对角互补四边形的解题策略

夏明

铁岭市教师进修学院数学教研员孙莉的直播课“纵横联想 互补四边形的探索”选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。

遇到互补可延长，延长会有角相等. 若遇到对角互补四边形的相关问题，同学们可尝试把互补对角中的一个角的一边反向延长，则延长后得到的外角与另一个角相等. 孙莉老师在直播课中由互补角转化出相等角，构建全等三角形，实现边转移、三角形旋转，从而顺利解決问题.

模型构建

模型1：在四边形中，一组对角互补（这组对角都是90°），一组邻边相等，则对角线平分这组对角中的一个内角. 如图1，∠DAB = 90°，∠DCB = 90°，DC = BC，则AC平分∠DAB.

模型2：在四边形中，一组对角互补（如对角分别为90°和90°、60°和120°，以及非特殊度数互补角），对角线平分这组对角中的一个内角，则一组邻边相等. 如图2，∠DAB = 60°，∠DCB = 120°，AC平分∠DAB，则DC = BC.

模型3：在四边形中，一组邻边相等，对角线平分一个内角，则被平分的角与其对角互补. 如图3，DC = BC，AC平分∠DAB，则∠DAB + ∠DCB = 180°.

说明：模型1和模型2中互补的一组对角可以分别为90°和90°、60°和120°，以及非特殊度数互补角.

规律：在四边形ABCD中，∠DAB + ∠DCB = 180°，DC = BC，AC平分∠DAB，已知其中两个条件，第三个即可为结论.

学法指导：求证这三个模型的结论，找出正确的辅助线引法是关键.

思路1：三个模型都涉及角平分线，证明结论时可过点C分别向角的两边作垂线，如图4.

思路2：在AB边上截取AG = AD，如图5，但此法不能解决模型1，只能解决模型2和模型3.

思路3：作AE = AB，如图6，对模型1和模型2都适用.

思路4：如图7，可通过作辅助线构造△CBE≌△ADC得出结论. 在模型1和模型2中，同一辅助线的说法不同：在模型1中，延长AB到E，使BE = AD；在模型2中，作∠BCE = ∠CAD，交AB的延长线于E. 而在模型3中互补角不是已知条件，故此法不适用.

模型应用

例 如图8，∠AOB = ∠DCE = 90°，OC 平分∠AOB，证明：    （1）CD = CE；（2）OD + OE =  [2]OC；（3）[S四边形OECD] = [12OC2] .

解法1：（1）如图9，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为 M，N，∴∠OMC = ∠ONC = 90°. ∵ ∠AOB = 90°，∴四边形MONC是矩形，∴∠NCM = 90°，∴∠MCD + ∠DCN = ∠NCE + ∠DCN = 90°，∴∠MCD = ∠NCE. ∵OC平分∠AOB，∴CM = CN， ∴△MCD≌△NCE（ASA）， ∴MD = NE，CD = CE.

（2）易知四边形 MONC 为正方形，

∴OD + OE = OD + ON + NE = 2ON =  [2]OC.

（3） [S四边形OECD] = [S正方形MONC] = [12OC2] .

解法2：（1）如图10，过 C 作 CF⊥OC，交 OB 于点 F.

易证∠DOC = ∠EFC = 45°，CO = CF，∠DCO = ∠ECF，

∴△DCO≌△ECF，∴CD = CE，OD = FE.

（2）OD + OE = OF = [2]OC.

（3） S四边形DOEC = S△OCF = [12OC2] .

分层作业

难度系数：★★★解题时间：5分钟

如图11，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，无论正方形OMNP绕点O旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，则这个定值 =___________.

（作者单位：大连市第七十一中学）

答案

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