建构主义理论指导下的圆锥曲线取值范围“2+1”教学策略

高翔　刘俊

中学数学中与圆锥曲线有关的取值范围及最值问题，常常与函数、不等式、立体几何、平面几何、向量等知识密切联系，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解决这类问题往往要利用数形结合构造不等式或函数方程的思想来求解.这类问题涉及的知识面广，题型多，计算量大，解题过程复杂，试题难度大.为了提高学生解决这类数学问题的能力，笔者从一道易错题出发，提出了在建构主义理论引导下的“2+1”教学策略，对有效解决圆锥曲线取值范围问题提供一种数学方法.

一、一道圆锥曲线取值范围易错题

圆锥曲线取值范围的题目众多，题型变化多样，为了说明学生在知识建构中的不足和缺陷，笔者列举一道学生易错题：

之所以解答错误，是由于学生只想到椭圆的长、短半轴的取值范围，将其进行了简单的加法运算，对椭圆知识的掌握还停留在初步认识上，是一种静态的观点，未能建构动点的轨迹思想，不能从“动”的视角来看“点”的变化.那么教师如何在教学过程中帮助学生避免此类问题的产生呢？这是一个值得思考的问题，为了有效提高学生的认知水平，使其真正领悟数学的内涵、思想和方法，教师需要一种教育理论来指导教学实践，而建构主义就是一种实用的能有效解决圆锥曲线取值范围问题的教学理论.

二、建构主义学习理论

建构主义源自教育学，由认知发展领域最有影响力的心理学家、瑞士的皮亚杰提出.皮亚杰的理论充满唯物辩证法，作为学习理论，建构主义是为改进教学而提出的，其主要目的是了解发展过程中的各式活动如何引发孩童的自主学习，以及在学习的过程中，教师应当如何适当地扮演支持者的角色.由于中学生的认知发展与其自身的学习过程紧密相关，因此，运用建构主义理论可以很好地阐明学生在学习知识过程中的认知规律.建构主义学习理论要点归纳起来主要有四点：第一，知识是学生通过意义建构的方式而获得，不是通过教师传授得到的.第二，设计任务和学习环境，表明背景在学生对知识内容的理解中的重要性.第三，给予学生解决问题的自主权，教师要激发学生积极的数学思维，促进学生自己解决问题.第四，鼓励学生回顾和评价自己的观点，促进学生数学思维能力的培养.

二、建构主义理论指导下的“2+1”教学策略

要避免学生圆锥曲线取值范围错解的出现，引导学生正确解题，教师就必须加强对学生数学思维能力的培养.在建构主义学习理论的引领下，笔者提出圆锥曲线取值范围“2+1”教学策略，“2+1”即“建构思路、自主探究+回顾拓展”，整个解题过程就是一个建构的过程.

1.建构思路——以化归促建构，由建构定思路

根据建构主义学习理论要点的第一点和第二点，笔者在教学策略的第一步引导学生“建构思路”，即建构圆锥曲线取值范围问题解决方案的思路.在这一环节，教师要引导学生深入挖掘圆锥曲线取值范围问题的本质及隐藏条件，弄清楚未知量和已知量，唤醒自己头脑中储存的相关知识，对新旧知识间的关系产生认知冲突，启发学生思考，寻找圆锥曲线取值范围中的已知量与未知量之间的关系，通过联想以前学过的函数、方程等相关知识，将问题转化，化归为以前学习过的知识或问题，在反复的双向作用过程中主动建构起自己的解题思路.但是这个解题思路的建构有时是一个充满曲折且漫长的思考过程，并不一定是立即就能得到的，教师所要做的就是给学生不显眼的帮助，让学生在自己的独立思考下建构一个好的解决问题的思路.

以上面提到的那道學生易错题为例，要求x+y的取值范围，就等同于求圆锥曲线取值范围的二元函数，通过联想到之前掌握得比较好的、熟悉的一元函数的取值范围或最值问题，教师能否引导学生将本题化归为一元函数来解决呢？运用建构主义学习理论，通过联想，椭圆方程可以用三角参数形式表示，于是就可以建构一元函数了，由椭圆方程就自然想到三角换元法（构造三角函数），用一个元θ代替原来的两个元x、y，设点M（3cosθ，sinθ），得到三角函数便于讨论取值范围，也就建构了一种解题思路.

2.自主探究——开展探究学习，学生自主解题

根据建构主义学习理论要点的第三点，我们归纳提炼为教学策略的第二步——“自主探究”，即执行第一步建构的解决方案.在这一步中，教师可以引导学生采用分析法、综合法、归纳法、类比法等数学思想方法，寻找最佳方法来实现第一步建构起来的圆锥曲线取值范围问题解决方案.整个过程是学生的自主探究、主动发现和对所学知识意义的主动建构过程.教师只起引导、协助的作用.这一环节可以提高学生的数学思维能力，体现以学生发展为本的主体教育观，落实学生数学核心素养的培养.

以上面提到的问题为例，学生可以设点M（3cosθ，sinθ），得到x+y=3cosθ+sinθ=2sin（θ+φ）.其中φ=arctan，于是立即可得，x+y的取值范围是[-2，2].

3.回顾拓展——反思建构思想，拓展解题思路

根据建构主义学习理论要点的第四点，我们归纳提炼了教学策略的第三步——“回顾拓展”，即这个问题解决了，不必忙于去做下一个题目而是要对之前的解题过程进行回顾与拓展.一是学生要回顾和评价自己的解题过程，反思题目的解题思路和解题方法，养成对所得结果进行验证其正确性的良好习惯；二是反思总结题目的建构思想，进一步拓展本题的解题思路，挖掘是否还有其他解法，即一题多解，举一反三，融会贯通；三是要有变式思维，以本题为原型题建构其他题型（变式）——向深度和广度拓展，再回归到本原问题，实现多题一解.这样做，能很好地开发学生的数学思维.

还是以上面提到的问题为例，笔者在这一环节引导学生反思建构过程，回顾如何把二元问题转化为一元问题.上面的解法是运用了三角换元法，但如果联想到一元二次方程，之前我们就运用判别式而得到某个未知量的取值范围或最值，本题就可以通过化归，重新建构一个一元二次方程来求解.于是学生又可以得到第二种解法：

对于第三种解法，构造柯西不等式证明或求解新的不等式是数学竞赛和高考的热点之一，但也是很有难度的，教师可以鼓励学生将原题向深度和广度拓展，提升学生的数学思维能力.

现在建构主义学习理论已经被广泛应用于数学教学之中.学生学习数学的质量主要取决于学生自己对知识的建构过程和建构效率.其实，建构主义学习理论的应用非常广泛，可运用在数学各个分支的教学中.教师应摒弃以知识点为单位的固定教学模式，在课堂教学中设计并开展基于建构主义学习理论的教学，使学生学会学习探索数学知识的方法，更好地获取知识，提高数学思维能力，落实数学核心素养和立德树人的根本任务.

◇责任编辑 邱 艳◇