基于“三观”结构情境的立体认知教学实践——以“用一元二次方程解决实际问题”教学为例

■万志建，陈锋

数学教育的目的是教会学生发现、探索、研究、解决生活中的数学问题。数学问题的解决不仅有助于发展思维，而且可以培养学生解决日常生活问题的基本技能。苏科版教材“用一元二次方程解决实际问题”一章中，以“铁丝围矩形问题和增长率问题”作为教学情境来开展教学，旨在通过教学情境的创设，让学生体会知识之间的联系，并学以致用，与实际生活形成联系。在实际教学中，很多教师只是简单地将情境与部分知识点相对应，作为导入的一个引子，教学衔接有失自然，呈现碎片化脱节现象，不利于发展学生的整体思想；也有部分教师讲“铁丝围矩形问题”后采用变式教学，深挖题、广发散，由此引伸到求某一矩形区域内做路后剩余区域面积问题，然后对等宽的路的形状、位置、数量进行变式，从中渗透平移、割补、极限思想，尽管挖掘有深度、互动有热度，但过于聚焦局部，深而不广，没有真正发挥情境的作用。《义务教学数学课程标准（2022 版）》（以下简称课标（2022 版））在教学建议中指出，要整体把握教学内容，注重教学内容的结构化及与核心素养的关联，丰富教学方式，重视单元整体教学设计，强化情境设计与问题的提出。基于此，本文以“用一元二次方程解决实际问题”教学为例，从宏观、中观、微观三个视角创设情境，构建立体教学。

宏观情境是指站位单元，纵向梳理课时产生的前因后果、结构关联、价值意义，帮助学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题；站位学段，横向类比同类单元的学习内容与经历，整体把握章节结构，感悟学习方法，内明本单元的知识走向，外通同类单元知识结构。中观情况是指站位课时，用完整的大情境统领和串联课时知识点，随着情境的展开，知识点应景而生，知识明线和素养暗线交织前行，帮助学生明晰知识产生的源点、传承的支点与发展的远点，培养学生的抽象、推理与建模能力。微观情境是指化整为零，聚焦知识点中的关键语点，设置铺垫，各个击破，从而突破重点，化解难点，加深学生对知识点的显性与隐性认识； 集零为整，把知识点放置于不同的情境中，通过变式拓展，让学生全面理解知识点的内涵与外延，从而夯实“四基”，提升“四能”。“三观”情境意在贯通章节、串联课时、聚焦局部，帮助学生经历问题的形成、发展及演变过程，发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究，从而构建普适的数学模型，来表达和解决问题，发展数学核心素养，提高学生的应用意识和实践能力。情境可以理解为学生进行学习活动时的一种环境和背景，它给学生提供思考的空间，是诱发学生提出问题并解决问题的一种刺激材料[2]。如果把知识比作必需的营养，则教师创设的情境相当于精心设计的营养配餐，设计时既要了解不同地区学生习惯的菜系、口味等宏观背景，也要体现菜品的搭配组合、呈现的先后顺序这条主线，更要立足聚焦于各个菜品的色香味和特色亮点，激起学生学习兴趣，让学生在细嚼慢咽中充分吸收知识营养。

