数学文化:从教材到教学——以三版教材中“圆”一章为例

张定强, 申韩丽, 裴 阳

(西北师范大学 教育学部, 甘肃 兰州 730070)

数学教育体现数学文化,又以数学文化为载体[1]。数学教材是数学文化最重要的承载平台。在《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称 《2011版课标》)与《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《2022版课标》)中都明确提出了数学文化与教材的关系。《2011版课标》提出数学文化是教材的组成部分,应将其渗透在整套教材中[2]。《2022版课标》提出教材中可介绍数学文化,内容设计反映数学在自然与社会中的应用,展现数学发展史中伟大数学家,特别是中国古代与近现代著名的数学家,以及他们的数学成果在人类文明发展中的作用[3]。正是由于数学文化能突出数学知识的来源与发展过程[4],那么数学文化融入数学教材,可促进学生数学学习发展[5],不断丰富和增润数学教育共同体的数学核心素养。

数学文化的内涵丰富、应用广泛,已经深深地嵌入数学教育的各个层面。数学文化通常是指数学的思想、精神、方法、观点、语言形成与发展中所展现出的数学史、数学美以及数学在人类生活、科技和社会发展中的活动、贡献和意义等。在数学教材的建构中介绍数学史、名人名家故事以及与数学文化相关的内容,可激发学生对数学的学习兴趣,唤醒学生探究数学真理的欲望,夯实学生的“人文底蕴”和“科学精神”。数学教材中的数学文化是基于学生的数学现实设计的,但要转变为学生的数学素养需要数学教学,进而使学生在数学学习中感受到数学特有的理性和温度。本文以2013年华东师范大学出版社出版的初中数学九年级下册教材(简称“华师版”)[6]、人民教育出版社出版的初中数学九年级上册(简称“人教版”)[7]、北京师范大学出版社出版的初中数学九年级下册(简称“北师版”)[8]教材中“圆”的一章为例,从教材与教学两个维度探讨数学文化的建构与实施,以期为一线的数学教师更好地使用教材教学提供一些参考,助力于立德树人根本任务的落地。

一、数学教材:数学文化的表征及构建

数学教材应基于学生的身心发展规律和认知水平,设计合适的数学文化素材以更好地促进学生数学素养的形成。数学文化素材可帮助学生从具体的、表象的感性上升到抽象的、概念的知性,再从知性上升到具体的、多样性统一的理性[9]。

(一)数学文化的教材表征

数学文化的教材表征是指教材建设者利用一定的编制技术,精心选用适宜的数学文化素材,通过数学语言将其融入数学教材体系当中,与数学知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观融为一体而进行的教学化建构。

华师版、人教版、北师版数学文化表征主要分布在章前言、正文、例题、练习题、习题、复习题等方面,以三版教材“圆”一章为例,数学文化分布的大致情况如表1所示。

表1 三版教材“圆”中数学文化表征分布

表1表明,人教版教材表征的数学文化是三版教材中最多的,且密度最大,其次为北师版,最后为华师版。教材的不同部分渗透数学文化,可打通学生用“数学眼光”“数学思维”“数学语言”与真实世界产生共鸣的通道[10],使得学生的数学思维更加舒展。

三版教材中数学文化的类别主要有数学史、数学与生活、数学与科技、数学与艺术、数学与体育以及趣味数学6类。这是基于姜浩哲[11]、汪晓勤[12]、张维忠[13]等学者的分类概括而成的。三版教材“圆”中的数学文化类别情况如表2所示。

表2 三版教材“圆”中数学文化表征类别

表2表明,数学文化以不同的主题类别渗透到数学教材的不同部分。三版教材中数学与生活类别最多,符合学生的身心发展规律,数学本就来源于生活,服务于生活。总体来看,三版教材都建构了较浓厚的数学文化氛围,这种氛围可提升学生数学学习的兴趣,以及学好数学的自信心。

