3D建模对立体几何教学有效性探究

摘 要：3D建模是近年来高中立体几何教学兴起的热门教学技能，与传统教学相比，它具有动态直观、利于展示等优势。然而，多媒体教学缺少板书和思考过程的缺点也一直被广大一线教育工作者诟病，所以探讨信息技术对教学的促进作用成为高中教学中持久的话题。本文采用实验教学思想，通过设置对比实验对信息技术教学的有效性进行了探究。

关键词：3D建模；立体几何；有效性；探究

1 研究的背景和现状

立体几何一章的学习，对于很多初上高中的学生而言，显得比较困难。在传统的教学模式下，教师常常采用实物模型或黑板绘图的方式来进行教学，然而这对于缺乏空间想象力的学生而言，学习本章困难重重。

信息技术的发展，让多媒体技术进入了课堂，使得越来越多的教师采用多媒体技术中的3D建模方式来进行立体几何一章内容的教学。然而，过多地依赖多媒体技术去绘制图形来进行解题，容易导致學生缺乏自己动手绘制空间图形的技能，以至于最终无法形成自己的空间想象能力来解决空间中的各种问题。在这种矛盾的背景下，本文就两种教学模式下的效果进行了实验探究，希望能分析发现一些多媒体教学中的问题。

2 研究的内容和方向

在立体几何一章，球类问题处于章节的中间位置，承上启下，是一节过渡性的内容，也是对学生空间想象力要求比较高的一节内容。选择该节内容来研究立体几何3D建模教学，比较具有代表性和针对性。而对于研究方向，笔者决定先从3D建模是否在立体几何教学中起到作用方向入手，如果没有起到作用，则终止实验；如果有效，再去探究有效程度的具体情形，最终形成分析结论。

3 3D建模是否有效探究

如何能证明3D建模教学对学生解决立体几何问题起到了促进作用？笔者决定在教学中，针对下面这道例题，采用传统教学和信息技术教学两种不同的教学模式，以此展开进行对比实验。

例：已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，求球O的表面积。

球的这类问题的一般解决思路如下：

（1）首先寻找底面三角形ABC外接圆的圆心，因为底面是直角三角形，所以外接圆圆心O′位于斜边BC的中点位置。

（2）根据外接球的特点，球心O到A，B，C三个顶点的距离相等，所以球心O应位于外接圆圆心O′的正上方。至于在O′上方什么位置，因为三条侧棱与底面垂直的缘故，所以OO′长度为侧棱长的一半。

（3）连接OA与O′A，从而构成直角三角形O′OA，球的半径R=OA，在直角三角形O′OA中，利用勾股定理求出斜边OA的长度，即球的半径R=132，从而根据球的公式计算出球的表面积S=4πR2=169π。

图2 分析思路及模型展示

当然，除了这种常规的解决思路之外，这道题还有另外一种巧妙的解决方案，那就是采用补形的思想，将三棱柱补成长方体。根据长方体所具有的良好对称性，其体对角线便是外接球的直径，从而快速进行球的直径计算，使问题得到解决。

补形是立体几何中的常用方法，所以两种方法都有必要教给学生，然而作为解决球类问题研究的一般方法，应着重给学生强调第一种常规解法。

对比实验：

（1）筛选样本：对于这道例题的讲解，笔者选择了高一年级甲乙两个班来进行对比实验。这两个班级初始分班平均成绩相当，在两个班，笔者又各自筛选了30名学生，通过上一次立体几何测验的成绩，统计筛选出的两个班各30名同学的平均分都为80分，保证实验的起点相同。

（2）分类教学：在甲班，笔者采用传统的粉笔画图教学，没有多媒体软件的3D动态展示，教学主要依赖于学生借助足球、篮球等日常模型来发挥自己的空间想象力，手动绘图解决；而在乙班，笔者采用了上面的多媒体软件进行3D的动态展示，借助软件呈现解决的思路，也颇为担心用软件3D绘图呈现取代传统手动画图的过程会不利于学生培养自己的空间想象能力。

（3）效果检验：为了检验两种教学方式下的效果差异，在第三个环节，我设置了同类型的练习题，让学生动手解决，练习题如下。

练习：在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为 3的等边三角形，求该三棱锥外接球的表面积。

（4）统计分析：这道题的解决思路跟例题完全一样，但学生只有真正建立起解决球类问题的空间想象力，才能正确解答，经过统计，两个班答对的人数分别为18和24人，从人数来看，乙班同学占有优势，利用2×2列联表统计如下：

依据卡方检验数值分析表，计算结果2.86>2.706，从而可以在确定本次实验中，甲乙两个班级的测验结果具有显著性差异。有90%的把握认为3D建模对提高球类问题解决起到了作用，该结论错误的概率不超过0.1。根据分析，3D建模对球类问题教学起到了促进作用，所以我们完全有继续研究下去的必要。

4 3D建模的有效性探究

为了研究3D建模对解决球类问题促进作用的有效性强弱具体情况，我设计了第二组对比实验。除了上面的这道例题之外，我又选取了五道例题，制作五个3D模型，计划进一步进行本节内容的教学。3D模型因本文篇幅有限，不进行展示，五道新例题如下：

