凸显运算本质，实现运算一致性——以“两、三位数乘一位数”单元为例

江苏省邳州市运河高等师范学校附属小学 高 杰

新课标中“数与代数”部分指出，初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算在本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

在小学数学学习过程中，学生要接触的数包括整数、小数、分数等。教师如何在课堂上凸显运算的本质，让学生感受到整数、小数、分数在加、减、乘、除四则混合运算中的一致性呢？

一、理解运算本质

学生从学习整数的加、减、乘、除到分数的加、减、乘、除，再到小数的加、减、乘、除，虽然数的类型在变化，但是其运算本质是一致的。

（一）数的概念一致性

无论是整数、分数还是小数，学生在学习过程中都是先学习计数单位，再通过计数单位的累加来认识更大、更复杂的数。读数或写数时，学生是基于计数单位的划分进行运算的；比较数的大小时，学生是通过比较这个数有多少个这样的计数单位进行运算的。

（二）运算一致性

1.加、减法运算一致性

整数、分数和小数的加、减法，有的是口算，有的是列竖式计算，从计算形式上看各不相同，但它们的运算本质是一致的。整数加、减法，要求末尾对齐相加、减，当末尾对齐了，也就是相同数位对齐了。分数加、减法，要求先通过通分转变为同分母分数再加、减。小数加、减法，要求小数点对齐，当小数点对齐了，也就是相同数位对齐了。因此，整数、分数和小数的加、减法的共性就是相同数位对齐后再加、减。

2.乘法运算一致性

乘法运算是对几个相同加数运算的简便。整数乘法运算就是把每个乘数先根据计数单位进行拆分，再利用乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律，把计数单位与计数单位相乘、计数单位上的数与计数单位上的数相乘，最后得到结果。基于演绎推理，分数乘法和小数乘法也是“计数单位乘计数单位、计数单位上的数乘计数单位上的数”。

3.除法运算一致性

乘法和除法互为逆运算，除法运算根据乘法口诀来计算。整数除法运算把被除数以不同的计数单位分成几部分，这几个部分分别除以除数，每一次的商总是要小于或等于9个计数单位。基于演绎推理，分数除法和小数除法运算都是根据“整数除法可以表示成分数形式”，也是“计数单位除以计数单位、计数单位上的数除以计数单位上的数”。

因此，整数、分数、小数的加、减、乘、除，虽然运算法则不同，但是运算本质是一致的。教师在教学“两、三位数乘一位数”这个运算单元时，要围绕“计数单位”这个核心概念，让学生在学习活动中深刻感知数的概念一致性和运算一致性。

二、开展教学设计

我们在学习数的概念一致性和运算一致性理论的基础上，尝试在学生学习整十、整百数乘一位数的口算和相应的估算，不进位的两、三位数乘一位数；不连续进位的两、三位数乘一位数，连续进位的两、三位数乘一位数；乘数中间或末尾有0的乘法等知识后设计一节单元复习课，帮助学生沟通运算的数学本质，感受运算的一致性。

（一）我来编题，理解乘法含义

师：同学们，今天这节课我们来复习一下乘法知识点。回忆一下，前面我们学习了哪几种乘法？

生：整十、整百数乘一位数的口算和估算，不进位的两、三位数乘一位数，不连续进位的两、三位数乘一位数，连续进位的两、三位数乘一位数，乘数中间或末尾有0的乘法……

师：真好！你们能根据算式“12×3”编一道题目吗？

生1：每幢有12户人家，3幢一共有多少户人家？

生2：长方形长12分米、宽3分米，这个长方形的面积是多少平方分米？

生3：红红坐一次碰碰车要3元，坐12次碰碰车要多少元？

生4：红花有12朵，黄花的朵数是红花的3倍，黄花有多少朵？

师：同学们，大家编的题目都不一样，为什么都是用“12×3”这个算式呢？

生5：因为生1、生2、生4是在计算3个12是多少，生3是在计算12个3是多少，因此都可以用算式“12×3”来计算。

在这个教学片段中，教师引导学生说出自己学了哪几种乘法、用算式“12×3”编一道题目等，充分展示了学生对乘法的已有知识经验，为后面的复习乘法运算做好铺垫。

（二）我来说理，沟通乘法联系

师：接下来，我们来计算“12×3”“12×9”“108×3”“120×3”这四道题目，并在点子图上结合竖式中每一个数的由来圈一圈。

1.在竖式中理解运算一致性

师：在用竖式计算的过程中，你们发现有什么相同之处？

生1：我们都是用一位数分别去乘多位数的个位、十位、百位上的数。

师：你们能具体说说每道题目计算时是怎么去乘的？

生2：“12×3”，我把12拆成10和2，先算3个2等于6，再算3个十等于30，最后算6加30等于36。“12×9”，我把12拆成10和2，先算9个2等于18，再算9个十等于90，最后算18加90等于108。“108×3”，我把108拆成100和8，先算3个8等于24，再算3个100等于300，最后算24加300等于324。“120×3”，我把120拆成100和20，先算3个20等于60，再算3个100等于300，最后算60加300等于360。

