思维可视化：基于图式的教学视域

张晓艳 陈莹

摘   要：将学生的数学思维可视化的策略是多样化的：言语图式能让学生的思维语言化；图形图式能让学生的思维图像化；动作图式能让学生的思维空间化。在数学教学中，教师要综合应用各种图式，让学生的数学思维有效地可视化，变得更清晰、更完整。

关键词：小学数学   图式视域   思维可视化   教学视域

学生的数学思维犹如一个“黑匣子”，是不能直接看到的。教师如何破译、解读、分析学生的“黑匣子”，触到学生的数学思维，让学生将思维展现出来呢？一个重要的策略就是要让学生的思维“可视化”。在小学数学教学中，教师要应用相关的教学手段、方式、策略、路徑等，让学生的思维作为一个整体性的图式呈现出来。

一、言语图式：让学生的思维语言化

言语图式是学生思维的有效表现。“语言是思维的外壳，思维是语言的内核。”语言与思维是互为表里的关系。在小学数学教学中，教师要催生、引导学生的数学语言表达，让数学语言成为学生数学思维的整体性、结构性、动态生成性的重要表征。借助言语图式，教师不仅能把握学生的“所指”（具体的客观指向），还能把握学生的“能指”（可能的主观指向）。把握学生的“所指”，能让教师与学生有效对话；把握学生的“能指”，能让教师为学生的数学思考、探究提供更多的可能性。

言语表达是学生思维可视化的最普遍的方式。作为教师，我们要催生学生的言语表达欲望，激发学生的言语表达兴趣，让学生产生一种“一吐为快”的数学学习感受、体验。在数学表达中，学生还能不断地修正自身的思维，让自身的思维更严谨、更经得住推敲。例如，在教学“两位数乘两位数”部分内容时，教师往往引导学生采用“竖式计算”的方法。在引导学生“列竖式”的过程中，教师要让学生说出每一个步骤，让学生将“竖式计算”的内在算理表达出来，从而使学生对整个“竖式计算”的书写方法、书写步骤及最后的计算结果形成深刻的理解。通过“说意义”，教师能找到学生在理解“竖式计算”的过程中存在的问题，进而有效地建构算法。

用数学语言进行表达，要突出“是什么”“为什么”“怎么样”。只有这样，学生才能借助言语表达，建构丰富的思维图式。语言既能触发学生的思维，又能深化学生的思维。从某种意义上说，学生的言语图式与思维图式是相互匹配的，有怎样的言语图式就会有怎样的思维图式。因此，建立言语图式与思维图式的对应关系，是学生思维可视化的有效手段。在用言语图式让学生的思维可视化时，教师还要注重让学生的言语表达整体化。

二、图形图式：让学生的思维图像化

虽然学生的数学思维图式是不可以直接看到的，但我们可以通过相应的手段，如画图的形式，来让学生的思维“可视化”。相较于言语图式，图形图式更形象、更直观、更生动，能激发学生的数学学习兴趣，调动学生的数学学习积极性。图形图式是学生数学思维与表达的一个载体、媒介，它契合学生的认知特点，能有效地表征数学学科内容的本质。

当学生遇到较为抽象的数学知识时，教师可以鼓励学生画出相关的示意图，来发展学生的数学思维。例如，在教学“乘法分配律”部分内容时，笔者借助学生的日常生活经验，用言语图式来加深学生对“乘法分配律”的理解，引导学生对“乘法分配律”进行意义赋予，让学生通过言语表达使自身的思维“可视化”。笔者还引导学生画出了等宽、不等长的两个长方形，引导学生用字母分别表达出两个长方形的面积。在此基础上，笔者引导学生将这两个长方形拼接起来，构建了一个新的、更大的长方形，并同样用字母来表示出这个长方形的面积，从而引导学生形象地诠释“乘法分配律”。在这种教学方式下，学生不但理解了“乘法分配律”的书写形式，还从“数形结合”的视角加深了对“乘法分配律”的意义理解。

图形图式是一种直观的手段，能给学生数学思维的发展带来支撑、引导。借助于图形图式，教师能有效地让学生的思维图像化。图像化的思维丰富了学生的数学认知，让学生对原来相对比较模糊的问题或关系掌握得更加清晰、明了。在应用图形图式时，教师要对原有图式进行调整、改造、重组、补充、整合、修正、创新，从而让原有认知图式能与图形图式相整合，形成新的认知图式，让学生的数学学习更高效。图形图式是学生数学思维可视化的有效手段、方法和路径，在实际的教学中应得到教师的重视。

三、动作图式：让学生的思维空间化

动作图式是数学图式的重要组成部分，能让学生的数学思维空间化。在动作图式的表达中，学生的内在思维一览无余，可以迅速地被教师理解。相比于言语图式，动作图式更形象、直观、生动；相比于图形图式，动作图式更便捷。动作图式契合了小学生的认知和行为特征。

脑科学研究表明，动作能促进人的脑神经网络的建立。根据信息交换理论，人在对外界信息进行编码、加工、转换、存储和提取的时候，是以表征的方式进行的。心理学研究也表明，动作有助于学生建立清晰的知识表象，能让学生建立一种自动化、精致化、精准化的内在心理图式。动作是外显的思维，思维是内隐的动作。在数学教学中，教师要将学生的动作图式与思维图式融合起来，“以做促思、以思导做”，让学生的数学学习进入 “做思共生”“做思共融”的境界。

例如，在教学“分数的初步认识（一）”这部分内容时，教师就应当给学生提供丰富多样的材料，引导学生动手操作。教师可以通过变换材料和操作方式，引导学生比较每一份材料，让学生深刻地认识到，尽管每一份材料的形状、大小不同，但因为“平均分的份数”和“表示的份数”相同，因而都可以用同一个分数来表征。虽然每一份的形状、大小相同，但因为“平均分的份数”和“表示的份数”不同，因而所表示的分数就不同。在操作的过程中，学生充分经历了“平均分”的过程，对“平均分的份数”和“表示的份数”理解得非常深刻。在操作的过程中，学生能积极主动地舍弃数学知识的“非本质属性”，掌握数学知识的“本质属性”。可以这样说，学生的思维可以通过动作被一览无余地呈现出来。教师要善于观察、分析学生的操作，让学生的操作不再机械、盲目，而是与思维紧密结合，从而更科学、规范、合理。

动作在学生的直观感知与抽象想象之间架设了“桥梁”，促进了学生的数学思考，激发了学生的数学想象。动作图式不是纯粹的动手操作，而是融入了学生的思维，让学生的思维渗透到动作之中。皮亚杰认为， 图式是一个可以重复的、有组织的思维或行为模式。在动作中融入思维，是学生数学学习的重要理念。

总之，学生的图式是有结构、有层级的。在小学数学教学中，教师要综合应用各种图式，让学生的思维可视化，提高数学学习效率。

参考文献：

[1]陈静.图式语境：让儿童的数学表达从泛化走向精准[J].甘肃教育研究，2022（9）：12-15.

[2]范春辉.图式表达：助力小学生对数学概念的理解[J].小学生（中旬刊），2022（1）：59-60.◆（作者单位：江苏省连云港市中云中学小学部  江苏省连云港市苍梧小学）