基于粗糙集理论和优劣解距离法的多目标决策方法研究

李 平, 张 明, 张海燕*, 熊奉奎

(1.绵阳职业技术学院 智能制造学院, 四川 绵阳 621000; 2.四川轻化工大学 机械工程学院, 四川 宜宾 644000)

0 引言

复杂产品的设计方案存在多解性,亟待解决的问题是方案的评价优选,以此求得最优解[1].因此,建立快速、准确又科学的决策系统迫在眉睫,但涉及到产品的技术要求、客户需求和经济适用性,评判因素往往具有较强的模糊性和不确定性,使得设计方案的评价不够合理和客观[2].多目标决策是从20世纪70年代中期发展起来的一种决策分析方法.目前常用的多目标决策方法有线性加权法、层次分析法、目标规划法、多属性效应法、优劣解距离法[3-5]等.

当前研究对多目标或多指标的权重计算较为单一,多偏客观或主观,应用起来具有一定的局限性或者计算方法不容易掌握.本文针对主客观赋权法的优劣,为使属性权重的确定更加真实可靠,选择粗糙集理论的客观赋权和二元对比法的主观赋权相结合的组合赋权法,实现主客观的内在统一,并应用优劣解距离法决策出最优的产品设计方案.数控机床作为生产零部件的重要加工设备,对我国的经济建设和国防军事工程有着非常重要的作用,因此刀库换刀系统作为数控机床设计的其中一个重要环节,设计方案的决策评价必须合理.

1 指标权重计算

上世纪80年代,波兰科学家Z.Pawlak[15]提出了一种处理不完备数据的数学分析方法,即粗糙集理论.它主要从给定的样本数据出发,仅考虑数据本身,不需要额外的附加信息或参数,因此依据粗糙集来计算属性的权重是比较客观的[16].

图1 集合的上下近似概念示意图

定于X关于R的上下近似及边界域为:

(1)

(2)

(3)

对于任意X∈U,集合X中关于属性R提供的数据数量的多少,这个数量被称为重要度,则X关于R的重要度SR(X)和划分π(U)关于R的重要度SR[π(U)]的计算公式为:

(4)

(5)

式(4)、(5)中:0≤SR(X)≤1,SR(X)越大,表示X能够表达R的程度就越大.若SR(X)=1,则集合X可以完全表达属性R;若SR(X)=0,则集合X完全不能表达属性R.|·|表示集合的基数,即集合内元素的数量.

1.1 基于属性重要度的指标客观权重计算

基于属性重要度计算指标权重的关键思路是,先确定属性的上近似和下近似范围,根据重要度定义计算属性的重要度,从而发现隐藏在数据中的规则[18],然后计算关于这个属性的重要度,最后得到此指标权重值.

根据属性的重要度,系统中含有多个指标,分别计算各个指标权重值:

(6)

依据上述算法计算指标的客观权重,其流程图如图2所示.

图2 依属性重要度计算客观权重流程图

1.2 基于属性依赖度的指标客观权重计算

基于属性依赖度计算指标客观权重的关键思路是,依据粗糙集理论,对属性的依赖度理论进行深入研究[19],首先是计算各属性的依赖度,然后计算得到指标的权重值.假设知识库K=(U,R),∀P,Q∈IND(K),属性Q依赖于P的依赖度γP(Q)计算公式为:

(7)

式(7)中:0≤γP(Q)≤1,γP(Q)越大,表明Q对P的依赖度越高,若γP(Q)=1,表明P中包含Q的全部数据,Q对P的依赖度为完全依赖;若γP(Q)=0,表示P中不包含Q的任何数据,Q与P是绝对独立的;而0≤γP(Q)≤1,说明P中仅包含Q的部分数据,记Q对P的依赖度为k.

根据属性的依赖度,计算各个指标权重值:

(8)

依据上述算法计算客观权重,其流程图如图3所示.

图3 依属性依赖度计算客观权重流程图

1.3 指标综合权重计算

将由粗糙集理论确定的指标客观权重同由二元对比法确定的指标主观权重按照评价者的先验知识进行权重配比,得出指标的综合权重,避免了单独采用主观或客观赋值法的不足[20-22].记ωi为第i个指标的综合权重.

ωi=αω1i+βω2i+(1-α-β)ω3i,i=1,2,3,…,n

(9)

式(9)中:ω3i为由二元对比法确定的指标权重;1-α-β为经验因子0≤α+β≤1,1-α-β越小,表示越注重客观权重.

2 基于优劣解距离法的多目标决策模型

假定某产品存在m个设计方案Ai(i=1,2,3,…,m),每个方案对应n个决策指标Cj(j=1,2,3,…,n).决策团队使用1,3,5,7和9分对每个方案相对于各个决策指标的认可程度进行打分[13].其中1,3,5,7和9分别代表“非常不认可”、“不认可”、“一般”、“认可”和“非常认可”.由此第k个决策专家的决策矩阵为:

(10)

(11)

由于决策团队里有多个领域的专家,决策矩阵较多.这里采用算数平均法将多个决策专家的评价进行综合.按照下面的公式整理后得到综合决策值.

