齿轮传动系统建模与典型界面传递特性研究 *

高 普，刘 辉，贝文瑾，项昌乐

（1. 北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081；2. 北京理工大学前沿技术研究院，济南 250307）

前言

齿轮传动系统是车辆、航天、船舶等领域应用最广泛的传动形式之一，是机械设备的重要组成部分。由于复杂的工况和恶劣的工作环境，在运行过程中容易出现故障，造成系统停机。齿轮传动系统故障形式众多，结构复杂，故障信号识别困难。因此，有必要开展齿轮传动系统建模与典型界面传递特性的研究，探究齿轮传动系统动力学机理及振动信号传递规律，为车辆齿轮传动系统故障的识别和诊断提供参考依据。

在齿轮啮合界面模型及建模方法方面，为了准确描述齿轮啮合界面对振动信号的传递特性，许多国外学者做了广泛的研究，其中做出有影响力和标志 性 成 果 的 有Zschippang［1］、Eriki［2］以 及Sanche等［3-5］，齿轮啮合界面模型采用非线性系统模型，建立模型的方法主要有：集中参数法，传递矩阵法和有限元法。模型中考虑了齿轮的时变啮合刚度、啮合阻尼、齿侧间隙和齿轮传递综合误差等非线性因素，同时考虑了横向振动、轴向振动和扭转振动之间的耦合振动影响。近年来很多学者考虑了其他因素，建立了更加精细的齿轮系统动力学模型。这些因素包括：齿面摩擦和轮齿裂痕［6-7］、薄壁外齿圈变形［8］、啮合相位差［9］、中心距变动和轴承刚度［10］、“契入效应［11］”、非线性阻尼［12］、弹流润滑［13］、时变压力角和重合度［14］、载荷分布［15］等。此外，针对不同类型的齿轮，Huangfu 等［16-17］研究了齿廓最优曲线渐开线齿轮建模方法，深入分析了剥落齿轮系统的啮合动力学特性。总体来说，建模理论逐步向多自由度、大规模、精细化和非线性方向发展。国内王成［18］建立了关于齿轮系统动力学建模比较完整的理论体系，除了考虑时变啮合刚度、啮合阻尼、齿侧间隙和齿轮传递综合误差等非线性因素外，还考虑了齿廓微观尺寸参数对齿轮动力学特性的影响。同时对特殊结构的齿轮动力学模型进行了探索，如轮齿裂纹、剥落等。建模方法多以有限元分析与集中参数法相结合，如利用有限元分析法求解出齿轮副时变啮合刚度，再与集中参数法结合建立模型。

在轴承界面模型及建模方法方面，经历了4 个研究阶段，分别是静力学、拟静力学、拟动力学与动力学，且大部分接触模型都是基于赫兹接触理论建立的，赫兹接触理论是由赫兹于1881 年针对弹性体接触问题提出的，为后面建立滚动体与滚道接触模型提供了基础。国外代表性学者包括Palmgern、Jones、Harris 等［19-21］基于赫兹接触理论，考虑轴承内外圈热位移的影响，建立了滚子轴承模型，考虑了离心力和陀螺力矩的影响，用经验拖动力计算公式替代滚道控制理论，提升了模型分析结果的精确度；国内专家学者在Harris 等的基础上对轴承进行了更加深入的研究，袁茹等［22］建立了高速滚子轴承的拟动态分析计算模型和方法，研究了浪子凸度、滚子倾斜及滚子歪斜等因素对高速滚子轴承工作性能的影响。Yu 等［23］采用基于转子力学关系和数据库拟合滚子轴承模型，拓展了轴承建模理论。叶振环［24］通过分析轴承内部零件间的运动和位置关系，建立了零件间的相互作用模型和高速球轴承和滚子轴承的完全动力学模型。通过Newtown-Raphson 算法和Runge-Kutta 算法结合的计算方法提升了计算效率，同时保证了动力学结果的精度。

目前，齿轮啮合界面和轴承界面建模的研究取得诸多显著成果，但对于系统故障诊断和识别的工程应用，仍需解决以下问题：缺少能够综合描述齿轮啮合和轴承典型界面的传递特性量化表征形式，难以构建振动信号在各条传递路径衰减传递矩阵，实现齿轮传动系统典型故障振动信号的特征辨识与定位。