(二)数学文化的教材建构

数学文化是建构数学教材的“必需品”,真正的数学文化可以让学习者内心产生愉悦的心灵体验和内心感悟。数学教材的建构就是将一些数学文化融入文本之中,并通过数学源文化、数学靶文化等多种形式组织起来,使一些数学概念、定理、思想、方法在数学教材中彰显其丰富性和教育性。所谓数学源文化是指引性数学文化,所谓数学靶文化是目标性数学文化。数学源文化是数学靶文化的外在表现形式,是外隐的信号、替代物等表征形式,数学靶文化是数学源文化内隐的表现形式。数学源文化和数学靶文化的联结,共同指向数学文化素养及四基、四能的形塑。“圆”一章数学源文化和数学靶文化的教材建构如表3所示。

表3表明,三版教材数学源文化各有其特色,但都是在贴近学生现实、回归学生生活世界、易于学生掌握和理解的数学文化情境中建构的。与之相应的数学靶文化是以必要的数学源文化引发的知识为前提,是关于某个数学文化情境的自觉意识状态,意在排除潜意识中未知的东西,从数学源文化中汲取数学的智慧和力量,向目标性数学文化前行,以提高学生的数学文化素养。透视三版教材,都是巧妙地将数学思想和方法融入了数学文化情境中,创造了丰富的数学文化空间,使得数学文化走向学生。

华师版“圆”一章的建构中,基本每一节中都有数学文化的呈现。教材通过数学源文化获取一些数学的基本事实、概念、定理等,如圆的概念及基本元素、圆的性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,弧长和扇形的表面积等,在数学源文化中浸透了数学活动经验及数学思想。章前言中的数学文化内容引出本章所学内容,正文中的数学文化对重要的概念、重要的定理有补充解释作用,习题、练习题中的数学文化重在应用,阅读材料中的数学文化,旨在拓展本章内容。尤其阅读材料中古希腊人对大地的测量,开启了人类“测量”之旅,体现了精彩纷呈的多元文化。阅读材料中圆周率π可让学生了解我国古代数学的伟大成就以及当代社会的发展。综合实践活动中的硬币滚动中的数学,体现了圆知识的综合应用。整体上华师版教材中的数学文化建构中的用词用句比较简洁。

人教版“圆”一章的建构中,选取的数学源文化特别注意与生活实际相结合,重视知识间的综合利用。如日出情境中的分类讨论思想、特殊与一般的思想;圆周率π中的极限思想等,这些数学思想是深藏于具体数学知识形态背后的数学认识模式结构[14]。无论是数学源文化还是数学靶文化的建构,都旨在提供给学生多样的学习机会、学习经验的获得。

北师版“圆”一章的建构中,一个显著的特点是特别注重学生的实际经验,如空旷草地柱子上拴着的狗的活动区域;学校受噪声污染的时间;圆形森林公园建公路;草莓冰激凌商标纸的长等,这些情境符合学生的日常生活经验。通过这些真实数学文化情境的设置,拉近了学生与教材的距离,让学生感受到数学文化问题情境的发展与变化,引发学生思考、饶有兴趣地参与其中,激发学生解决问题的欲望[15],进而通过这些数学源文化的引领,为学生创设探究、讨论、生成的情境,引领学生发掘规则以及事实背后的意义场景。

从三版教材建构“圆”体系的特点可以看出,数学文化是建构数学教材的重要载体,数学文化情境是建构数学教材的血液;而通过数学源文化素材的嵌入以及数学靶文化的践行,引领学生深度理解数学文化在建构和解构数学教材中增润功能。

二、数学教学:数学文化的落地及机制

数学文化是数学教材建构的核心要素,要使其充分发挥作用,就必然通过数学教学。数学教学是数学文化成为学生数学素养的桥梁,通过数学文化层面的剖析就能使学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学[16]。为此要在数学文化的实施中建构教学生态系统,形成良好的数学文化教学机制。

