素养导向下的“多边形的面积”单元整合教学实践

文|韩梦婷

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”而单元教学可以聚焦学习困惑，并利用整合的方式，调整教学序列，将碎片化的知识连点成线、织线成网，让学生对知识内涵能有一个整体认知和深度把握，并发展学生的学习能力，拓展数学思维。接下来笔者就以“多边形的面积”单元为例，阐述一下自己的思考。

一、聚焦困惑，明确单元教学内容

学生在学习“多边形的面积”过程中会有怎样的困惑呢？教师如何基于学情展开适合的单元整合教学呢？基于以上思考，笔者进行了相关的教学实践研究。

（一）“多边形的面积”的单元起始课该从何开启？

在“多边形的面积”单元教学时，人教版的教材是按照“平行四边形的面积——三角形的面积——梯形的面积”的顺序进行推导学习的。“平行四边形的面积”因其教学起点低，转化方便的特点常常作为本单元的起始课。但在长期的教学实践中我们发现，平行四边形的面积转化用的是剪拼法，而三角形的面积转化用的是倍拼法，这两种方法切换跨度大，经常让学生难以理解。并且平行四边形的面积转化方法单一，反而不利于学生体验多样的转化方法，容易造成学生思维上的定势。基于以上，笔者思考“平行四边形的面积”作为单元起始课是否真的利于学生对于面积的理解呢？

对比不同版本的教材我们发现，苏教版和北师大版都不约而同地将“方格图中的图形”作为单元起始课，之后再进行其他基本图形的学习。这样的呈现给了笔者新的启发。方格图作为面积度量媒介，不仅能让学生体会面积单位的密铺，更能从不同图形中揭示面积的本质就是面积单位的累加，实现直观到抽象的转化。学生可以通过不同图形的转化，体验多样的转化方法，积累不同的转化经验，让思维更开放，为后续的学习奠定基础。因此，笔者认为将“面积单位的度量”作为单元起始课是可行的。

（二）平面图形的面积公式需要相互联通吗？

以往的教学实践中，我们发现学生对于面积公式的运用总是会有搞错搞混的现象。当然通过一定程度的记忆和背诵，这样的现象会逐渐减少，但学生是否真的明白这些面积公式间的联系呢？其实面积的教学是有很多共通之处的。从学习本质上，所有图形面积的本质都是面积单位的累加。从思想方式上，这三种图形都运用了转化的思想，可以将未知的图形转化成已知的图形。比如，平行四边形可以转化为长方形，三角形可以转化为长方形、平行四边形，梯形也可以转化为长方形、平行四边形。甚至，这三种图形都可以以长方形为依托进行面积转化。从学习方法上，它们都可以用切割、拼贴的方法进行探究。从教学工具上，都可以选择方格图，因为方格图不仅是学生们熟悉的面积度量工具，更是联通不同图形面积关系的重要媒介。在拥有如此多共同性的情况下，学生如果要准确把握平面图形的面积本质，形成结构化的认知，面积公式间的联通非常有必要。有了这样的思考，笔者将五年级下册“多边形的面积”单元进行了结构化整合（如下表）。

整合前整合后教学内容调整后的教学目标平行四边形的面积面积单位的度量利用方格图，掌握不同的转化方法，积累转化经验，并通过探索、归纳，深入理解面积的本质，培养空间观念。三角形的面积自主探索平行四边形、三角形、梯形的面积计算，理解面积公式的含义。体会图形间的联系，进一步发展推理能力和空间观念。梯形的面积平行四边形、三角形、梯形的面积三角形、平行四边形、梯形的面积练习沟通三角形、平行四边形、梯形的面积公式间的联系，加深理解面积公式，并能灵活运用公式，解决相关的实际问题。

笔者通过重组序列，调整了教学内容，但总课时依然不变。笔者希望能在结构化整合后进一步优化学习路径，提升学生在探索面积公式时的自主性和进阶性，让学生在激活转化、提炼面积公式后沟通平面图形面积间的联系，让学生能够深入面积的本质，达到学生知识和技能方面的提升，更培养学生的推理能力、探究能力，形成系统性、深刻性、灵活性的多元思维，发展学生的核心素养。接下来就以“多边形的面积”为例具体阐述笔者是如何实施单元教学的。

二、调整序列，定位教学实施策略

（一）激活：探索中积累转化经验

1.等积变形，感悟面积度量本质

数学上常常会用任务驱动，结合结构化的学习素材驱动学生展开想象，使学习能力不同的学生能有不同的学习收获。以“面积单位的度量”为例，为了达成“深入理解面积本质”“掌握不同转化方法”的学习目标，笔者作了如下设计（如下表）。

结构化学习素材目标指向下面图形的面积哪个最大？哪个最小？请说明你的理由。（每个小方格的面积是1cm2）②①④③⑥⑤⑧⑦⑨①不规则图形的面积计算，将不完整方格转化成完整方格，并进行叠加。②割补法，感悟面积是面积单位的累加。③⑥等底同高，可以重看比较。且底和高都为奇数，体现割补法的局限性，突显倍拼法。④与③⑥同为等底的直角三角形，但高是偶数。⑤是图形比较的基础。⑦⑧⑨割补法和倍拼法，实现灵活转化。

这些图形之间既有关联又有区别，有利于学生的对比和分析。通过一个开放性和挑战性的任务，有些学生会犯难不规则的图形面积怎么比；看上去差不多大的面积如何比；怎样比才最方便；割补完之后发现面积不准确又怎么办？在完成任务时，不断的疑惑驱动学生主动思考，引发了学生的求知欲，并在不断的“问题——解决”中，让学生感悟到面积的本质，优化了面积单位的数法。

