基于思维能力培养的高等数学教学改革探索

岳红云

（河南工业大学理学院 河南 郑州 450001）

高等数学是高等院校理工科各专业必备的数学工具，是培养和造就适应现代科学技术与社会发展所需人才的必不可少的重要环节，是初等数学的延伸和发展。通过教师建构、设置问题情境，进行思维方式和能力的逐步训练，引导学生通过对问题的深入思考与反思，带动学生领悟知识、灵活应用知识，进而达到创新应用知识的目的。根据课程特点和内容，本文通过以下三种方式培养学生的思维能力。

1 类比转化法

马克思主义的哲学观指出，世界是普遍联系的。人们通过事物之间的联系，进行相关学习活动，逐步认识这个世界，认识把握事物的联系，在联系中学习，建立新的联系，收获灵感和智慧。在高等数学中就存在很多联系，比如数与形、多与一、重与单、曲与定、表示事物内部和表面之间联系的公式等。教师通过引导学生分析、挖掘知识点间的联系，帮助学生将未知内容类比转化成已有知识，从而达到主动学习、深度学习的目的。

在多元函数微分法的学习中，无论从函数、极限和连续定义，还是多元函数的偏导数和全微分，在研究这些内容时，都应该引导学生类比转化成一元函数相关内容学习的方法。通过类比引导、学生讨论，促进学生发现问题、分析问题，培养学生的逻辑思维能力。

在重积分的学习中，从概念的引入到积分的计算，处处都有定积分的身影。所以，在学习中，教师要着重引导学生从定积分能解决的曲边梯形面积的经典问题出发，探讨曲顶柱体的体积问题，将问题转化成定积分问题表述和计算，从而引入二重积分的概念和计算方法。由此自然地推广定积分的概念，从二重积分再到三重积分。通过深入挖掘积分之间的关系，还能继续推广到更一般的曲线和曲面积分。

2 总结归纳法

根据知识间的联系，借助类比的方法，未知转化成了已知，通过对已知的认识去把握未知。知识间既有联系又有区别，类比相同点，同时也要对比不同点，这样才能全面、深入地掌握它。所以教师要站在更高的高度和维度引导学生总结归纳知识间的联系和区别，提高学生的深度学习能力。例如，在学习多元函数的微分法后，引导学生在类比一元函数微分法的基础上总结归纳多元函数的微分法。通过学生讨论，发现函数更多元时，自变量变化会更丰富和复杂，所以极限存在的条件变强了，偏导数只能表示特殊的变化率，可偏导就不能确定可微性了。再如，在多元函数积分的学习中，通过类比转化的方法，理解二重、三重积分，曲线和曲面积分的概念和计算方法。通过引导学生总结归纳七类积分，进一步发现积分之间的联系和区别，加深对积分方法的掌握。

3 一题多解法

变式教学是我国传统的优秀教学策略，一题多解作为变式教学的重要形式，在培养学生的发散思维、创新能力方面，已经得到了很多研究者和一线教师的认可。在教学中，教师应当将一题多解作为学生掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段，适当地贯穿于高等数学的课堂教学过程中，激发学生的学习兴趣。

自然界中到处都潜藏着最大最小问题，历史上著名的Dido 问题就是极值问题，在高等数学中，如何判断极值与最值是重要的研究内容。例如，在多元函数的极值与最值一节，判定极值与最值就是本节的重点。下面以一道极值问题为例，通过多种方法的综合运用，引导学生体会问题的多种解法，从而深刻理解高等数学重要的知识点。

解法1.Lagrange（拉格朗日）乘数法（多元微分法）：由题意可知，这是一个条件极值问题，设交线l上的点为（x，y，z），则l上与xoy面的距离可表示为，且（x，y，z）满足平面方程和柱面方程，由Lagrange 乘数法，构造Lagrange 函数为

解得l上与xoy面的距离最短的点为

解法2.Lagrange 乘数法：设交线l上的点为（x，y，z），则由题意和图形可知，l上与xoy面的距离可表示为d=z，且（x，y，z）满足平面方程和柱面方程，故，且，由Lagrange 乘数法，构造Lagrange 函数为

解得l上与xoy面的距离最短的点为

注记2：可以看出，解法2 比解法1 简单，解法2 把两个条件转化成了一个条件，Lagrange 函数从5 个自变量变成了3 个，求解过程得到了简化。

解法3.一元微分法：设交线l上的点为（x，y，z），则由题意和图形可知，l上与xoy面的距离可表示为d=z，且（x，y，z）满足平面方程和柱面方程，故，且，因此可设，则，这是t的一元函数，则问题转化为求这个函数的最小值，由一元函数取极值的必要条件，l上与xoy面的距离最短的点为

注记3：解法3 转化成了无条件极值，从而可以应用一元函数微分法求极值，使得求解过程大大简化。一般来说，解决极值与最值问题经常用微分法，体现出微积分的强大威力。

解法4. 初等函数法：设交线l上的点为，则由题意和图形可知，l上与xoy面的距离可表示为这是 的一元函数，则问题转化为求这个函数的最小值，整理可得，其中，由三角函数的有界性可知，此时的取值范围为故时最小，因为此时，所以，故l上与xoy面的距离最短的点为

注记4：解法4 和解法3 相似，都是将条件极值问题转化为无条件极值问题，不同于解法3 的微分法，解法4 借助三角函数的有界性，利用了初等函数中求最值的方法。

解法5.解析几何法：由题意可知，平面与柱面的交线是空间椭圆，记它的中心为 ，因为此椭圆为平面上被柱面穿过或截过后留下的曲线，所以此曲线上与面的距离最短的点也就是从xoy面向上看，此椭圆曲线的最低点，记为 ，故连接这个最低点 与椭圆中心 的连线，必与平面与xoy面的交线：直线，z=0，（A(3，0，0)B(0，4，0)）相交，设交点为D，因为 为椭圆曲线的最低点，故O′D必垂直AB，记柱面与xoy面的交线为圆O：，z=0，记它的中心为O，连接OD，交圆O于点C，则即为O′D在xoy面的投影，C为C′的投影点，故OD必垂直AB，则即为所求的最短距离，连接O′O，则由点到直线的距离公式可得

所以C点坐标为

所求点即为过C点且垂直于xoy面的直线与平面的交点，将C点坐标代入平面方程即可求得交点C′点坐标为

注记5：也可以不求C点坐标，直接求出C′点坐标。由空间两平面间的夹角公式可得，平面与xoy面的夹角的余弦为：

注记6：条件极值问题一般采用Lagrange乘数法解决。通过对本题的深入分析与思考，引导学生发散思维，给出了5 种解法和更多算法。通过此例说明微积分与数形结合思想的巨大威力。通过厘清知识脉络，发现知识间的内在联系，突破高等数学学习的难度。

4 结论

在以学生为中心的教学理念下，教师通过类比转化、总结归纳、一题多解的讨论式学习方法的实施，达到将数学知识融会贯通、灵活利用的目的，为提高学生的学习效果提供了新的思路和方向。在OBE 教学理念和工程认证的背景下，引导学生将高等数学的智慧应用到专业与生产生活中，发挥高等数学课程的重要基础作用。

文章通过三种方法，从不同角度、知识系统去探求问题解决的不同思路，培养学生思维的严密性和创造性，引发学生逐步形成对问题的递进式思考方式，使学生形成更加系统、完整、生动的知识框架，激发学生创新、发展的良好学习习惯。重构新的知识体系，逐步形成分析、探究、解决问题的多种方法，提高学生的基本素质和应用创新能力，切实提高人才培养质量。