立体几何中轨迹问题的方程解法探究

⦿ 湖北省武汉市马房山中学 鲁前国 ⦿ 湖北省武汉市武昌区教育局教研培训中心 刘 欣

立体几何中的动点轨迹问题,在每年的高考复习备考中绝对是一个不会被遗忘的专题,在高考试题中也时有出现,多以选择、填空题的形式呈现,立足于知识的交汇点设计试题,题型新颖灵活,考查各部分知识间的纵向和横向联系,考查学生的创新意识和创新能力,渗透数学思想方法,体现新课程标准的要求,突显数学核心素养.由于这类问题往往具有较为复杂的空间几何体的结构特征,因此很多学生常常束手无策.下面以两道高考真题为例,探究两种不同模式的解题途径,通过对比体验方程解法的魅力!

1 解法探究

思路一:要求交线长,首先必须明确交线是何种几何图形.球面与平面相交时,交线一定是圆,在本题中,球面与侧面BCC1B1的交线就是圆在侧面BCC1B1上的一部分,因此解决问题的关键,就是找到圆心的具体位置,求出半径和圆弧所对圆心角的大小.

解法1:如图1,取B1C1的中点E,BB1的中点F,CC1的中点G.

图1

又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1D1,于是所以BB1⊥D1E.而BB1∩B1C1=B1,所以D1E⊥侧面B1C1CB.

图2

在坐标平面xBz内,令x=0,得F(0,1);令x=2,得G(2,1).

试题二(2006年北京卷)平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动点C的轨迹是( ).

A.一条直线 B.一个圆

C.一个椭圆 D.双曲线的一支

解法1:如图3,设l与l′是过定点A与AB垂直的任意两条直线,则这两条直线确定平面β,且斜线AB⊥平面β.过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直,可知过定点A与AB垂直的所有直线都在平面β内,故动点C在平面β与平面α的交线上,问题转化为两平面的交线问题.

图3

故选择:A.

解法2:以B为原点,建立如图4所示的空间直角坐标系,其中x轴、y轴在平面α内,z轴垂直于平面α.

图4

设直线l上任意点P(x,y,z),A(a,b,c),则

所以a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0.

即ax+by+cz-(a2+b2+c2)=0.

令z=0,得坐标平面xBy即平面α内动点的轨迹方程为ax+by-(a2+b2+c2)=0,是一条直线.

故选:A.

解题思考:解法1中,动直线l形成过点A与AB垂直的平面β这一思维过程难度较大;解法2中用方程反映动直线上任意一点的空间变化规律,通过令z=0转化为平面内的变化规律,显得轻而易举!

2 解法应用

例题在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,且PA=2.若点E,F分别为AB,AD的中点,则直线EF被四棱锥P-ABCD的外接球所截得的线段长为______.

以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图5所示的空间直角坐标系,则E(1,0,0),F(0,1,0),O(1,1,1).

图5

“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”,这是华罗庚先生对数形结合思想的精辟描述.本文中笔者从方程的角度出发,将复杂的立体几何问题代数化,数形结合,相得益彰!