丰富多彩的中考作图题

刁小娟

2022年版的《义务教育数学课程标准》对作图的学习要求有所提高，这一指导思想已渗透在各地的中考命题之中. 现对这类问题的特点与解法加以分析，供同学们复习时参考.

一、已知尺规作图，解决有关问题

解决这类问题的关键是根据题目给出的尺规作图的步骤，准确判定尺规作图的类型.

例1 （2022·湖北·鄂州）如图1，直线l1[⫽]l2，点C，A分别在l1，l2上，以点C为圆心、CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB. 若∠BCA = 150°，则∠1的度数为（ ）.

A. 10°     B. 15°

C. 20°       D. 30°

分析：由题意可得AC = BC，则∠CAB = ∠CBA. 由∠BCA = 150°和三角形的内角和等于180°，可得∠CAB与∠CBA的度数，再结合平行线的性质即可得到∠1的度数．

解：由尺规作图得AC = BC，∴∠CAB = ∠CBA.∵∠BCA = 150°，∠BCA + ∠CAB + ∠CBA = 180°，∴∠CAB = ∠CBA = 15°.∵l1[⫽]l2，∴∠1 = ∠CBA = 15°. 故选B．

点评：能根据尺规作图得出BC = AC是解题的关键．

例2 （2022·吉林·长春）如图2，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）.

A. AF = BF B. AE = [12]AC

C. ∠DBF + ∠DFB = 90° D. ∠BAF = ∠EBC

分析：由尺规作图得到DF垂直平分AB，BF平分∠ABC，再利用线段垂直平分线和角平分线的性质，即可得到结论.

解：由尺规作图可知DF垂直平分AB，∴AF = BF，∠FDB = 90°，∠BAF = ∠EBA，∴∠DBF + ∠DFB = 90°；由尺规作图可知，BF平分∠ABC，∴∠ABE = ∠EBC，∴∠BAF = ∠EBC. 由于BE不一定平分AC，∴AE = [12]AC 不一定正确. 故选B.

点评：准确判断基本尺规作图的类型是解题关键.

二、根据题目要求，完成相关作图

解决这类问题的关键是准确掌握基本作图的步骤，通过推理分析，将问题转化为基本作图来解决.

例3 （2022·湖北·湛江）如图3，已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．

（1）在图3①中作出矩形ABCD的对称轴m，使m[⫽]AB；

（2）在图3②中作出矩形ABCD的对称轴n，使n[⫽]AD．

分析：（1）如图4，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图5，同（1）中的方法作出直线OE，连接BE交AC于点T，连接DT并延长交AB于点R，作直线OR即可.

解：（1）如图4中，直线m即为所求；（2）如图5中，直线n即为所求.

点评：解题的关键是灵活运用直线的基本性质、矩形的性质和三角形重心的概念及其性质来解决问题，

三、先尺规作图，再解决问题

例4 （2022·江苏·无锡）如图6，△ABC为锐角三角形．

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC = ∠ACB，且CD⊥AD（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若∠B = 60°，AB = 2，BC = 3，则四边形ABCD的面积为_____________．

分析：（1）利用平行线的内错角相等来作图，然后过点C作AD的垂线即可；（2）过点A作AH⊥BC于点H，求出AH，AD，利用梯形面积公式即可求解．

解：（1）如圖6中，点D即为所求.

（2）过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中，AB = 2，∠B = 60°，∴∠BAH = 30°，∴BH = 1，AH = [3]，CH = BC - BH = 2. ∵∠DAC = ∠ACB，∴AD[⫽]BC. ∵AH⊥CB，CD⊥AD，∠AHC = ∠ADC = ∠DCH = 90°，∴四边形AHCD是矩形，AD = CH = 2，∴S四边形ABCD = [12] × （2 + 3） × 2 = 5.

点评：解题的关键是通过分析，将复杂的作图转化为基本尺规作图来处理．

（作者单位：江苏省泰兴市大生初级中学）