由木工刻图引发的数学探究活动

许 彬 王宗信

(1.江苏省苏州中学园区校 215021；2.上海科技大学附属学校 201210)

数学探究活动是指围绕具体数学问题开展自主探究、合作研究并最终解决问题的探究活动，是运用数学知识解问题的一类学习实践活动．《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程目标”中要求学生“能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究”[1]．《普通高中数学课程标准(2017年版)》将数学探究活动作为“必修课程”和“选择性必修课程”的内容．数学探究活动中学生的一般表现：发现并提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，寻求解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论[2]．数学探究活动能够发展学生善于观察的眼睛、乐于质疑问难的态度、勇于探索的精神、敢于创新的思维品质．以下是我们对一个数学探究活动的实践与思考.

1 过程与分析

1.1 创设情境，引发思考

(1)播放视频：一名木工师傅雕刻矩形木门，做法是把刻刀插入正三角形小木块的中心，使小木块沿着门边滑动，当木块顶点触碰到矩形边时，木块绕该顶点旋转，与门边贴合后继续滑动，如此运动一周，雕出封闭的图案；再用正方形小木块，雕出新的封闭图案.

(2)问题1：工人雕刻时使用的实际“关键工具”是什么？分析图案被刻出的过程.

师生活动教师首先用视频创设情境，通过慢镜头回放，学生慢慢品味、琢磨、思考，他们可以从木工刻图过程捕获到两个“关键工具”(正方形小木块和等边三角形小木块)、“图案”(矩形、圆弧)，并思考两个关键工具与其相对应图案之间的生成关系.

设计意图数学源于生活，用生活情境中蕴含着的数学元素触发学生思考、探究，培养学生用数学眼光观察现实世界的习惯和数学思考、抽象、表达的能力.

1.2 自主操作，发现问题

学生经过两年多的几何画板软件使用已经会画出动态与静态的规则图形，并具备了追踪和模拟的基本功.

(1)操作：使用几何画板软件，如图1在矩形内沿着边拖动小正方形和小等边三角形并追踪其中心O，观察点O的运动轨迹；

图1

(2)问题2：如果对矩形、正三角形、正方形的边长分别赋值，能否求出点O运动路径的长度.

设计意图用几何画板软件模拟木工刻图过程，将点O的运动路径直观呈现，通过亲自操作，克服解决抽象的想象的困难，追踪使探究过程可视化，赋值使几何图形元素量化，思维由表及里，数学思考逐渐深入.

1.3 探寻规律，提出猜想

(1)问题3：图1点O的运动路径是怎样构成的？并写出相应计算过程.

追问：结合解析，探索点O的运动路径具有怎样的形成规律？

(2)尝试：根据以上已解决的问题，提出你认为较合理的数学猜想.

师生活动学生之间相互补充，最终得到：如图2正方形中心O的路径由矩形ABCD的长、宽分别减掉“边心距”构成；如图3正三角形中心O的路径由4段30°弧长(旋转距离)和4条线段(滑动距离)组成．接着学生提出很多猜想，教师从这些猜想中筛选出有探究价值的猜想作为活动的核心问题，如“把正三角形、正方形换为正n边形，中心O路径的形状不改变”、“正n边形运动过程，中心O的运动路径有且仅有两种形状”、“从特殊到一般原则，若给矩形和正n边形的边长赋值，能够求出正多边形中心O运动路径的长度”等.

图2

图3

设计意图问题3既需要学生仔细观察，又需要用心计算，通过对比发现点O路径形状的异同点，探索、总结路径规律，为提出猜想做铺垫.猜想是出自学生思维的碰撞，是数学探究活动的问题指向.

1.4 凝聚升华，生成问题

(1)问题4：观察点O路径的特征，思考能成为木工“雕刻工具”的正n边形可被分成几类？为什么这样分类？

追问：你能够对分类理由给予说明或进行论证吗？

(2)小结：正n边形中心O运动路径与n的值对应关系.

(3)小组活动：设矩形框长宽分别为a、b，正n边形边长为单位1，请探究正n边形中心O运动路径长度的一般结论.

图4

设计意图分类讨论是解决结论开放问题最常用方法，学生在已解问题引导下，用几何画板验证或计算，对正n边形中心的运动路径作出正确判定，为推理路径长度的一般结论指明了方向.

1.5 理性分析，解决问题

(1)引导：研究数学问题的一般方法是什么？针对此疑问，我们应采用怎样的探究步骤？

追问：当正n边形的顶点接触外面矩形边时，正n边形应绕该顶点旋转几度？此时的弧长是多少？

(2)交流展示：小组合作，将探究的结果展示并讲解推理过程.

(3)复盘：回顾本次数学探究活动的过程，分享成功经验或失败教训.

