以《倍的再认识》为例谈“画概念”教学策略

文|陈 昱（特级教师） 董晓梅

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，是数学判断和推理的基础，包含反映对象“质”的特征的概念内涵和反映对象“量”的范围的概念外延。既然是人脑的活动，便具有隐蔽性，教和学的过程都需要对这种内隐的活动加以表征。“画概念”是在概念教学中引导学生将心中理解的数学概念通过画图表征出来，更多是对概念外延的举例，以形象表征抽象，可以反映学生对概念内涵的理解情况，并逐步完成对数学概念的深度学习。

数学概念学习除了构建数学概念本身，以数学概念为载体，通过相关的数学思维过程训练，还能培养学生主动获取知识与灵活思维的能力，“画概念”教学可以承载这样的数学核心素养培育任务。

下面以《倍的再认识》一课为例，说明“画概念”教学的实施策略。

一、问题驱动

问题驱动型教学模式是由英国教育家博雷泊在20 世纪80 年代提出的教学理念，它将知识点隐含在一个或几个具体问题中，课堂通过剖析这些问题引导学生同步进行思考，达到深刻理解知识点的目的。对小学生而言，有效的概念学习往往不是直接的、孤立的，而是在具体的问题解决中自然地发生。

《倍的再认识》一课始终在解决问题，先是红花与蓝花朵数比较的两个问题，然后是有关紫花朵数的两个问题，最后是较复杂的问题。教学从链接学生生活的实际问题出发，学生有学习需求，为了解决问题必须积极思考，概念理解在问题解决的过程中悄然发生，避免了直接呈现概念的低效说教。

这个过程会牵涉如下问题：

其一是学生四能培养，这节课的做法是：创设情境，呈现信息→梳理信息，提出问题→聚焦问题，分析解决→反思比较，深化认识。

不仅注重分析和解决问题，还关注发现和提出问题。课始，请学生倾听并记录信息“某小学的花坛里有2 朵红花，6 朵蓝花”，引导学生体会“画图并标数据”记录方法的简便，自然提出差比和倍比问题。

其二是与倍概念相关的问题探究，上面提及做法中“聚焦问题，分析解决→反思比较，深化认识”环节反复了三次：一次是问题①差比与问题②倍比的比较；一次是问题③④标准量改变引起比较结果的改变；一次是问题⑤倍比与差比混合型问题的探究。课后的延伸作业还牵涉到问题⑤标准量已知与问题⑥标准量未知的比较情况，当然只是渗透一点，不作要求。

以上问题解决过程同时也是倍概念的深化理解过程，比如，与差比的对比深化了学生对倍概念是一种乘法结构的认识，后面的问题则突出了比较标准在倍概念中的重要性，混合型问题能够很好地检验学生对倍概念的理解和掌握情况。

二、画图辅助

在整节课中画图多次出现，大体可以分为三种：理解性画图、探究性画图和建构性画图。

1.理解性画图

这节课之前，北师大版二年级上册已经教学过倍的认识，学生对倍概念有了初步的认知，会解答有关倍的简单问题，而求差问题早在一年级就学习过。所以，面对“蓝花比红花多几朵？”“蓝花朵数是红花的几倍？”的问题，他们能够解决。这时候的课堂是怎么处理的？先列式计算再画图。此时的画图就是理解性画图，即对算式进行解释说明（见图10）。

图1 学生对稍复杂问题的探究

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

图9

图10

已经会算了还有必要再画图吗？此环节的理解性画图有如下主要作用：

（1）自我梳理，看看对这些问题到底是怎么理解的、有没有困难。

（2）同伴交流，只有把内心的想法表征出来，彼此才能交流。

（3）深化理解，通过表征和交流发现自身不足，借鉴他人经验，认识自然会深化，也可以为下一步的比较做好准备，使认识提升成为可能。

（4）教学干预，学生画图将内隐的思维外显，除了便于自我审视和同伴互动，还可以使教师及时发现隐含着的理解难点和思考困惑，便于教学干预，提高教学针对性和有效性。

理解性画图不一定非要在列式之后，也可以先画图再列式，比如稍后解决“紫花有多少朵？”“紫花是蓝花的几倍？”问题时便没有硬性规定或引导学生先列式再画图，而是放手让学生去做，有的学生就先画一画再列式解答。与算式相比，画图更容易让学生理解和把握，何况有的学生会暂时忘记一些已学知识，画图恰好可以帮助他们及时回忆起来。

