例析双曲正弦函数在导数压轴题中的应用

范明辉

一、双曲正弦函数

人教A版普通高中课程标准教科书《数学1必修》（2019年）第160页第6题，以证明题的形式给出了双曲正弦函数f（x）=ex－e－x2和双曲余弦函数g（x）=ex+e－x2的相关结论.容易发现双曲余弦函数g（x）就是双曲正弦函数f（x）的导函数，而双曲正弦函数f（x）在原点处的切线为y=x，易证：当x≥0时，ex+e－x2≥x，当且仅当“x=0”时取等号.

二、典例精析

通过研究2022年新高考II卷的导数压轴题和两道模考试题的导数压轴题，可以发现双曲正弦函数在导数压轴题中形式多变，应用广泛，具有重要的研究价值.

例1 （2022年新高考II卷第22题）已知函数f（x）=xeax－ex．（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x>0时，f（x）<－1，求a的取值范围；（3）设n∈N*，证明：112+1+122+2+…+1n2+n>ln（n+1）．

分析：对于第（3）问，ln（n+1）=［ln（n+1）－lnn］+［lnn－ln（n－1）］+…+（ln2－ln1）+ln1，是通過“裂项相消”转化而来的，因此只需要证明通项1n2+n>ln（n+1）－lnn即可.即转化为证明：1n2+n=n+1－nnn+1=n+1n－nn+1>lnn+1n，记t=n+1n（t>1），则等价于证明t－1t>2lnt（t>1），用ex换t，即ex－e－x>2x（x>0）.

评析：由上述分析可知，这道高考题第（3）问，本质上考查的是双曲正弦函数在x=0处的切线不等式的等价变形t－1t>2lnt（t>1）以及数列求和的重要方法——裂项相消法，对不等式内容与数列知识的考查水乳交融，且题根源自于教材课后习题.

例2 （2023届湖北圆创第一次联合测评第22题）已知函数f（x）=ex+12x2－ax+1（a∈R），其中e是自然对数的底数.（1）设f（x）的极小值为h（a），求h（a）的最大值；（2）若存在x1，x2x1≠x2使得fx1=fx2，且x1+x2=1，求a的取值范围.

分析：对于第（2）问，不妨设x112，故可设x1=12－t，x2=12+t，t>0.又因为存在x1，x2x1≠x2，使得fx1=fx2，所以可转化为：存在t>0，使得e12－t+12×（12－t）2－a（12－t）+1=e12+t+12×（12+t）2－a（12+t）+1.整理得e12+t－e12－t+（1－2a）t=0，即存在t>0，使得et－e－t+1－2aet=0.上式中出现了结构et－e－t，因此联想到双曲正弦函数在x=0处的切线不等式，构造并转化为：

存在t>0，使得et－e－t－2t+（2+1－2ae）t=0，由于et－e－t－2t>0（t>0）恒成立，故必有2+1－2ae<0成立，即a>12+e.

评析：这道模考题的第（2）问，属于探索创新情境，通过对题设条件的转化，观察代数结构，联想到教材习题中的双曲正弦函数的切线不等式，进而轻松求出参数的范围.

例3 函数f（x）=ex－1ex，h（x）=xx+1，

（1）判断x>0时，f（x）－h（x）的零点个数，并加以说明；（2）正项数列an满足a1=1，ane－an+1=fan，11判断数列an的单调性并加以②证明：∑n+1i=1ai<2－（12）n.

分析：对于第（2）问②，将a1=1代入原不等式之中，左右两边进行变形可得a2+a3+…+an+an+1<1－（12）n=12×［1－（12）n］1－12=12+（12）2+…+（12）n，只需证明an+1<（12）n，进一步只需证明an+1an，令t=an2（t>0），则只需证et－e－t－2t>0（t>0）.

评析：本题第（2）问22，属于课程学习情境，在不等式与数列交汇处命题，与例1有异曲同工之妙.试题的本质最终还是回归到证明双曲正弦函数在x=0处的切线不等式.

三、结语

以上探究内容，根源还是来自于对教材课后习题功能的深度挖掘，充分体现出“用教材教，而不是教教材”的思想观念.借助于对高考真题的深入分析，结合课后习题内容，得到双曲正弦函数在x=0处的切线不等式，并应用于解决导数压轴题，这是教与研深度交融的结果.