感性拼图 理性思考——一节数学实验探究课的教学与思考

李琳生

(江苏省南京市第一中学江北新区分校 211899)

数学实验课就是课堂教学中为探求或验证某个数学猜想、解决某类数学问题、获得某种数学理论,运用一定的物质技术手段,经由数学思维活动的参与,在典型的环境中或特定的条件下进行的一种数学实践活动[1]．

1 教学实践

本文基于数学活动课“拼图·公式”探索研究数学实验课的新教学模式:“先做后思,以思助做”．“先做后思”指的是先感性拼图,在多次尝试后总结拼图经验,理性思考出快速拼图的方法,从形的角度快速因式分解．“以思助做”指的是继续探索从数的角度如何快速因式分解,并以此助力快速拼图．

实验课流程结构如图1:

1.1 活动准备,视角铺垫

1.1.1 活动铺垫

前测写出下列图形(图2)能够验证的等式:

图2

设计意图学生会写出两类恒等式:(1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd和(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)和a2+2ab+b2=(a+b)2．课前完成课堂展示,并分析出现两类答案的理由,第(1)类是先看整体再看局部,第(2)类是先看局部再看整体.看图的角度不一样,得到的恒等式的顺序也不一样,为后面感悟整式乘法与因式分解的意义做铺垫．

1.1.2 活动材料

如图3所示的长方形和正方形纸片若干:A型、B型和C型．

图3

1.2 感性拼图,感悟本质

1.2.1 拼图与整式乘法

活动1 如果要拼成一个长为(a+2b)、宽为(a+b)的大长方形,需要A型纸片张, B型纸片张,C型纸片张．

设计意图凭感觉拼图学生会出现很多拼法．就不同拼法提问,所有拼成的图有一个共性,即需要A、B、C三种类型纸片的张数是定值．进而从数的角度思考为什么是定值,因为(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．活动1旨在从形的角度感悟整式乘法本质是一个整体到局部(积化和)的过程．

1.2.2 拼图与因式分解

活动2 给定1张A型纸片,4张B型纸片,3张C型纸片,若能拼成一个新的长方形,则长方形的长为,宽为.

设计意图学生以感性拼图仍然会出现很多拼法,不同拼法的共性是拼成的大长方形的长和宽是定值．基于活动1的经验及拼图中面积不变得到a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)这样一个恒等式．活动2旨在从形的角度感悟因式分解本质是一个局部到整体(和化积)的过程．

1.3 理性思考,以形助数

1.3.1 对比拼法 总结方法

对比展示几种不同拼法,如图4,引导学生思考哪种拼法更好,能够快速拼图．

图4

设计意图学生的直观感受是图4中的第一幅拼图更好、更整齐．引导学生思考并总结:按照一定顺序拼图可以高效快速拼图,如图5,可将平面分成四个区域,先在A区将A型纸片定好,因为A型和B型纸片有公共边,所以接着在左下角和右上角的B区将B型纸片与A型纸片贴合,最后在C区补上C型纸片,即可快速高效完成拼图．这也渗透了分类思想．

图5

1.3.2 由数想形 以形助数

活动3 基于以上活动经验,分解因式: 2a2+5ab+2b2．

设计意图基于活动经验及拼图方法的总结,学生再看2a2+5ab+2b2这个多项式时会由数想形取2张A型,5张B型和2张C型去拼成一个大长方形,如图6,由图得2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)．

图6

1.4 总结归纳,以数辅形

1.4.1 总结归纳 从特殊到一般

活动4 选取1到6之间的任意整数填在横线上:a2+ab+b2,并尝试对这个多项式分解因式．

设计意图活动4旨在让学生在拼图中体会关于a,b的二次三项式的系数需要满足一定的关系才能因式分解．进而引发思考:满足什么关系?先采用控制变量法将a2的系数定为1,对应在A区取1张A型纸片摆放,接下来考虑ab和b2两项系数的关系．基于拼图,如图7,引导学生画图思考得出ab的系数是两个B区纸片的个数之和,b2的系数恰是这两数之积．总结得a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)．

图7

1.4.2 利用公式 以数辅形

活动5 计算:(x+2)(x+3)=;(x+m)(x+n)=．

分解因式:x2+7x+12=;x2+(m+n)x+mn=.

设计意图活动3是利用拼图,从形的角度快速分解因式,基于活动4总结的规律,在活动5中利用公式a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)从数的角度快速分解因式．基于活动1和活动2的感悟,整式乘法和因式分解是一个互逆的过程,从而得出(a+mb)(a+nb)=a2+(m+n)ab+mnb2,利用这个公式也可快速进行整式乘法的运算．当学生能够利用公式快速因式分解后即可快速将多项式的和转化成积的形式,从而得到大长方形的长和宽,进而以数辅形,快速拼图．

2 教学思考

初中数学实验是学生通过动手动脑,以“做”为支架的活动方式,是在教师引导下,学生运用有关工具,通过实际操作,在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动[2]．

这节课的设计旨在探索数学实验课的新教学模式:“先做后思,以思助做”．先感性地“做”,再理性地“思”,最后将得到的一般性结论应用到“做”中,在探索中经历“是什么—为什么—怎么做”这样一个认识问题的逻辑思维过程．

新课标倡导培养学生的核心素养．数学实验课使学生动手动脑,从做数学再到思数学,发展核心素养．在“前测”中,以不同的视角得到不同的公式,培养学生的几何直观．活动1与活动2使学生分别从数和形两个角度感悟整式乘法与因式分解的意义,培养抽象能力．关于分区快速拼图方法的思考培养学生的模型观念．活动3和活动5应用拼图快速因式分解培养学生的应用意识．活动4从特殊到一般,从数的角度思考能够因式分解的二次三项式的系数的关系,培养学生的推理能力和创新意识．

值得注意的是,数学实验在数学的研究中不是一种主流方法,因为数学真理的确定性依赖论证[2]．比如在“拼图·公式”这节实验课的最后需要给学生强调a,b只能取正数,也就是说拼图可以帮助我们思考探索新知,但只能算是合情推理,而不是演绎推理,是验证而不是证明．在“拼图·公式”这节关于形的活动课后可以继续“十字相乘法因式分解”的教学,从数的角度严格证明a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)这个公式对任何数a,b都成立．但是从教育的角度看,把数学实验作为一种教学方法引入课堂,具有独特的教育功能和价值[2]．有了这节活动课的铺垫,学生可以更形象地理解为什么十字相乘法因式分解中“画十字”是交叉的,如图8,因为每一个区域的长方形都是纵横相乘得到,最后把局部面积相加得整体．从数的角度,整式乘法是用一个括号里的每一项乘另一个括号的每一项,再把所得积相加．这些都解释了十字相乘中凑中间项时为什么是“交叉相乘再相加”．

图8