2.探究性画图

与理解性画图相对应的是探究性画图，适用于新问题的解决过程。比如“红花有3 朵，蓝花是红花的4 倍少1 朵，蓝花有多少朵？”这是以前没有学习过的稍复杂问题，混合了倍比和差比两种结构，与前几个问题相比，学生头脑里没有现成的问题解决路径和模型，这种情况下，课堂是怎么处理的？先画图探究，搞清楚数量关系后，问题的解决路径、方法都显现出来了，再列式解答就容易了。列式其实是在画图探究后逐渐把握问题背后的数学本质。

这类新问题多遇见几次，就可以归纳发现其规律和特征，进而把握其结构，以后再遇到此类问题的画图便又是理解性画图了。

3.建构性画图

建构性画图是学生在头脑中建构某个数学概念或数学问题的数学模型的过程，是对数学概念和数学问题的结构化把握。与前两种画图相比，建构性画图具有内隐性，通常发生在意识里，图不是画在纸上，而是画在脑海里。

本课差比问题和倍比问题比较环节，通过对比观察和讨论交流，学生最后会在头脑中确立起差比结构和倍比结构，从而完成对差和倍概念，尤其是倍概念的本质理解，在头脑中建立倍概念“几个几”的乘法结构模型，建构起比较清晰深刻的倍概念。可见，建构性画图在概念学习中具有非常关键的作用。

探究性画图是探新，完成后理解性画图是释旧；建构性画图是建新，以探究性画图和理解性画图为基础，没有探究性画图和理解性画图作前提，建构性画图很难完成，而没有建构性画图，概念学习就不牢固；三种画图类型各有适用范围和应用时机，需要教师选择利用，一起辅助学生的概念学习。

三、多元表征

“画概念”说到底是一种概念学习方式，是围绕数学概念学习而画。当然，画图不会单独存在，它总是与学具操作、言语解释、文字说明等结伴而行。为此，与“画概念”相链接的是比较丰富实用的多样活动，《倍的再认识》一课中主要有说图、评图和图式对应。

先看图式对应。图指图画、图示，属于图画表征，属于形范畴；式指算式，属于符号表征，属于数范畴。图与式当然可以相互对应，相互转化，数形结合，从而完成概念的理解和建构。本课中的图式对应贯穿了所有的“画概念”活动，起到了很好的促进学习作用。图式对应中，图示是思维的拐杖、是理解的工具、是归纳的基础，图示很重要，但并非最终成果。图示更多是概念学习的过程性工具，一旦概念得以完全建构，则可以舍弃图示，直接运用算式思考解决问题。反过来，一旦直接运用算式发生困难，又可以借助图示这个工具。

再看说图。理解性画图伴随着学生画图来解释说明算式，探究性画图紧跟的活动是学生需要说清楚怎样通过画图找到了列式解决问题的方法，而建构性画图则依赖学生用言语表达清楚到底获得了怎样的深刻认识，或者说数学概念的本质结构到底是怎样的。这些都是说图，一般在画图之后，而说图之后还会有评图。

如果说画图是学生与自我的对话，那么说图就是学生与他人的交流。严格说，说图只完成交流的一半，即“我”的表达；大家对这样的表达有什么意见？作什么反馈和评价？这是另一半———评图。

听同伴说图，说得好的点赞、学习，说得不完美的补充和修订，不赞成的就反驳和辩论。小组讨论或同桌互说保证了评图的参与度，再全班交流则彰显出评图的效果，一节课的精彩处往往在评图反馈环节，这可以从下面《倍的再认识》教学片断里具体感受。