(一)数学文化的教学落地

教材中蕴藏着丰富的数学文化资源,这些数学文化资源为夯实学生数学学科素养提供了重要的基石。数学文化的教学落地,需要从教学准备、设计、实施、评价及反思五个维度进行,以发挥数学文化的真正力量。

1.数学文化教学的准备

数学文化教学的准备是指在整体观、系统观的导引下进行的准备,从数学现实和生活现实入手,剖析数学文化情境的结构特征。一要准备数学文化的语言,使教学用语符合学生的认知规律、心理意愿和思维发展水平,符合学生的最近发展区;二要准备数学文化的迁移,使数学源文化迁移到数学靶文化,数学思维得到深层次的发展;三要准备数学文化的方法,着力于教学方法的创新和数学思想方法的挖掘。所以在对数学文化的话语形式、表达方式进行准备时应符合学生生活经验的方式。

如圆周率π对学生来说熟悉而陌生,熟悉是因为学生从幼儿、小学开始就已认知了圆。但是对圆周率的起源、古人对其探索过程中的艰辛以及现代计算机对圆周率小数位数的计算等的认知,学生仍比较陌生。所以在教学圆周率这一课时,教师的准备精准于学生的短板,在透析教材中及查到的史料中进行数学文化的准备,将其转化为学生易于理解的活动体系。

2.数学文化教学的设计

数学文化教学的设计是指在教学设计时要高度关注数学文化的情境设计,使得数学文化与要解决的数学问题相结合,在设计中赋予数学文化以新的活性,激发学生的认知活力和想表达愿表达、想创造愿创造的热情。

如在“点与圆的位置关系”教学设计时,可以进行这样的教学情境设计:(1)以数学文化射击靶的示意图为课堂的情境引入,射击靶是由许多同心圆组成的,击中靶上不同的位置代表不同的成绩。这一现象体现了平面上点与圆的位置关系,怎么判断点与圆的位置关系?(2)草原上有三个放牧点,这三个放牧点不在一条直线上,要修建一个牧民定居点,使得三个放牧点到定居点的距离相等。如何确定定居点的位置?等等。学生可以在相应的学案及导学单上写出自己的想法、联想、发现。这样设计以符合学生的语言习惯以及与学生所在生活世界中的经验为目的,基于数学文化视角使学生的思维更灵活。

3.数学文化教学的实施

数学文化教学的实施意在凸显数学中的文化特质,在显化数学文化语料、经典素材的同时,显现数学文化背后的数学思想与活动经验。首先,创造数学文化学习的环境,激起学生的兴趣,让学生在学习中有获得新知的喜悦;其次,在小组合作、参与研讨、独立思考的基础上共同品味数学文化在数学知识形成与发展过程中的作用,充分调动学生学习的主动性,让学生进行数学故事讲解,数学知识溯源,数学问题分析,数学思想提取;最后,精巧地将数学文化融入教学全程,基于历史再现唤醒学生探索、挑战数学的信心和毅力,在师生思维碰撞中,加深对数学文化的理解,使得数学文化具有开放性[17]。

如在直线与圆的位置教学中,三版教材都有日出情境,为引出直线与圆的三种位置关系,如果将此数学文化情境与语文学科相结合——“果然过了一会儿,在那个地方出现了太阳的小半边脸,红是真红,却没有亮光”,就有了直线与圆相交的意蕴;与地理学科相结合,在海上为什么可以看到海平面以下的太阳?在海上什么时候太阳才算是真正地升起?引发学生思考与探索这些有趣的现象,加深对数学文化的跨学科理解。在数学文化的实施中,基于真实情境,可以让学生在获得数学知识的同时,还学到了其他学科的知识。

4.数学文化教学的评价

数学文化教学的评价着力于数学价值的新认知,数学素养的新理解,通过数学文化情境的再造,让学生在一个新的视域下感悟数学的抽象性、逻辑性和应用性,并基于数学源文化的显现达至数学思维的优化、数学智慧的形成、数学素养的夯实。数学文化视角的评价可以破除分数为上的桎梏,利用数学文化故事激励学生刻苦学习、鼓励学生勇于“据理力争”、诱发学生生发奇妙的想法,这样就可能超越先前狭隘评价的局限。