师生活动在问题引导下学生说研究数学问题通常要“从特殊到一般”，有两个小组率先提出用正13、14、15边形尝试论证，且13、14、15除以4的余数分别是1、2、3，这正是n不能被4整除时按余数分类的三种情况，还发现如图5由中心O向矩形一边作垂线，虽然正多边形与矩形边的接触点分别在垂足的上、平、下，但是不影响点O运动路径的计算．如图6探究得正15边形在AB边上滑动距离O′O=P′1P1=AB-AP′n-P′nP′1-BP1=b-AP′n-1-BP1，因为AP′n=BPk，所以只需要求出BPk和BP1的值就可以求出OO′的长度．同理在BC边上滑动距离为a-AP′n-1-BP1，所以中心O在矩形4条边上滑动的距离(不含旋转处弧长)之和为：2(a+b)-4-4BPk-4BP1．在该组同学的提示下，其他小组也找到解决问题的关键点，即求一般情况下的BPk与BP1值.经过各个小组同学激烈论证后，对问题的解答做如下展示：

图5

首先求正n边形滑动距离中BPk和BP1的值，如图7延长PkPk-1，在Rt△BSPk中

图7

图8

∠OPkO′=∠Pk+1PkP′k+1=∠Pk+1PkP′k+1

所以4段弧的总长可以表示为

设计意图学生急于解题会忽略解决问题的方法，教师在学生思维受阻点引导他们回归到问题起点．在“从特殊到一般”的方法指导下，学生先对特殊正多边形中心运动路径长度进行计算，然后将研究方法迁移到正n边形的研究，研究问题的思路彻底被打开，计算出一般结论也就水到渠成．设计复盘活动目的是引导学生对数学探究活动进行反思，及时总结在本次活动中的得与失，形成探究能力和提升数学素养.

2 思考

《课标(2022年版)》中“探究”一词出现65次，提及“探究活动”8次，并指出数学探究活动是提升学生核心素养及评价综合实践能力的有效方式．《标准(2017年版)》再次强调了在高中开展探究活动的内涵与价值，如文[4]统计人教A版高中数学必修1～5教科书中数学探究活动多达146处．数学探究活动提倡以微探究或片段探究的形式在课堂教学过程中开展，参与主体不仅仅局限于学生，教师也要参与点拨、引导，探究目标一般指向数学概念、定理、公式等.

2.1 源于现实情境的数学探究活动

数学源于生活，数学史上有许多著名公式、定理、猜想源于现实情境．木工刻图是生活的一个场景，其中蕴含着丰富的数学知识、问题，它是培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的好素材，更是培养学生探究能力、创新思维的难得机会．但有许多人愿意在分析、解决问题上花时间、下功夫，并冠以“大容量、快节奏”的高效学习，这是应试环境下数学探究活动的异化现象．爱因斯坦曾说“提出一个问题比解决一个问题更重要”．在本数学探究活动中，学生用数学的眼光观察木工刻图，发现并抽象出图形、数量关系及空间形式．学生在探究活动中敢于猜想，勇于提出数学问题，在质疑问难中实现能力突破与结论创新.

2.2 “问题”是推动数学探究活动的“主引擎”

数学探究活动强调学生的主体性，想使学生主动开展数学探究活动，就要有激活其探究欲望的问题．从数学探究活动的一般流程看，产生有探究价值的“问题”显然是调动学生主动开展数学探究活动的首要任务.

数学探究活动一般流程[3]

面对木工刻图，学生要经历观察、发现、抽象、猜想等系列活动才能形成假设，还要对猜想不断思辨、升华才能提出高质量的问题，学生在数学探究活动全程都在围绕“问题”用“数学的思维思考”、“数学的语言表达”．学生在探究中不断整合知识，寻求解决问题的方法、策略，还要通力合作、反复论证，确保问题解决得恰当、精准.

2.3 “探究性”强的数学探究活动

“探究性”是数学探究活动的要义，“问题、证据、结论、论证”是构建探究活动的四个主要素．探究性强弱程度就是看数学探究活动中告知学生其中的几个要素，告知的越多说明留给学生可探究的空间就越小，可探究性就越弱．数学探究活动可探究空间的大小被称为“开放水平”，根据告知要素的数量，数学探究活动的开发水平被划分成4个层次，如下表：

本案例中每个学生都用自己拥有的知识、能力、素养视角观察“木工刻图”，抽象出的数量关系或空间形式虽然各不同，但是都符合数学逻辑，四个要素这里均系未知，属于最高开放水平四．这就使探究活动形式要有独立探究也要与他人、小组合作，探究手段融入信息技术模拟，探究结果有开放性、一般性，这些都有效地培养了学生的探究能力和创新意识，也充分展现了数学探究活动的独特魅力.

3 结语

参与木工雕刻数学探究活动的学生是初三年级学生，日本数学家米山国藏说过“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使人终身受益.”学生将知识忘却了以后剩下的东西这其中核心的成分是数学思维.

苏霍姆林斯基曾说“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是渴望自己是一个探索者、发现者”．数学探究活动有助于增强学生数学学习的动机，促进学生对数学的理解，也有助于培养学生更加积极的数学学习态度和数学信念，加强数学与生活、数学与社会之间的联系[5]．数学探究活动也会使学生的数学学习有激情、有活力、有创造，能让学生从灵感与顿悟中深刻感受数学之美[6].