师：针对问题①和问题②，这里有一些同学的作品，我们来看一看。（出示图2）你觉得怎么样？

生：他画出了已知的数学信息和两个问题，还列式算出了结果，很好！但是他没有画出思考的过程。

生：我也觉得他没有画出他是怎么想的，问题也不准确，应该是“蓝花比红花多几朵？”“蓝花朵数是红花的几倍？”（学生修改）

师：是呀，最精彩的思路没有画出来，那怎么画出思考过程呢？请看（出示图3、4），这两幅作品画出思考过程了吗？

生：我认为图3 画出了思考过程，图4 没有画出过程，图4 只是把算式里的数换成了图形，这与算式差不多，还是看不出思考的过程。

生：我也认为图4 这样不能看出思考的过程。再看图3，问题②她用大括号画出了红花2 朵是1 份，蓝花6 朵里有这样的3 份，就是3 倍，所以画出了思考过程；但是再看上面的问题①，她画的还是蓝花是红花朵数的3 倍，并不是蓝花比红花多几朵，画错了。

生：图3 把两个问题混淆了，而它俩是不一样的。

师：很多同学举手表示认同，其实大多数同学画出了两个问题的不同思考过程，老师选了几幅，一起来看看（出示图5～10）。我们先观察问题②（遮去问题①），你有什么发现？

生：它们有的画花，有的画圆圈，有的用圆圈圈一圈，有的用长方形圈一圈，有的用竖线隔开。

生：我发现虽然它们画得不一样，但是都画出了蓝花是红花的3 倍，都是把2 朵放一起作为1份，看蓝花里有几个2 朵就是几倍，都用除法算。

师：是这样吗？好发现！那为什么都把2 朵作为1 份呢？

生：那是因为红花是2 朵，蓝花是要与红花来比较的，当然要把2 朵作为1 份。

师：也就是这个问题是把红花的朵数作为比较的标准（板书：标准）。再观察问题①，你又有什么发现？与问题②相比，思考过程和结果有什么相同点和不同点？先自己想，再小组内说一说。

（学生活动，教师行间辅导）

师：哪一组先汇报一下你们观察问题①的发现？

生：我们小组认为，虽然这些作品画法不一样，但是都画出了思考过程，都是用6- 2=4 来计算，都是把红花的朵数看成标准。

师：说得有点快，听懂了吗？那谁来补充一下他们是怎么画出思考过程的？

生：虽然画法不太一样，但他们都把红花2 朵作为标准，再把蓝花6 朵同红花比，去掉与红花一样多的2 朵，剩下的4 朵就是蓝花比红花多4 朵。

生：他们都把蓝花的朵数分成了两部分，一部分是与红花一样多的2 朵，一部分是比红花多的4 朵。

生：我发现图7 没有画红花，其他都画了红花和蓝花。

师：小作者能不能解释一下？

生：我心里想要求蓝花比红花多几朵，只要从蓝花的6 朵里把红花的2 朵去掉就行了，就叉掉了两朵。

师：你的意思，这两朵既是蓝花也可以表示红花？

生：是的，这是蓝花里面与红花朵数相同的2 朵。

师：大家说得很好！哪一组再来汇报一下两个问题的相同点和不同点？

生：我们组认为它们的相同点是：都是把6 朵蓝花与2 朵红花比较，都是把红花朵数作为标准；不同点是：问题①是求蓝花比红花多几朵，问题②是求蓝花朵数是红花的几倍，问题不同。

师：我记录一下，也就是一个是求倍，一个是求差（板书：求倍、求差）。请继续！

生：所以求倍的问题用除法算，求差的问题用减法算。

师：谁来解释一下为什么求倍要用除法算，而求差用减法？

生：（走上台，指图说）因为求倍是要看蓝花里有几个2 朵，用除法；而求差是从蓝花里去掉2朵，用减法。

师：原来求倍要看有几个标准量，而求差是看去掉标准量还剩多少。从图上看，它们的结构是不一样的，大家可以感受一下。

综上所述，“画概念”教学一般以问题驱动展开，融合多元表征，着力引导学生经历理解性画图、探究性画图和建构性画图等活动，从而把握概念本质，同时提升以数学思维为主的数学核心素养。