一、以宏观情境贯通章节，构建单元整体模型

课标（2022 版）在教学建议中指出，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，本质上就是从宏观角度设计情境。纵观初中教材的编写呈逐级递进、螺旋上升的特点，因此可依据单元中各课时的衔接和学段中同类单元的关联创设情境，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系[3]，让学生预知学习内容，了解学习方法。要想构建整体的知识结构，首先必须放眼整章分析课时的地位作用、来龙去脉，从而创设逐层递升、环环相扣的教学情境，形成清晰的课时生长路径，继往开来地构建单元教学任务，更好地帮助学生把握整章单元知识结构，体会数学知识间的逻辑关联，提升综合解决实际问题的能力。本课时内容从单元视角看，是从源于生活中具体问题分析，得出方程模型，再到一元二次方程的概念和求解等内容基础上的继续，既是对章首提出的实际问题呼应回归，形成知识链闭环，也是真正解决实际问题的重要一课，体现数学来源于生活、服务于生活的本质。其次必须站位学段，类比同类单元，梳理教材内容中形式、教学结构的内在逻辑关联，发挥教材中知识点的节点效应，从孤立到通联[4]，使学生能够基于以往学习的经验，对章节内容的安排及走向形成合乎逻辑的解释，并为整体架构知识体系，为类比迁移解决实际问题提供思路与方法，有效促进深度学习。在学习本课时前，学生先后经历用一元一次方程、二元一次方程、分式方程解决实际问题，已具备扎实的知识技能，积累了丰富的学习经验，领会了相应的数学思想方法，因此温故知新有助于学生感悟其中相通的规律、本质和价值，提升技能的迁移类比能力。

问题1：在本章中我们依次学了哪些内容？

教学说明：让学生顺次回顾已学内容，梳理本章知识的生长、发展过程，形成清晰的课时生长路径，以明确本课时的起点，从宏观上设计单元整体情境，将课时内容融入整体章节，进行知识的整体架构，构建前后知识之间联系的桥梁，为后继学习奠定基础。

问题2：我们已经了解一元二次方程，学习了相关内容，并掌握了如何解一元二次方程，如何应用一元二次方程呢？

教学说明：让学生从两个视角解释，一是学以致用解决章首提出的很多实际问题，首尾呼应体现章节内容的完整性；二是类比之前方程单元的学习经验，无论是一元一次方程、二元一次方程还是分式方程，都是从实际问题出发引出概念，再学习如何解方程，最后回归到用方程解决实际问题中去。从而构建出如图1 所示的单元知识结构，凸显知识间的本质联系，体会本课时的价值。

图1 单元知识结构

问题3：类比之前方程的学习经验，如何开展方程类知识的学习？

教学说明：初中教材的编写呈逐级递进、螺旋上升的特点，学生通过横向比较方程类单元之间的关联，思考解决方程类问题的通性通法，让学生在见到具体问题之前，心中已有初步的方法构想，从章节整体出发，采用宏观情境，构建普适的单元整体教学模型。

二、以中观情境串联课时，生成教学明暗双线

课标（2022 版）在教学建议中指出，为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养之间的关联。因此教学情境的创设要基于课时内容，从学生实际的生活经验和已有的知识背景出发，按知识“从哪里来？是什么？怎样学？怎样用？向哪里去”的逻辑，串联起一条教学活动（问题）明线，多个知识点通过相互关联形成知识链[5]。同时“数学直观、数据分析、逻辑推理（去异求同）、数学抽象（揭示特质）、数学建模（灵活应用）、提炼思想”的素养暗线随着情境的发展、问题的驱动，与教学明线如影随形，比翼双飞，交织前行，形成生长课堂结构。作为一名教育工作者，学校的教育教学活动要以人为本，以学生的认知规律为本，创设不同类型的数学情境，教给学生具有生长力的数学，让学生数学知识获得生长的同时，也让学生数学思维、数学素养获得生长。学生在生长情境中不断增强创新及应用能力，提升数学建构、数学推理、数学抽象等素养。本课时内容主要包括面积问题、增长率问题及利润问题，通过围地种桃情境，融入“空地围篱笆、收成增长率及降价促销”等三个情节，生长出这三类问题，让学生掌握“用一元二次方程解决实际问题”的主要题型、方法技能，感悟数形结合、数学建模、类比、转化等数学思想。

问题1：回顾章首内容，从问题到方程，我们列举了哪些问题？

教学说明：通过回顾章首问题，让学生对“用一元二次方程解决实际问题”的主要题型有一个初步的了解，也为后续用“从一块空地说起”这一中观情境串联、拓展部分题型作铺垫，构建出如图2 所示的课时知识结构。