(12)

再利用如下公式计算加权后的综合决策值.

(13)

式(13)中:ωj为用公式(9)得到的第j个指标的综合权重.

此时设计方案选择问题可以看作一个典型的多目标决策问题.优劣解距离法(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution,TOPSIS)是一种较常用的根据多个评价指标将多个方案与最优解方案进行比较排序的综合评价方法[23].该方法对样本数据的数量及分布没有严格限制,能充分利用原始数据的信息,其结果能精确地反映各评价方案之间的差距,是一种非常快捷的、合理的方法[24,25].TOPSIS法的基本过程如图4所示.

图4 TOPSIS法流程图

(14)

(15)

(16)

(17)

继而就可以定义贴合度以确定所有的备选方案的排序.第i个设计方案对应的贴合度ρ为:

(18)

贴合度的值一般在0～1之间,该值越大表示对应的设计方案越接近最理想方案,反之,该值越小表示对应的设计方案越接近最劣方案.

3 应用实例

下面以某数控机床制造企业的刀库换刀系统设计方案为例来说明所提出的多目标决策方法的合理性和适用性.此刀库换刀系统的设计方案有3种:方案A1为链式刀库+机械手换刀(如图5所示),方案A2为斗笠式刀库+主轴换刀(如图6所示),方案A3为圆盘式刀库+机械手换刀(如图7所示).决策团队包括产品研发、市场销售和客户代表等领域的专家4名.以产品设计方案的经济性、可靠性、功能多样性和售后支持作为评价指标.

图5 链式刀库+机械手换刀方案示意图

图6 斗笠式刀库+主轴换刀方案示意图

图7 盘式刀库+机械手换刀方案示意图

表1给出了4位专家对于设计方案A1的评价.其他方案的评价形式类似,如表2、表3所示.

表1 专家对设计方案A1的评价值

表2 专家对设计方案A2的评价值

表3 专家对设计方案A3的评价值

这里采用算数平均法来收集各个决策者的评价.整理后得到刀库换刀系统设计方案的综合评价值,如表4所示.

表4 刀库换刀系统设计方案的综合评价值

依据粗糙集理论,按照公式(4)～(8)计算各个指标基于属性重要度和属性依赖度的客观权重,并按照公式(9)将二元对比法计算得到的主观权重与客观权重相结合,这里赋予客观较大的权重,取α=β=0.35,并将其与应用层次分析法计算结果进行对比,如表5所示.

表5 指标权重计算

(19)

(20)

图8 设计方案的评价指标决策柱状图

从图8可以看出,方案3的经济性和可靠性的指标值最高,功能多样性和售后支持的指标值最低,而方案1和方案2的各项指标值没有明显的优势及劣势.因此,单从柱状图无法判断各个方案的优劣.

利用优劣解距离法,根据公式(14)、(15)计算得出最优方案D+和最劣方案D-.

D+=(0.164,0.240,0.146,0.082)

(21)

D-=(0.146,0.180,0.122,0.062)

(22)

三种设计方案与最优方案D+、最劣方案D-的评价结果的雷达图如图9所示.从图9可以看出,方案A3的线条与最优方案D+的线条重合度最高.而方案A1的线条与最劣方案D-的线条重合度最高.

表6 贴合度及刀库换刀系统设计方案排序

从表6可以看出,设计方案A3的贴合度最高,即综合考虑产品的经济性、可靠性、功能多样性和售后支持4个指标,设计方案A3最优,这也与雷达图的评价结果一致.结合实际生产经验,将基于粗糙集理论和优劣解距离法的决策结果与应用层次分析法的决策结果对比,在某数控机床刀库换刀系统的设计方案中,方案A3的设计方案更为合理,应优先考虑方案A3.

4 结论

本文主要提出了一种基于粗糙集理论和优劣解距离法相结合的多目标决策方法,并与层次分析法进行了对比,通过某数控机床制造企业的刀库换刀系统设计方案实例验证了该多目标决策方法的科学性和准确性.其主要结论如下:

(1)该方法依据粗糙集理论中论域的划分确定属性的重要度和依赖度,计算得到评价指标的客观权重,将其与用二元对比法得到的评价指标的主观权重以一定配比相结合,得到了指标的综合权重,这一方法克服了传统单一赋值法的缺陷,提高了权重分配值的合理性和科学性,从而避免了最终决策的单独主观或客观的偏重.

(2)基于粗糙集理论的属性重要度和属性依赖度和二元对比法确定指标的综合权重与优劣解距离法相结合的方法,给复杂产品的多目标决策提供了一种研究思路.该方法快捷,有效.通过刀库换刀系统设计方案决策的案例验证了所提方法比层次分析法更加合理性,适用性更强.

(3)本文未充分考虑决策者的偏好对决策的影响,未来将充分考虑针对不同领域的决策者给予一定的权重比例,以减少决策者的个人偏好对决策结果的影响.