斜面上平抛运动探讨

蒋丽萍

(江苏省射阳县教师发展中心,江苏 盐城 224300)

平抛运动的特点是:初速度水平、只受重力作用,运动轨迹为一条抛物线。平抛运动中的一类典型问题是落在斜面上的平抛运动,处理斜面上的平抛运动问题常用的方法是“化曲为直”,将曲线运动分解为两个方向上的直线运动,借助直线运动的规律进行分析。在具体计算过程中,理解斜面倾角的正切值所表示的含义、建立不同坐标系是解决问题的关键。

1 利用平抛运动的速度偏转角α与位移偏转角β的关系解题

平抛运动的速度偏转角α与位移偏转角β的关系为:tanα=2tanβ,可利用此关系解题。

例1:如图1所示,将一个小球从A点以速度v1水平抛出,小球垂直落在倾角为θ的斜面上的P点,若将小球抛出点移到图中的B点,以速度v2水平抛出后小球垂直落在斜面上的Q点(图中未标出),下列说法中正确的是( )。

图1

A.Q点在斜面上P点的下方

B.Q点在斜面上可能与P点重合

C. 水平初速度v2一定大于v1

D. 两次小球落在斜面上的动能可能相等

图2

变式:如图3所示,足够长的斜面静止在水平地面上。先后两次将带正电的小球从斜面底端A处以相同的速度抛出,不计空气阻力。第一次不加电场,小球恰好沿水平方向撞到斜面上B点。第二次施加范围足够大、竖直向下的匀强电场,则小球( )。

图3

A. 仍然会水平撞击斜面

B. 撞击点在B点的上方

C. 飞行时间比第一次长

D. 撞击斜面时的速度比第一次大

解析:第二次施加电场,在竖直方向上有:vy0一定,a变大,则t变小,h变小,撞击点在B点下方。两次小球从A处以相同的速度抛出,运用逆向思维研究两个平抛运动,落至A点的速度方向相同,根据tanα=2tanβ,则位移偏转角相同,第二次斜抛运动的最高点在斜面上,仍然水平撞击斜面。两次斜抛运动水平方向速度不变,所以两次撞击斜面时的速度相同,故A选项正确。

点评:本题考查速度偏转角与位移偏转角的关系,与竖直方向的加速度的大小无关。若仍从斜面底端抛出,仅改变速度v0的大小,小球撞击斜面,逆向研究平抛运动,速度偏转角相同,则位移偏转角也相同。故小球仍然水平撞击斜面,与速度v0的大小无关,与速度的方向与斜面间的夹角有关。

2 将平抛运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解

在解决平抛运动问题时,常规的做法是沿水平和竖直方向分解速度和位移,对于斜面上的平抛运动,有时沿斜面方向和垂直于斜面方向进行分解,解题更为简便。

例2:第24届冬季奥运会于2022年2月在北京举办,图4为运动员跳台滑雪的场景,运动轨迹如图5所示。运动员从C点水平飞出,落到斜坡上的D点,E点离坡道CD最远,忽略空气阻力。下列说法中正确的是( )。

图4

图5

A. 从C到E的时间比从E到D的时间短

B. 轨迹CE和ED长度相等

C. 轨迹CE和ED在CD上的投影长度之比为1∶3

D. 轨迹CE和ED在水平方向的投影长度相等

解析:如图6所示,设斜坡的倾角为θ,将平抛运动沿斜面方向与垂直于斜面方向进行分解。在沿斜面方向运动员做匀加速直线运动,有:vx0=v0cosθ,ax=gsinθ;在垂直于斜面方向运动员做类竖直上抛运动,有:vy0=v0sinθ,ay=-gcosθ,从C到E与从E到D的运动时间相等,A选项错误。

图6

沿斜面方向运动员做初速度不为零的匀加速直线运动,所以轨迹CE和ED在CD上的投影长度之比不为1∶3,轨迹CE和ED长度也不相等,B、C选项错误。

由于运动员在水平方向做匀速直线运动,两段运动时间相等,所以轨迹CE和ED在水平方向的投影长度相等,故D选项正确。

点评:斜坡的倾角θ既表示轨迹CD段的位移角,又表示E点的速度偏角。研究平抛运动时一般沿水平方向和竖直方向上分解,本题通过转换坐标系,将平抛运动沿斜面方向与垂直于斜面方向上分解,使问题迎刃而解。

变式:2022年2月8日,北京冬奥会举行自由式滑雪女子大跳台决赛。图7为滑雪大跳台的滑道示意图。运动员由起点滑下,从跳台上同一位置沿同一方向飞出后,在空中完成系列动作,最后落至着落坡。运动员离开跳台至落到着落坡阶段的轨迹如图8所示,不计空气阻力,运动员可视为质点。关于运动员在空中的运动,下列说法中正确的是( )。

图7

图8

A. 离着落坡最远时重力的功率为零

B. 在相等的时间内,动量变化量逐渐变大

C. 在相等的时间内,动能的变化量逐渐变大

D. 落到着落坡时的速度方向与飞出时速度的大小无关

解析:离着落坡最远时,运动员的速度方向与斜坡方向平行,竖直方向有速度,所以重力的功率不为零,A选项错误。

图9

点评:在解决该变式题时,理解单位时间内动量变化量、动能变化量的含义是关键。该题将运动员从斜面顶端做平抛运动变为做斜抛运动,将此运动沿斜面方向与垂直于斜面方向分解,可得出结论:仅改变速度的大小,物体落至斜面时的速度方向不变。

3 结语

解决斜面上的平抛运动问题的基本思路是“化曲为直”,把复杂的曲线运动分解为简单的直线运动,通常有两种分解方法:(1) 沿水平方向和竖直方向分解;(2) 沿斜面方向与垂直于斜面方向分解。有时采用第2种分解方法可以达到事半功倍的效果。根据平抛运动的规律,运用运动的合成与分解分解速度和位移时,利用平抛运动的速度偏转角与位移偏转角的关系也是处理问题的关键。