图2

问题2（面积问题）：小明家旁边有一块空地，现用40 米长的围栏：

（1）能否围成面积是96 平方米的矩形区域？

（2）品味“能否围成”其中的含义，你想到了什么？ 举例说明。

问题3：学数学使人精明，如果小明家旁有一段20 米长的围墙，你能设计出哪些问题？

（1）能否靠墙围成面积是198 平方米的矩形区域？

（2） 在与墙平行的一边开一扇2 米宽的门，能否靠墙围成面积是220 平方米的矩形区域？

（3）在问（2）基础上，现准备在矩形区域内部挖纵横两条等宽的沟渠，使剩余面积为162 平方米，求沟渠的宽度。你还能设计哪些问题？

问题4（增长率问题）：小明家准备在这块空地上种植水蜜桃，从第三年开始收获产量500 千克，第四年增长了20%，求第四年的产量。若到第五年的产量为720 千克，求第三年到第五年平均每年增长的百分率是多少。

问题5（营销问题）：自从小明家水蜜桃量产后，开始在市场上销售，在销售中发现：平均每天可售出20 箱，每箱扣除种植成本后盈利40 元。经市场调查发现：如果每箱降价1 元，平均每天就可多售出2 箱。

（1）如果降价后销售这种水蜜桃当天盈利1200 元，那么每箱单价降了多少元？ 从中有何启发？

（2）思考：如果从外面低价批发转卖，每箱也能盈利40 元，按照这种市场规律，你认为最多可盈利多少？

教学说明：具有各自功能价值的问题依据特定的内在联系有机组合而成的问题串，既能反映一节课的教学内容，又能体现一节课完整的“骨架”[1]。本课以“一块空地”为背景，生长出“面积、增长率、营销问题”等新情境，衔接自然，浑然一体，融会贯通整个课时。一方面让学生感受知识的聚焦与发散，聚于一元二次方程，散于三个方面的应用，深度理解知识应用的变（呈现背景改变）与不变（寻找等量关系），也为后续学习用二次函数解决实际问题暗埋伏笔；另一方面，让学生感悟生活中处处有数学，处处离不开数学，数学问题的产生从来不是割裂断层的，而是和谐共生、关联层进的。

三、微观情境聚焦局部，深耕细作具体问题

宏观和中观情境旨在让学生对知识有整体性的认识，微观情境则立足于一枝一叶，立足于由表及里、由粗入微的认识，着眼于对每一知识点更为务实的探究打磨、聚焦发散，注重一个“透”字。通过还原知识点形成的现实情境，让学生在情境中厘清知识点的来龙去脉，并通过数学的语言，简约、精确地描述自然现象、科学情境和日常生活中的数量关系与空间形式，在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识并提升实践能力[6]。如面积问题的设计，为使问题更具生活性和生长性，背景设计为小明家旁的空地，为后面的依墙而建、预留门宽等暗埋伏笔，在分析“能否围成面积是96 平方米的矩形区域”时，注重剖析关键词“能否”两字的含义，并由此衍生发散系列问题；在用等量关系列方程时，从两个不同角度列式比较优劣，并由此明理悟道；最后又在此例的基础上开枝散叶，逐层深入，并由此掌握“用一元二次方程解决实际问题”的规律方法，提升学生建模素养。

问题：小明家旁边有一块空地，现用40 米长的围栏，能否围成面积是96 平方米的矩形区域？

教学说明：本题虽然简单，但承载的教学作用意义重大，一是要让学生会用数学语言表达“能否围成”的含义，并能联想到用方程模型解决实际问题。二是引导学生会用数学的思维分析本题中的未知量及等量关系。一般而言，两个未知量需要两个等量关系来解决，而列方程一般只选用其中一个等量关系，究竟选哪一个？为什么？另一个等量关系起什么作用？ 这些要让学生去尝试体验，得出最优化解决方案。三是引导学生列方程求解，得出答案，并据此概述用一元二次方程解决实际问题的解题步骤。四是让学生回首细品“能否围成”的延伸意义，用数学的眼光、数形结合思想直观想象面积是否无限大，通过方程建模、数学推理、计算得出面积最大不能超过100 平方米，为后续学习二次函数最值暗埋伏笔。