针对上述问题，本文开展齿轮传动系统建模与典型界面传递特性的研究，对某实际的齿轮传动箱提取啮合齿轮、传动轴和轴承的质量、惯量、安装尺寸等，考虑齿轮时变啮合刚度、啮合阻尼、轴承支承刚度和阻尼等因素，建立系统非线性动力学方程，并搭建试验振动特性测试平台，提取关键位置的振动响应，与仿真模型对比验证所建模型的准确性；基于系统动力学模型构建能够有效表征典型界面传递特征的界面力数学表达式，以振动信号衰减系数作为振动传递的量化表征，研究定频稳态、扫频瞬态以及变工况下典型界面振动传递规律，开展仿真和试验研究，揭示振动信号在典型界面信号传递的本质特征，为车辆齿轮传动系统故障诊断中各条路径衰减传递矩阵的构建提供有效的指导意见。

1 齿轮传动系统动力学模型及验证

选取包含齿轮啮合、轴承接触典型界面的三轴两级定轴齿轮传动系统为对象，综合考虑齿轮时变啮合刚度、啮合阻尼、轴承支承刚度和阻尼等多种因素，建立系统非线性动力学方程，搭建三轴两级定轴齿轮传动系统振动特性测试平台，结合试验与仿真结果验证系统建模的准确性。

1.1 齿轮传动系统动力学建模

三轴两级定轴齿轮传动系统三维模型示意图如图1所示。相应的齿轮主要参数如表1所示。

图1 三轴两级定轴齿轮传动系统三维模型

表1 齿轮主要参数

根据拉格朗日法建立系统各个部件的动力学方程。

轴承b1动力学方程：

齿轮g1动力学方程：

轴承b2动力学方程：

轴承b3动力学方程：

齿轮g2动力学方程：

齿轮g3动力学方程：

轴承b4动力学方程：

轴承b5动力学方程：

齿轮g4动力学方程：

轴承b6动力学方程：

式中：mn0、mn1、mn2分别表示齿轮、轴承内圈、轴承外圈的质量，其中n0 = g1、g2、g3、g4，n1 = b1i、b2i、b3i、b4i、b5i、b6i，n2 = b1o、b2o、b3o、b4o、b5o、b6o；x、y、θ分别为各个部件3 个自由度的位移；kxbi(o)、kybi(o)分别为各个轴承内外圈的横向刚度；cxbi(o)、cybi(o)分别为各个轴承内外圈的横向阻尼；Tin、Tout分别为输入、输出转矩；Fm为各对齿轮的啮合力，Fm=km δ(b，Δt) +cm(b，Δt)；km为时变啮合刚度，利用能量法［25］计算得到，1.70 × 108～3.15 × 108N/m；cm为 啮 合 阻 尼，cm=ξ为 阻 尼 比；δ(b，Δt) 和(b，Δt)分别为啮合线变形量和啮合线变形量的1阶 导 数；R为 各 齿 轮 基 圆 半 径；kxn0-xn1、kyn0-yn1、kθn0-θn1表示相邻的齿轮和轴承之间各个轴段的弯曲刚度和扭转刚度；kr、cr分别为轴承外圈与箱体之间的支撑刚度和阻尼。本文所建立的三轴两级定轴齿轮传动系统采用4 阶龙格-库塔法（RK4）进行求解。

1.2 振动特性测试平台与模型验证

1.2.1 振动特性测试平台

加工定轴齿轮传动系统模型验证样机，搭建振动特性测试平台，主要包括驱动电机、电涡流测功机、数据采集系统、转矩转速传感器、三向加速度传感器，试验设备如表2 所示，台架试验测试系统如图2和图3所示。

图2 振动特性测试平台示意图

图3 振动特性测试平台现场布置

表2 试验设备列表

驱动电机1 为齿轮箱测试台架的动力输入，电涡流测功机7 为系统负载。转速转矩传感器3 和6分别采集定轴齿轮系统传动模型验证样机输入端和输出端的转速、转矩信号，加速度传感器4 和5 分别采集定轴传动系统模型验证样机输入端和输出端轴承座的振动加速度，将数据传输给数据采集系统进行数据转化和后处理。

1.2.2 振动特性测试与数据处理

测试工况：负载为空载、50%、80%，调节电机输入转速为1 200、1 600、2 200 r/min。共选取编号为4和5 的2 个测点。在每种稳定运转工况下采集不少于30 s的振动响应数据。为了更全面分析传动系统模型验证样机的振动水平，须对比分析振动加速度和振动速度相关数据。