如学习“车轮为什么是圆的?”,教师带领学生探索正三角形、正方形、正六边形为什么不能做车轮?学生进行探索后发现,如果用正三角形、正方形、正六边形做轮子,在滚动的过程中,发现这些图形的重心与地面的距离不是一个定值,坐在车上的人会感觉比较颠簸;而圆形车轴与地面的距离始终不变,这个距离等于车轮的半径,坐在车上的人会感觉比较舒服。从物理学角度来看,圆形轮子比较省力。当同学提到,正三角形换成曲边三角形(曲边三角形是以等边三角形的三个顶点为圆心、边长为半径的三条等弧围成的图形)[18]的车轮是否可以?有同学回应可以。作为教师,对学生这些大胆的想法予以支持并积极地予以评价,并与学生一起分析并验证是否正确,以此加深学生对数学文化的理解。

5.数学文化教学的反思

数学文化教学的反思是指对数学全程是否具有数学文化味儿的追问。数学文化教学的反思一要反思教学回顾环节是否唤醒了数学文化的记忆,教学导入是否切入数学文化场域,新知讲解是否改变了讲授式的文化传统,巩固练习是否提高了学生学习数学的精气神,课堂小结是否充满了数学文化气息。进而深度反思数学文化是否符合学生的身心发展规律?相关的数学活动是否满足学生数学学习的情感需求?等等,在反思中使数学学科自身的科学价值与人文价值得到生态式融合。

如“硬币滚动中的数学”学习中,基于数学文化教学的反思可接着设计“探究圆心运动的路径”的教学活动,其问题链为:探讨小圆内切于大圆,小圆圆心运动的路径;小圆外切于大圆,小圆圆心运动的路径。探讨小圆内切于大正三角形,小圆圆心运动的路径;小圆外切于大正三角形,小圆圆心运动的路径。探讨小圆内切于大正方形,小圆圆心运动的路径;小圆外切于大正方形,小圆圆心运动的路径。探讨小圆内切于大正n边形,小圆圆心运动的路径;小圆外切于大正n边形,小圆圆心运动的路径。基于数学文化教学的反思可以激活学生大脑中一闪而过的灵感及动态体验,启迪学生的数学智慧,拓宽了师生之间数学文化情境的解决阈。

(二)数学文化的教学机制

数学文化的教学机制是指在数学文化观下对教学要素及其相互关系的建构,是教师对数学教材中的数学源文化与数学靶文化基于教学场域进行生产和再生产,在教学准备、设计、实施、评价、反思中实现数学育人目标的过程。其教学机制如图1所示。

图1 数学文化的教学机制

由图1可知,在教学生产中,基于数量关系和空间形式来呈现数学文化于数学教材中,实现数学源文化向数学靶文化目标的转变。在教学再生产中,基于数学文化的情境化、活动化的教学加工,实现数学源文化的教学再生产,再对数量关系、空间形式通过教学意义的重构,进而进行数学靶文化的再生产,其目的是为了学习目标的达成。在教学实现中,通过教学的准备与设计、实施与评价、反思与改进等教学过程来达成数学文化的落地。整个教学机制之中,师生共同体为了共同的目标而采取了一系列活动,在选择与创造中进行教学加工和教学话语再秩序化的重塑,通过教学过程将数学文化的教学意义潜势激活,使得数学课堂更具有文化底蕴,从而实现从教材到教学的目标实现。

三、结语

数学文化是数学教材建构与数学教学的核心要素,也是提高数学教育质量的重要抓手。从数学文化的角度对三版教材中例析“圆”一章中数学文化的建构与教学,有利于实现数学教学效益最大化。类似地可以对不同数学主题进行数学文化视角的探析,创新性地进行数学教育研究,特别要基于数学教学要素及数学文化生态环境探讨数学文化运行的教学机制,可开拓数学教学研究的新视野。