从知识序列到模型建构，让数学学习有序发生

【摘要】数学知识的系统性决定了知识结构的建构必须基于学科自身的发展序列。只有经历完整的、有序的数学学习感知和体验，学生才能扫清障碍，更好地迁移应用知识。以长度单位推算教学为例，学生需真正经历完整的、直观的操作过程，才能逐步形成有效的技能模型，在实际运用中借助模型进行有序思考，从而正确推算。

【关键词】单位推算；知识序列；模型建构

作者简介：朱秋虹（1978—），女，江蘇省苏州市吴江区盛泽实验小学。

一、源起：由单元练习引发的思考

结束“分米和毫米”这一单元的教学，学生单元练习的结果不容乐观。笔者反思：这个单元的教学问题出在哪里？怎样才能利用好教材和补充习题，让学生的数学学习实现质的飞跃？

笔者整理错题，发现以下习题错误率较高。

1.70米=（）分米

2.把下面各长度按从长到短的顺序排列：95厘米

6分米 10厘米 19毫米 10分米

3.某地区2012～2020年的年平均降水量是590（）（填合适的长度单位）

4.17粒大米接排在一起，量得长度大约是1分米。170粒这样的大米接排在一起的长度大约是（）米，1700粒这样的大米接排在一起的长度大约是（）米。

学生能较好地完成基础习题，而面对上述难度不算大的习题时，为什么错误率就显著提升了呢？分析学生做错题的原因，有助于改进教学，帮助学生提升解题能力，发展数学思维。

二、追因：推算意识和能力的缺失

（一）重复练习下的思维定式困扰

前述第1题，70米=7分米，这样的错误答案，源于学生习惯用添0或去0的方法来做题。不论是教材还是配套的补充习题，遇到类似于“7分米=（）厘米”“40毫米=（）厘米”这样的题时，学生很容易在做题中形成添0或去0的惯性思维，因而导致学生在解答“70米=（）分米”时，习惯性地去0。

重复性的练习导致学生在方法和技能上的固化，造成思维定式，解题时的推算过程不再完整。思维定式的产生偏离了知识形成的正确发展轨道，以固定的方式方法替代了应有的分析，使推算变成一种机械的数字操作活动。

（二）以数字替代直观体验的认知偏差

前述第2题，在从长到短的排列中，10分米、6分米、95厘米的排列正确率很高。学生主要错在19毫米和10厘米的比较，厘米和毫米在学生的印象中都是比较短的长度单位，19明显大于10，所以学生忽略了加上单位后长度的实际大小。

这样的认知偏差产生的根本原因在于学生没有形成对长度单位的正确认知和换算的意识。对长度单位形成正确认知，依赖于学习过程中有序的操作体验活动，当学生将操作活动的结果而不是操作中的直观感知建构到自己的知识体系中时，才能形成正确的换算意识，发展逻辑思维能力。

（三）已有知识经验或生活经验的不足

关于第3题，年平均降水量这一术语离学生的生活经验较远，加上二年级学生的推算能力有限，不善于进行比较分析，因此解起题来存在一定困难。关于第4题，由于学生还没有接触关于“倍”的知识，因此理解起来也存在一定困难。

学生能比较好地完成教材或补充习题上的基础习题，而面对上述习题时，为什么错误率就显著提升了呢？关键在于学生缺乏相关的知识经验和生活经验，个人知识体系的建构不够完善，无论是对单位长度的推算还是对相关知识点的理解，学生都只停留在数字换算阶段，推算过程缺乏有序性。

三、行动：推算能力培养的实践策略

（一）完善认知序列，让推算有序展开

学生建构认知的过程，也是思维发展的过程，这是一个从外部的物质活动向内部的智力活动转化的过程。从建立表象到借助实物进行实际操作活动，再到不依赖实物而借助出声言语进行活动，直至能自动化地进行内部言语活动［1］，在此过程中，教师应结合学生的认知规律，让学生经历操作测量活动，再到能够进行结构化的语言表达，使学生的推算过程有序展开。

1.借助直观，明晰方法

低年级学生以直观、形象思维为主。长度单位的学习以操作体验活动为主，旨在让学生形成直观感知。教师要将教材中的直观图用到位，挖掘题目的最大价值，借助直观图，帮助学生将实物与长度概念建立联系，并能加以准确运用。

在“认识毫米”的教学中，教材配套练习安排如图（见图1）。针对第1题，教师应该结合直尺，让学生经历数的过程，通过清晰的表达，理解长度单位的换算。同时，教师还可以当场出题，让学生看着直尺进行即时的单位换算，帮助学生建立单名数和复名数之间的关联，了解在描述某一物体的长度时可以有不同的表述方法。

2.操作测量，巩固技能

动手实践是学习数学的重要方式之一。实际测量，动手操作，是学生将习得的知识方法进行输出的活动，方法技能掌握到位的学生就能顺利地实现知识的有效运用。

教材配套练习的第2题（见图1）要求学生通过测量写出每条边的长，这是对前一个活动的延伸，旨在让学生从看着图片读出长度，过渡到自己测量后得出数据。教学时，教师同样应该让学生分享思考和换算的过程，其中既有厘米和毫米之间的换算，如3厘米就是30毫米，4厘米就是40毫米；又有单名数和复名数之间的换算，如2厘米5毫米就是25毫米。学生在测量和读取数据的过程中，能够逐渐从具象思维发展到抽象思维。