例题1：一个四面体的所有棱长为2，四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。

例题2：已知正方体棱长为4，分别求其内切球、外接球和所示球的表面积。

例题3：顶点在同一球面上的正四棱柱所示，其中AB=1，AA′=2，求A，C两点间的球面距离。

例题4：在棱长为4的正方体中，O是外接球的球心，求平面ABC截球O所得截面的面积。

例题5：若把例题4中点A，C改为中点M，N，你有什么好的解决方案？

最后一道例题对空间想象计算能力要求颇高，具有较强的选拔分层功能，可以很好地筛选出立体几何章节学得较好的同学，这五道题连同第一道例题一起，合计设置六道例题。

在同事的配合下，笔者首先在六个不同的教学班各自选取了30名平均成绩相当的同学参与这次实验，共计180人。然后，在讲解这六道球类立体几何题目的时候，笔者在六个班均展示了3D模型，但展示的个数六个班各不相同，依次增加，数量为：1、2、3、4、5、6。

在六个班讲解完成这六道例题之后，笔者在六个班分别测试了一模一样的试卷，试卷上有20道同例题类型一样的球类题目。测试的目的在于检验讲解过程中展示的3D模型数量对学生做题正确率的影响差异。（因本文篇幅有限，20道練习题不进行展示）

测试完成后，统计六个班共180名同学平均做对的题数，分班展示出来，结果如下方表格：

根据表格中的数据，初步尝试作出的展示的模型数量x（个）与平均答对题目的数量y（个）的散点图，然后在散点图的基础上利用Excel软件求出回归直线的方程y=092x+10.82，并初步计算线性相关系数r，结果如下：

虽然利用Excel软件计算出的两组数据的线性相关系数为r≈0.918，显示拟合程度较高，但线性相关匀速增长情形在统计学中属于太过理想的情况，不符合很多实际情况，往往都需要更进一步分析。于是在此基础上又计算了该模型拟合的更精确指标——相关指数R2，Excel软件计算结果显示相关指数R2≈0.843，该指数计算结果范围在（0，1）之间，数值接近0说明拟合效果较差，而数值越接近1则说明拟合效果越好。本次实验结果0.843不算特别接近1，说明回归直线y=0.92x+10.82确实应该不是x与y之间的最佳拟合模型选择方案。

仔细观察散点的走势，有点像对数型的缓慢增长。为此，笔者决定采用对数模型y=alnx+b来尝试拟合，检验效果。在对数模型公式中，令t=lnx进行换元，得到y=at+b，将非线性模型转化为线性模型进行计算。对直线y=at+b，利用Excel软件回归直线进行拟合计算，并计算出t与y的相关指数R2。

t与y相关指数R2≈0.972，远高于上组结果，说明模型数x与答对数y之间真正呈现的是还原换元的部分后的对数型y=2.80lnx+10.98缓慢增长。

5 结论分析

从计算的结果我们进行分析总结，得出结论：3D建模对于学生解决球类问题确实起到了良好的促进作用。借助3D模型展示，学生解决球类问题的能力显著提升，说明教师可以适当借助多媒体技术进行立体几何一章教学来提升教学质量。但要注意的是，从结果来看，该促进作用更倾向于“对数型”缓慢增长，这说明在立体几何教学之初，3D建模固然可以快速帮助学生在脑海里建立起立体模型印象，从而提升解决问题的能力。但越到教学后期，这种促进作用越是变得微小，提升能力有限。这启示我们教师，如果想要实现最终的教学突破，让学生立体几何解决问题的能力进一步强化，还是得静下心来培养学生自己手动绘图的能力，以及锻炼学生自己脑海中的空间想象能力。

结语

实验教育学兴起于19世纪末20世纪初，代表人物有德国教育家梅伊曼和拉伊，是一种以教育实验为标志的教育思潮，影响了几乎遍及欧美的主要资本主义国家，法国和美国尤甚。实验教育学采用了实验的方法来研究教育中出现的一些问题，力图将教育学这门学科建立在自然科学的基础上，克服了传统教育学研究只有概念思辨方法的缺陷。本文的设计，即遵循了实验教育的思想。在设计过程中，将本次教育实验分为了提出假设阶段、制订计划阶段以及实验验证阶段三个阶段，采用了实验、统计和比较的方法进行研究，在学校环境和教学实践中组织了本次教学实验。通过实验的结果分析，较为科学地得出了3D建模对立体几何教学有促进作用的结论。然而，教育实验面对的是一群有生命的孩子，毕竟跟实验室里的科学实验不同，切不可走上“唯科学主义”的迷途，过多地迷信实验结果，从而抛弃传统的教学方式。况且实验结果亦显示，信息技术对学生学习的促进作用呈现的是“对数型”的促进，说明想要取得最终的教学突破，还是要落脚于培养学生独立自主的空间想象能力和画图能力，多媒体教学终究还是不可完全取代传统教学。

参考文献：

［1］拉伊.实验教育学［M］.北京：人民教育出版社，1908.

［2］梅伊曼.实验教育学概论［M］.北京：人民教育出版社，1914.

［3］刘力.教育实验学［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［4］朱永新.朱永新与新教育实验［M］.北京：北京师范大学出版社，2021.

［5］胡瑞，刘宝存.世界比较教育二百年回眸与前瞻［J］.比较教育研究，2018（07）：7886.

作者简介：张国煜（1988— ），男，苗族，湖南吉首人，硕士，助理讲师，在高中一线数学教育十年，现任教于吉首市民族幼儿师范学院，致力于研究将信息技术应用于课堂教学。