典型问题的解析

例1.将半球形漏斗倒扣后紧贴水平桌面放置.从位于漏斗最高处的孔向内注水,如图8(a).当漏斗内的水面刚好达到孔的位置时,漏斗浮起,水开始从下部流出.若漏斗内壁半径为R,水的密度为ρ,重力加速度取g.试求漏斗质量m.

图8 漏斗的受力分析

解析:漏斗浮起时,水对内壁压力的竖直分量∑Fz等于其重力.如图8(b).则漏斗质量为

在球坐标中很好地展现了内部液体对漏斗“托举”作用的产生机理.漏斗浮起瞬时,“托举力”与其重力平衡,将问题转化为“同一直线上的二力平衡”.

例2.水池的竖直内壁上设置有一个半球形的玻璃观察窗如图9(a),窗体向池内凹陷且外半径为R,池中液面距离观察窗球心的竖直高度差为h0,水的密度为ρ,重力加速度取g,试求窗体受到的水的静压力.

图9 观察窗的受力分析

可见池水对观察窗向球心“挤压”“往外推”的同时也在“向上抬”,如图9(b).随着液面高度的增加,静压力愈加趋近水平.

4 结语

球坐标的建立方式遵循了人们在生活中以自身为原点对空间的观察习惯,直观朴素.与笛卡尔坐标能很好地换算,中学生容易接受.且由于球面所受液体静压力始终沿其切面的法线方向.因此,在球坐标中力的分析被简化了.不论定量推算,还是定性分析,均显得严谨、自然,并合乎物理学研究问题的一般方法.

此外,在球壳、球体的质心位置判断、转动惯量分析等力学问题中,以及带电球面的场强、电势讨论等电磁学问题中,球坐标均有广阔应用,提供了清晰简明的观察视角.

教学中,恰当引入球坐标的方法或思路,能激发学生的探究兴趣,拓宽学科视野,有助于培育基本物理思想,提升其建构模型的意识和能力,[4]为进一步学习物理知识打好思维基础.