探索二次根式的化简速算方法

沈红霞

《二次根式》是人教版八年级第十六章的内容，内容包括二次根式的认识、二次根式的乘除和加减。在本章的学习实践中，发现二次根式的化简是学生学习的易错点之一，尤其是当被开方数为分数时，学生普遍存在计算速度慢、计算易出错、最后的结果没有化为最简二次根式的问题。本文中将着重探讨被开方数为分数的二次根式的化简，让学生能更快、更轻松地掌握本章知识点。

首先，我们从直观的角度，将被开方数为分数的二次根式的形式初步归纳如下几种形式：1.被开方数分子为1，分母不是含完全平方因数的二次根式，例如：[12]，[15] ；2.被开方数分母为完全平方数，分子不含完全平方因数的二次根式，例如：[54]，[316]；3.被开方数分子为完全平方数，分母不含完全平方因数的二次根式，例如：[45]，[253]；4.被開方数分子分母互质且都不含完全平方因数的二次根式，例如：[23] ，[65]；5.被开放数分子、分母中都含有完全方数因数的二次根式，例如：[2750]；6.被开方数分子、分母有公因式的二次根式，例如[128]。

在下文中将使用字母a和b来代替数，并设定它们是互质并且不含有完全平方因数的数，且都大于零。另外，被开方数为可以直接开方的分数（例如[916]）的形式不在讨论之列。

一、形式1：被开方数分子为1，分母不含有完全平方因数的二次根式

首先，我们来看常规的化简方式，以[15] ，[12]，[13]为例：

[15]=[15]=[55×5]=[55]；[12]=[12] =[22×2] =[22]；[13] =[13] =[33×3]=[33]

通过观察我们不难发现，当被开方数分子为1，分母又不含有完全平方因数时，化简出来的形式都是[aa]的形式，因此我们可以将此类化简归纳为：

[1a]=[aa]  （a>0）

这样，我们在教学中，可以引导学生对于此类二次根式进行一步到位的化简。

二、形式2：被开方数分母为完全平方数，分子不含有完全平方数因数的二次根式

以[54] ，[316] 为例，我们来看看常规算法： [54]=[55] =[52]；[316]=[316]=[34] 。通过这两道的化简，我们发现，当被开方数的分母为完全平方数时，开方的结果就是分母，分子依然保留根号，因此对于这种形式的化简可以简单归纳为：[ba2]=[ba] （a>0  b>0）。因此，当被开放数的分母为完全平方数的时候，直接将开方的结果做分母，分子保留根号。

三、形式3：被开方数的分子为完全平方数，分母不含有完全平方数因数的二次根式

以[45]为例，先来看常规化简方法：[45]=[45]=[25]  =[255×5]=[255]，对于这种形式的化简，可以结合[1a]=[aa]来进行化简：[45]=[45]= 2 ×[15]= 2 ×[55]= [255]

我们发现，与分母为完全平方数的形式化简类似，当分子为完全平方数时，开方的结果就是分子。因此，只需要把分子开方的结果作为分子，再利用 [1a]=[aa]迅速得出结果。对于这种形式的化简，我们可以归纳为：[b2a]=[baa]（a>0  b>0）。

四、形式4：被开方数的分子分母互质而且都不含有完全平方因数的二次根式

以[23]，[65]为例，首先，用常规方式进行化简：[23] =[23]=[233×3]=[2×33]=[63]；[65]=[65]=[655×5]=[6×55] =[305]，通过观察发现，[23]=[3×23]=[63]，[65]=[6×55]=[305]，也就是直接将分母根号去掉，分子保留根号，分子分母的乘积就是化简之后的分子的被开方数。所以我们可以将此类化简归纳为：[ba]=[aba]（a>0  b>0）。

五、形式5：分子分母中都含有完全方数因数时，分子分母不能进行约分的二次根式

例如[2720]，结合前面的规律，我们可以将分子中的完全平方因数开方的结果做为分子，分母的完全方因数开方的结果做分母，剩下用[ba]=[aba]来计算。例如：[2720]=[32]×[35]=[32]×[3×55]=[31510]。

六、形式6：分子、分母有公因式的二次根式

例如[128]，我们可以将分子分母先约分，化简为[32]，此时分子分母互质，再利用[ba]=[aba]进行化简。如： [128]=[32]=[2×32]=[62]。

再如[506]，被开方数约分之后变为[253]，分子中含有完全平方数，我们将分子中的完全平方数开方的结果作为分子，再利用[1a] =[aa]进行化简。过程如下：[506]=[253]=5×[33] =[533]。

如此，如果被开方数中的分子分母可以约分，约分后分数形式也无非是形式1到形式5。

七、结合例题综合感受这些规律在二次根式的化简中的运用

例一：化简[18]，第一步：[18]=[122]   → 分母中含有完全平方因数，将完全平方因数开方的结果作为分母；第二步：[18]=[12]×[22]→[12] 实际就是[12]，因此可以利用[1a] =[aa]迅速得出化简结果；第三步：[18]=[24]。此化简中要注意，被开方数中的分子或者是分母中，无论谁含完全平方因数，都先将完全平方因数开方，并将分子中的完全平方数开方的结果作为分子，分母中的完全平方数开方的结果作为分母，剩下的就可以用以上形式1、形式2、形式3和形式4四种模式进行快速化简。

例二：化简[227]，首先，分母27中含有完全平方数9，直接开方的结果3作为分母，这样根号下的被放开数就变为[23]，可以利用[ba]=[aba]（a>0  b>0   a、b互质，且都不含有完全平方因数）来进行计算。得出： [227]=[13]×[23]=[13]×[63]=[69]，通过进一步总结我们可以发现，所有被开方数为分数的二次根式的化简，最终可以简单归纳为如下三个要点。

（一）被开方数中的分子、分母可有公因数时先约分；约分后二次根式就有可能是形式1、2、3、4、5；

（二）约分之后，被开方数中的分子和分母含有完全平方因数时，把分子中的完全平方因数开方的结果作为分子，分母中的完全平方因数开方的结果作为分母，这样可以完成形式2、3、5的化简；

（三）通过前面的操作，二次根式要么是形式4或者形式1，即被开方数的分子和分母是互质且不再含有完全平方因数或者分子是1，就可以利用[ba]=[aba]来进行化简。我们不难发现，[ba]=[aba]中包含了形式1（[1a]=[aa]）这种情况，但是在教学中，我们依然可以将[1a]=[aa]，作为一种直观的化简模型介绍给学生。通过实践，我们发现在熟练掌握以上规律之后，无论处在那种层次的学生，对于被开方数为分数的二次根式的化简，都可以做到只需要1至2步就完成，并且正确率和速度都有很大提高。