以输入转速2 200 r/min、80%负载工况为例，分析输入端轴承座的振动加速度、振动速度信号。输入端轴承座的垂向振动加速度试验结果如图4所示。

图4 输入端轴承座振动加速度

由图4 可知，综合分析时域数据和频域数据，低频区内轴承座处振动加速度存在输入轴的转频，而高频区振动主要以啮合频率及其倍频为主。

根据轴承座振动加速度时域数据，计算其均方根值：

式中：aRMS为振动加速度均方根值；a（i）为振动加速度的时域数据；N为振动加速度数据总长度。获得输入端轴承座振动加速度均方根值随转速变化曲线，如图5所示。

图5 输入端轴承座振动加速度均方根值曲线

由图5 可知，随着转速的增加，振动加速度逐渐减小，在1 600 r/min 后趋于平稳；在1 600 r/min 以下负载对振动加速度影响较大，转速升高后影响变小。

根据轴承座振动加速度时域数据，计算振动速度。输入、输出端振动速度可通过对其振动加速度测量结果进行积分得到，利用时域积分法将输入、输出端振动加速度信号转化为振动速度信号。其计算方式如下式所示：

式中：a(i)为振动加速度数据；N为振动加速度数据总长度；v(i)为振动速度数据；Δt为积分步长。获得的输入端轴承座的垂向振动速度试验结果如图6所示。

图6 输入端轴承座振动速度时域和频域曲线

由图6 可知，响应频率与加速度的响应频率类似，低频区包含输入轴转频的倍频，而高频区包含啮合频率及其倍频。但相对啮合频率，转频的幅值变大。

根据轴承座振动速度时域数据，可以计算其均方根值：

式中：vRMS为振动加速度均方根值；v（i）为振动加速度的时域数据；N为振动加速度数据总长度。获得输入端轴承座振动速度均方根值随转速变化曲线，如图7所示。

图7 输入端齿轮的速度均方根值曲线

由图7 可知，输入端轴承座振动速度均方根值随转速变化的情况，随着转速的增加，振动速度逐渐减小，1 600 r/min 后转速对振动速度的影响很小。在1 400 r/min 以下负载对振动速度影响较大，转速升高后影响变小。

1.2.3 仿真与试验测试对比

根据轴承与箱体表面轴承座的连接接触关系，可以有效转化仿真计算定轴齿轮传动系统输入输出端轴承座的振动加速度和振动速度仿真数据，并利用进行处理获取的仿真振动加速度均方根值和振动速度均方根值，与试验测试获得输入输出端振动加速度均方根值和振动速度均方根值进行对比分析，不同转速不同负载试验与仿真数据对比结果如表3～表5所示。

表4 1 600 r/min振动仿真精度测试结果

表5 2 200 r/min振动仿真精度测试结果

由表3～表5 可知，各工况下输入输出端轴承座振动加速度仿真值与试验值最小精度为84.67%，振动速度仿真值与试验值最小精度为84.72%，均大于84%。可以验证所建立的齿轮转动系统非线性动力学仿真模型的可靠性和有效性，为后续的典型界面振动特性传递研究提供有效的模型基础。

2 典型界面振动传递特性研究

根据齿轮传动系统非线性动力学模型，以系统的综合响应作为主要衡量指标，以齿轮啮合力和轴承内外圈接触力分别表征齿轮啮合界面和轴承界面模型，分析定频稳态激励和扫频瞬态激励作用下，振动信号经过齿轮和轴承典型界面后的传递变化情况，并以衰减系数量化描述典型界面对振动信号的衰减作用，进一步分析不同工况下衰减系数的变化趋势。通过扭转激振典型界面振动传递试验测试，验证仿真分析规律的有效性和可靠性，揭示振动信号经过典型界面的传递规律，为齿轮传动系统故障诊断传递路径衰减传递矩阵的构建提供依据。

2.1 齿轮啮合界面振动传递特性

采用齿轮啮合力表征一对齿轮副的啮合界面，形式如下：

式中：km和cm分别为啮合刚度和啮合阻尼函数；f[Δδ(t)]为齿轮的啮合线变化量的函数。齿轮界面啮合力随时间的变化特性如图8 所示，经过一段时间后，齿轮界面啮合力沿X、Y两个方向上的分力都趋于稳定。