生3：“120×3”，我是这样算的——我把120看成12个十，“120×3”就是12个十乘3，因为12乘3等于36，所以12个十乘3就是36个十，也就是360。

2.在点子图中沟通乘法联系

师：算出了每道题目的答案，你们能结合点子图说说你们的计算过程吗？

生1：（指着“12×3”的点子图）左边圈起来的点表示3个十，右边圈起来的点表示3个2。

师：我们在点子图上把“12×3”转变成了几个十和几个一。我们在计算“12×9”时，先算什么，再算什么？

生2：（指着“12×9”的点子图）左边圈起来的点表示9个十，右边圈起来的点表示9个2。

师：我们第一步计算9个2，得到1个十和8个一；第二步计算9个十；最后把1个十、9个十和8个一加起来，就是108。

生3：（指着“108×3”的点子图）上面圈起来的点表示3个100，下面圈起来的点表示3个8。我们第一步计算3个8，得到2个十和4个一；第二步计算3个100；最后把3个100、2个十和4个一合起来，就是324。（指着“120×3”的点子图）上面圈起来的点表示3个100，下面圈起来的点表示3个20。我们第一步计算3个20，得到6个十；第二步计算3个100；最后把3个100、6个十合起来，就是360。

师：同学们，你们发现在计算和圈点子过程中，其实都是在算什么？

生4：都是在算几个几是多少，得到几个百、几个十和几个一。

3.根据算式数字特点发现规律

生：老师，我算出12×3=36，其他几题我不是直接用竖式计算得到答案的，都是利用12×3=36来计算的。比如，“12×9”，可以看成“12×3×3”，知道了12×3=36，再算36×3=108。“108×3”，可以看成“12×3×3×3”，再算36×3×3=324。当然，这道题目这样计算变麻烦了。“120×3”，可以看成“12×3×10”，再算36×10=360。

在这个教学片段中，教师出示了“12×3”“12×9”“108×3”“120×3”这四道题目，让学生在用竖式计算和圈点子图过程中发现都是把结果转变成几个百、几个十和几个一，也就是去数有几个这样的计数单位，从而帮助学生寻找到解决乘法运算问题的“通法”：计算计数单位的数量，沟通了乘法之间的联系。当然，有的学生并不满足于乘法运算的“通法”，而是“另辟蹊径”地发现了乘法算式之间的规律。

（三）我来计算，迁移乘法计算

师：同学们，刚才我们在计算乘法时通过算出几个几是多少，得到几个百、几个十和几个一，其实就是在计算计数单位的数量。我们来挑战一下两位数乘两位数“12×18”、三位数乘两位数“108×15”，并说一说你们是怎么计算的。

师：谁来说说你是怎么计算这两道乘法的？

生1：“12×18”，先算8个12，得到9个十和6个一；再算10个12，得到1个100和2个十；最后把1个100、2个十、9个十和6个一加起来，就是216。“108×15”，先算5个108，得到5个100和4个十；再算10个108，得到1个1000和8个十；最后把1个1000、5个100、4个十、8个十合起来，得到1620。

师：生1的做法都是在计算计数单位的数量，这是乘法运算的“通法”。

生2：我是利用乘法算式之间的规律计算的。“12×18”，我们可以看成“12×9×2”，刚才我们计算出12×9=108，我再算108×2=216。“108×15”，我们可以看成“108×3×5”，刚才我们计算出108×3=324，我再算324×5=1620。

师：生2的做法巧妙地利用了乘法算式之间的规律，把“两位数乘两位数”“三位数乘两位数”转变成我们本单元学习的“两、三位数乘一位数”，转化也是数学学习中一种不错的方法。

在这个教学片段中，教师抛出了学生接下来要学习的三位数乘两位数、两位数乘两位数的内容。学生自主地实现了乘法运算的正迁移，有的学生像“两、三位数乘一位数”那样通过算几个几，去计算计数单位的数量，再把相同的计数单位相加；有的学生尝试利用上一教学环节中的乘法规律进行计算。

总之，学生对运算一致性的理解是一个循序渐进的过程，教师需要在教学整数、分数和小数的加、减、乘、除四则混合运算时始终以“计数单位”为准绳，以联系发展的观点看待不同阶段的运算，沟通不同阶段数的概念的一致性和运算的一致性，提升学生的运算能力和推理能力。