3.思考表达，抽象模型

2022年版数学新课标指出，要重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系。“会用数学的语言表达现实世界”的主要表现之一是“模型意识”。经历实际测量的操作活动，学生积累了大量的数学活动经验，能够准确运用长度单位来表述测量结果。通过对这些活动经验进行结构化的语言表达，学生便可逐步完成知识抽象化的过程，建立思考模型。

教材中的例3（见图2）是单位换算教学，是知识直观后的再抽象。从利用直尺进行分析，到不借助直尺进行推算，教材有意让学生的推算能力再提高一个层次。此时的推算是一个完整的思维演练过程，比如，要得出70米等于多少分米，要先想到1米=10分米，70米是70个10分米，也就是700分米。学生表达换算的过程，本质上就是建构思维模型的过程。建构好这一思维模型，是学生将来以不变应万变的能力根基。

从利用直尺经历数的过程读出长度，感受厘米和毫米之间的换算关系，到没有直尺的帮助，直接利用单位之间的进率进行换算，教材从直观的“扶”逐渐走向抽象的“放”，教师的教学也要让学生推算能力的发展经历从“扶”到“放”的过程，从数数走向推理。

（二）充实教学内容，让推算有广度和深度

1.基于教材改编，打破思维定式

教学不能只依托教材，而应该用教材来教。教学内容必须是在教学过程中师生共同创造的作品，教师应结合学生的生活实际，对教材进行适当的改编，以充实教学内容［2］，让学生在不断变化的问题解决情境中自主地进行单位换算，把握推算的本质，感悟推算过程，学以致用，从而突破重复性练习中出现的思维定式。

比如，教师可在例3的基础上，将笔芯长度调整为6厘米5毫米，让学生重新测量。再如，将测量的起点改为2，让学生回答出铅笔的长度。教师还可以让学生开展测量活动，如测量数学教材的宽度，让学生从模糊表达“18厘米多一些”或“大约19厘米”，到精准表达“18厘米5毫米”或“185毫米”。这些测量练习，都能让学生感受到不同计量单位之间的转换关系。

2.结合实物推算，突破思维难点

教师要培养学生的量感，帮助学生学会选择合适的度量单位进行不同单位的换算。教师可利用学生熟悉的参照物，引导学生进行对比分析［3］。当学生拥有了自觉推算、灵活转化的能力，学习的难点也将得以突破。

比如，关于“年平均降水量是590（）”这道题目，让学生直接推想590毫米有多长有一定难度。教师可以先引导学生将590毫米看成600毫米，600毫米=60厘米，只有大约课桌那么高；再让学生将单位换成厘米，将590毫米看成590厘米，约等于600厘米，也就是6米，一间教室那么宽。教师再引导学生想象，一年降水量的高度达6米，那么河水就会淹过马路进入教室。

这种联系实际参照物的推想，可以帮助学生从熟悉的事物入手，从虚到实，从陌生走向熟悉，从而使抽象的概念在脑海中清晰起来。

3.借用整理对比，实现思维进阶

教师要做好引导者，帮助学生学会整理对比。学生通过画一画，写一写，结合整理的结果进行对比分析，可以更快地理清数量之间的关系，有助于进行概括、推理等更高层次的思维活动。

对于前述提到的学生易错题的第4题，教师可借助教材上的练习题引导学生思考：“10张纸摞起来大约厚1毫米，100张这样的纸摞起来大约厚多少厘米？1000张、10000张呢？”接着，用同样的思路引导学生整理错题信息，如图3所示。

通过整理，学生可以发现纸张数量与厚度之间的关系，以及米粒数量与长度之间的关系。从简单推出复杂，深奥的题变得清晰起来，数学学习的奇妙就在于此。这个过程能让学生体验到建立思维模型之于解决实际问题的价值，也能让学生对长度单位的认识及其之间的换算产生深刻的理解与感悟。

（三）倾听同伴思考，让推算更灵动

在课堂教学中，学生应该成为发言的主体，通过有条理地表达，学生能够提升思维的有序性［4］，初步养成良好 的思维品质，逐步形成理性精神。同时，教师要引导学生学会倾听，学习他人的学习方法，不断拓宽自己的思路，從而提升自主学习能力。

比如，教师在课堂上提问：“3厘米小于3分米，你是怎么推算的？”有的学生回答，因为3厘米不到1分米，所以小于3分米；有的则是根据3分米是30厘米来进行比较；还有的是通过测量3分米和3厘米的实际长度来进行比较。

学生的思考方式不同，但都蕴含着价值。渐渐地，在学生的交流中，在思维的碰撞中，通过分享、倾听、学习，学生能够感受多样化的推算方法，会从只关注数字或是单位转向关注整体，找到适合自己的思维方式，思维也变得更灵活，推算也变得更灵动。

结语

数学知识的运用依赖于数学学科固有的知识序列逻辑，因此，单位推算非常讲究知识、技能及活动经验的综合运用。教师要基于数学知识结构及学生的认知序列，组织开展扎实有效的探索活动，帮助学生形成一定的思维模型，打破学生固有的思维定式，提升其思维的有序性、灵活性以及数学推算能力。

【参考文献】

［1］叶奕乾，何存道，梁宁建.普通心理学［M］.上海：华东师范大学出版社，2000.

［2］李政涛.教育常识［M］.上海：华东师范大学出版社，2016.

［3］潘小福.小学数学教材的专业化解读［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2017.

［4］吴正宪.刘劲苓.刘克臣.小学数学教学基本概念解读［M］.北京：教育科学出版社，2014.