图8 齿轮界面啮合力变化情况

用Zin表示齿轮啮合界面的输入振动信号，Zout表示齿轮啮合界面的输出振动信号，输出振动信号与输入振动信号的时域均方根值之比表示信号传递率TgRMS。则齿轮啮合界面对信号的衰减系数κg可表示为

在传动系统输入施加500 Hz 定频稳态转矩激励，提取齿轮界面振动响应数据。对齿轮输入、输出信号进行时域、频域的对比分析，结果如图9所示。

图9 定频激励齿轮啮合界面输入输出振动信号对比

由图9 可知，齿轮在500 Hz 定频稳态激励作用下，振动信号经过齿轮啮合界面后，信号产生了衰减。提取获得齿轮界面输入和输出振动信号的均方根值，并计算获得衰减系数κg= 0.11。在频谱图中，在外激励频率f0处(f0= 500 Hz)产生了衰减，峰值衰减率为13.5%。

在传动系统输入施加0～1 000 Hz 扫频转矩激励，提取齿轮界面振动响应数据。对齿轮输入、输出信号进行对比分析，结果如图10所示。

图10 齿轮啮合界面输入输出振动信号扫频对比

由图10 可知，在0-1 000 Hz 的扫频激励下，振动信号在198 Hz 附近产生了明显峰值，在0-500 Hz的激励信号频率区间，齿轮啮合界面的输入输出信号幅值衰减明显，而在500-1 000 Hz区间，齿轮啮合界面的输入输出信号幅值相差不大。

利用衰减系数κg来表征齿轮啮合界面对信号的整体衰减作用，衰减系数κg在不同转速负载工况下整体变化趋势如图11所示。

图11 齿轮啮合界面衰减系数随工况变化情况

由图11 可知，随着转速和负载的增加，衰减系数呈现缓慢增大的趋势；在相同的转速下，随着负载的增加，衰减系数随之增加；而当负载一定的情况下，衰减系数对于转速的变化不敏感，受转速的影响较小。

2.2 轴承界面振动传递特性

采用轴承内外圈接触力表征轴承的内外圈界面，公式如下：

式中：kb、cb分别为轴承内外圈接触刚度和阻尼；f[Δδ(t)]为轴承径向变形量的函数。

轴承界面力随时间的变化情况如图12 所示，经过一段时间后，轴承界面力沿X、Y两个方向上的分力都趋于稳定。轴承界面力主要是由轴承每个滚动体上的非线性赫兹接触力组成，轴承单个滚动体的非线性赫兹接触力随时间变化特性如图13 所示，由于轴承径向间隙的存在，滚动体的非线性赫兹接触力呈现周期性的变化。

图12 轴承界面力变化情况

图13 轴承滚动体非线性赫兹接触力变化情况

在传动系统输入施加500 Hz 定频稳态转矩激励，提取轴承界面振动响应数据。对轴承内外圈输入、输出振动信号进行时域、频域的对比分析，结果如图14所示。

由图14 可知，轴承在500 Hz定频稳态激励作用下，振动信号经过轴承界面后，信号产生了衰减。提取获得轴承界面输入和输出振动信号的均方根值，并计算获得衰减系数κb= 0.71。在频谱图中，在外激励频率f0处(f0= 500 Hz)产生了衰减，峰值衰减率为87.5%。

在传动系统输入端施加0～1 000 Hz扫频转矩激励，提取轴承界面振动响应数据。对轴承内外圈输入、输出信号进行对比分析，结果如图15所示。

由图15 可知，在0-1 000 Hz 的扫频激励下，振动信号在141.9 Hz 附近产生了峰值，在0-450 Hz 的激励信号频率区间，轴承界面的输入输出信号幅值衰减明显，而在450-1 000 Hz区间，轴承界面的输入输出信号幅值相差不大。

