从幂的概念到幂的运算

文／蔡支梅

最近我们认识了幂，知道了幂及其相关概念。在学习幂的运算的过程中，从幂的概念入手，研究幂的运算是一种有效的方法。遇到与幂的运算相关的问题时，准确识别幂、底数、指数是分析和解决问题的关键。

一、转化为相同底数

例1计算-（m-n）3÷2（n-m）2的结果是（）。

【解析】“同底数幂的除法”，顾名思义，相除的是相同底数的幂。但题目中的底数是不同的多项式，所以我们需要进一步整理，将幂的底数转化为相同底数。

我们不妨将（n-m）2转化为（m-n）2。因为（n-m）2与（m-n）2的底数互为相反数且指数均为偶数，所以（n-m）2=［-（mn）］2=（m-n）2，即-（m-n）3÷2（n-m）2=-（m-故选择A。

当然，我们也可以考虑将两个幂转化成相同的底数（n-m），将-（m-n）3整理为（n-m）3，然后进一步计算。感兴趣的同学可以尝试一下。

例2已知3×9m×27m=317+m，求（-m2）3÷（m3·m2）的值。

【解析】解决这个问题的关键是通过计算求得m的值。从幂的底数上看，已知条件中，等式左边的幂的乘法运算无法进行，因为9m与27m的底数不一样。我们只有将它们转化为相同底数的幂，才可以进行运算。

因为9m=（32）m=32m，27m=（33）m=33m，所以，等式左边可以转化为底数同为3 的幂的乘法运算。我们再运用同底数幂的乘法公式am·an=am+n，可求得左边同底数幂相乘的结果为31+5m。因此，有31+5m=317+m。因为该式中，左右两边幂的底数相同，所以指数必然也相同，从而建立方程1+5m=17+m，解得m=4。

如何利用求得的m值，求出代数式（-m2）3÷（m3·m2）的值呢？我们通过观察发现，代数式的底数均为m，先将代数式化简，（-m2）3÷（m3·m2）=-m6÷m5=-m，最后将m=4代入，即可求出代数式的值为-4。

二、公式逆用

例3已知xa=2，xb=3，求x2a+3b+x3b-3a的值。

【解析】逆用同底数幂的乘法法则，可先将要求的代数式进行整理，将x2a+3b+x3b-3a写成x2a·x3b+x3b÷x3a的形式，再逆用幂的乘方法则，将x2a·x3b、x3b÷x3a分别转化为（xa）2·（xb）3、（xb）3÷（xa）3，从而得解。具体过程如下：

三、比较幂的大小

例4比较255、344、433的大小，正确的是（）。

A.255＜344＜433B.433＜344＜255C.255＜433＜344D.344＜433＜255

【解析】题目所给的三个幂的指数较大，通过直接计算比较它们的大小是很困难的。我们通过观察发现，三个幂的指数的最大公约数是11，所以我们可以逆用幂的乘方法则，将255、344、433的指数都转化成指数是11的幂。

255=25×11=（25）11=3211，

344=34×11=（34）11=8111，

433=43×11=（43）11=6411。

指数相同，我们便可根据底数的大小判断。因为32＜64＜81，所以255＜433＜344。

例5已知a=8131，b=2741，c=961，试比较a、b、c的大小。

【解析】题目所给的三个幂的底数和指数都较大，同样很难通过计算求值来完成大小的比较。通过观察和思考，我们发现，可以逆用幂的乘方法则，将三个幂的底数转化为相同底数3。

8131=（34）31=3124，

2741=（33）41=3123，

961=（32）61=3122。

底数相同都是3，我们便可根据指数的大小判断。因为124＞123＞122，由此判断出961＜2741＜8131，所以c＜b＜a。

四、分类讨论思想的运用

例6若（2a-1）a+2=1，试确定a的值。

【解析】我们通过观察题目可以发现，已知条件中，幂的底数和指数均含有字母a，所以应分两种情况进行讨论。

（1）当指数为0 时，根据a0=1（a≠0）可知，底数不为0，即2a-1≠0、a+2=0，求解可得a=-2。

（2）当指数不为0 时，那么，底数需满足2a-1=1或2a-1=-1。

①当2a-1=1 时，因为1 的任何次幂都是1，所以可求得a=1。

②当2a-1=-1 时，因为-1 的偶次幂是1，所以a+2 是偶数。求解2a-1=-1，得a=0。当a=0时，a+2=2是偶数，满足题意。

综上所述，a的值为1或-2或0。