2.化零为整，体验多样转化方法

学生的生成资源是宝贵的财富，教师只有用好这些学习素材，才能让学生更易理解、更易接受。就如“面积单位的度量”的任务中，学生的反馈也是有层次的。从观察法到重叠法，当两种方法都没法比的时候，就出现了数格法。又从一个一个拼这样零散的数，到之后学生认为这样的方法太麻烦，产生了学习冲突，从而优化到整块的割补。再到直角三角形，学生发现不论零散的拼、割补的拼都不够精确时，感受到割补法也是有局限的，迫使学生创造出翻倍的拼。这样的优化、创造正是学生在不断地认知矛盾中，化零为整，逐步完善的过程。而之后的每个图形，学生通过类比、推理等方式，出现了多样的转化方法。甚至学生在理解之后发现等底不同高也能比，出现了更多的比法。这是学生在积累之后的应用，更是学生思路开阔的体现。

3.问题驱动，领悟面积关键要素

“转化之后的图形与原来的图形有什么区别和联系吗？”这一问题驱动了学生对面积的深入思考，让学生带着目的重新去看这些图形，会给学生不一样的感受。通过交流思辨，学生发现转化方法是不同的，一开始是一个一个拼，又因为“拼起来麻烦”，变成了“整块割整块补”，之后发现整块割补不够准确，出现了“倍拼”。但在不同中又有相同，首先转化前后的面积是相同的，并且不论如何转化都是为了将“不完整的格子”变成“完整的格子”，方便数数。这里的指向就是面积的本质——面积单位的累加。其次学生发现不论如何转化，转化为长方形是最方便数的。之后再追问，“变成长方形后，什么没变？”学生通过一一对比知道，长方形的长就是底，而宽就是高。学生还发现了直角三角形等底不同高的秘密，有了新的感悟。至此，面积计算的关键要素——底和高，也在交流与思辨中被学生领悟。

（二）内化：化归中提炼面积公式

1.选取，基于思辨之后的取舍

方格图是学生测量面积的重要依托，但是脱离方格图之后，学生能否选择合适的度量工具以及合适的数据进行面积的计算，这对于学生来讲又是一个挑战。因此，笔者设计了以下学习任务。

面对这样的任务，学生的第一反应就是量。那么量什么呢？有些学生将每条边的边长量了出来，有些学生量了所有的底和高，有些学生只量了一组底和高。对比不同的量法，引导学生针对以下问题进行思考：计算面积需要量出所有的边吗？为什么要量出底和高呢？每一组的底和高都要量吗？学生们的回答令人欣喜，在这样的思辨当中他们将如何选取数据、如何转化、转化前后的关系越辨越明了。选取背后是学生对于面积的理解。通过思辨，明晰了面积转化的过程，加深了底和高对于面积计算的重要性，正确地取舍更是学生在深入理解后产生的自然结果。

2.规范，基于分析之后的明晰

面积公式是数学上的规定，我们常常需要告知学生这些规定，但有时规定是在自然而然中形成的。就像特级教师俞正强曾说：“数学上有许多规定，这些规定似乎是硬邦邦的，需要被重复、被强化。事实上，数学的许多规定是有道理的，而且道理是十分有意思的。”我们只要给足时间让学生充分探索、互相交流，明晰其中的道理，规定自然会出现在学生的心里。

在知道底和高的重要性之后，学生需要的就是根据图形的特征和转化的过程进行面积的计算。而三角形和梯形的面积计算中出现了“÷2”，根据不同的转化方法，学生知道了，有时除以2 是高折半，有时除以2是底折半，有时除以2 是面积折半，但不管是哪种情况造成的结果都是“底×高÷2”。在如此分析之后，学生对于面积公式的产生有了深刻的感悟，面积公式的规范就是对数学内涵的明晰。

（三）联通：比较中联通内在联系

1.在横向联系中完善认知结构

经历多种图形的转化后，学生需要利用多个素材的异同对比，激发深层次的思考。通过几个面积公式比较，学生发现“面积都与底和高相关”“面积都可以通过翻倍和割补将原图形转化成长方形”“三角形和梯形的面积要除以2，而平行四边形的面积不需要除以2”。其实不管怎么拼，都是为了方便面积单位的“数”。既然有这么多关联，这些面积公式能否用同一个公式来替代呢？学生的选择是（上底+下底）×高÷2，因为长方形、正方形、平行四边形的上底和下底是相等的，三角形的上底为0。

教师的对比质疑、反思总结是互联的手段，用联系的观点进行分析思考、引领点拨，可以加深学生对面积公式的理解，促进学生主动思考、深入研究，帮助学生找到知识间的关联，明晰知识背后的内在规律，建立起结构化的知识体系。

2.在拓展延伸中打破思维定势

知识间的联系不仅在反思总结中存在，也可以在练习拓展中进行延伸，因此笔者设计了以下练习。

练习拓展：佩奇一家要去采桃子，有下面四块菜地，怎样才能最快找出最大的菜地呢？

这个练习的关键在于“比”。如何比？以往学生会选择“算”，因为算最简单，只需机械重复的应用公式就可以了。但是这里的比是需要学生进行分析与思考的，在理解知识的本质与关联后才能找到同高的“秘密”，且下底也是相同的，那只要比较上底就好了，而上底最大是6，最小是0，这就是对于面积同一公式的灵活运用。练习的意义在于提升和拓展，学生从“算”到“不算”其实就是打破思维的惯性，明晰内在的规律，学会应用的体现。

综上所述，单元教学是在充分考虑学生的学习困惑后，利用知识间的关联重新整合，调整教学序列，通过激活学生的原有经验，内化学生的度量方法，联通知识的内在结构，使学生形成系统化、结构化的认知体系，让数学变得更有道理！

【本文为“第十五届全国小学教学特色设计论文大赛”获奖作品】