利用衰减系数κg表征轴承界面对信号的整体衰减作用，衰减系数κg在不同转速负载工况下整体变化趋势如图16所示。

图16 轴承界面衰减系数随工况变化情况

由图16 可知：在相同的转速下，随着负载的增加，衰减系数随之减小；而当负载一定的情况下，衰减系数对于转速的变化不敏感，受转速的影响较小。

综上所述，在时域上，轴承界面对于振动信号的衰减作用最明显，随着仿真工况的变化，衰减系数在0.835 到0.860 之间。齿轮啮合界面对于振动信号衰减作用较弱，随着仿真工况的变化，衰减系数在0.160到0.260之间。在频域上，齿轮啮合和轴承界面对于振动信号的衰减作用主要体现在啮合频率及其倍频上，且轴承界面对于振动信号的衰减作用最明显，在啮合频率和各倍频上的衰减率较为平均，而齿轮啮合界面对于信号的衰减作用较弱，在啮合频率和各倍频上的衰减率较大，在其他频段较小。

2.3 扭转激振典型界面振动传递试验测试

为了探究振动信号经过典型界面的传递规律，搭建扭转激振典型界面振动传递试验平台，系统测试振动信号经过典型界面后的幅频特性变化情况。扭转激振典型界面振动传递试验平台整体布置如图17所示，在齿轮齿根、传动轴、轴承内圈及轴承外圈部位安装加速度传感器，分别采集齿轮啮合界面输入输出振动加速度信号和轴承界面输入输出振动加速度信号。

图17 扭转激振典型界面振动传递试验平台

通过扭转激振试验，提取齿轮啮合界面输入输出振动加速度信号和轴承界面输入输出振动加速度信号，进行快速傅里叶变化，得到其幅频特性曲线，如图18所示。

图18 典型界面振动加速度幅频特性曲线

由图18 （a）可知，齿轮啮合界面对振动信号在低频段影响很小，在高频段峰值有衰减作用，整个频段影响较小；由图18 （b）可知，轴承对振动信号在低频和高频段均有较大的衰减作用，低频的频谱结构基本不变，峰值改变较大。在中高频段不但改变频谱结构，且对应的频率峰值衰减较大。

采集处理振动加速度时域数据，齿轮啮合界面的振动加速度均方根值衰减系数为0.180，与仿真衰减系数0.160～0.260 相符；轴承界面的振动加速度均方根值衰减系数为0.840，与仿真衰减系数0.830～0.860相符。

综上所述，齿轮啮合界面对振动信号的影响最小，频谱结构、频率峰值及时域均方根值均有小幅衰减，轴承对振动信号的影响最大，频谱结构、频率峰值及时域均方根值均有较大衰减。上述试验结果与2.1节和2.2节的仿真结果具有良好的一致性，验证了仿真计算的有效性和可靠性。

振动信号在齿轮传动系统传递规律的仿真和试验数据综合表明：齿轮啮合界面对振动信号衰减作用较弱，振动具有良好的传递特性；而轴承对振动信号的衰减作用较强，具有较差的振动传递特性。因此，如果系统故障源信息经过布置在轴承传递路径末端的传感器时，由于信号衰减作用较大，很难采集较为全面的振动信号时域和频域信息，不利于监测出故障信号，故应该选取系统故障源经过齿轮啮合传递路径末端布置传感器，才能采集较全的振动信号时域和频域信息，为故障信号特征的提取提供更全面的信息。在实际齿轮传动系统中，各条振动传递路径的组成是由多个齿轮啮合界面和轴承界面组合而成的。用于检测系统故障信号的传感器布置原则为，传递路径中存在较少的轴承和较多齿轮啮合界面，可以在该条路径末端布置传感器，反之，则不适合布置传感器。

3 结论

本文针对某三轴两级定轴齿轮传动系统，开展齿轮传动系统建模与典型界面传递特性的研究，得到以下结论。

（1）考虑齿轮时变啮合刚度、啮合阻尼、齿侧间隙及轴承支承刚度等影响因素，建立了齿轮传动系统非线性动力学模型，搭建了齿轮传动系统振动特性测试平台。在各工况下关键位置的振动加速度仿真结果与试验值的吻合程度达到84%以上，验证所建齿轮传动非线性动力学模型的有效性和可靠性。

（2）基于齿轮传动系统动力学模型提取典型界面力的数学表达式，构建振动信号传递衰减系数，量化表征典型界面对振动信号传递衰减作用，搭建扭转激振界面振动传递特性试验平台用于仿真和试验对比分析，揭示了振动信号在齿轮传动系统的传递规律，为车辆齿轮传动故障诊断中构建各条传递路径衰减传递矩阵提供依据。