回归“数数”源头 凸显运算一致——《乘法的初步认识》教学实践与思考（一）

文|张聪聪

【教学内容】

人教版二年级上册第四单元第一课时。

【课前思考】

在理解加减法模型后，认识“乘法”是学生对运算理解的一次小步跨越。乘法模型有多种样态，《乘法的初步认识》一课主要是从一般的等组模型入手（如图1），逐渐进入到排列规律的矩阵模型（如图2），三年级还要进一步认识和理解倍比模型（如图3）。无论是哪种运算模型，都离不开运算的本质——“数的累加”，《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中就提到要“感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识”。

图1 一般的等组模型

图2 矩阵模型

图3 倍比模型

笔者了解到学生对乘法的认识并非是一张白纸，为准确了解学生究竟理解到哪个水平，特对目前所任教的两个班共81 名学生做了学前测查，结果如表1。

表1

仔细分析前测结果可知，接近一半的学生能够根据实物图用乘法算式去表示几个几相加的和，但反过来要解释3×2 的含义，仅有3.7%的学生能够表示出两种含义，接近60%的学生仅能表示出一种含义，说明学生对乘法意义的理解是片面的。

再结合笔者以往的执教经历，发现学习了“乘法”单元之后，学生对乘法的认知似乎还不够透彻：

一方面，在看图时，学生往往习惯先写出乘法算式（每组几个，有几组），再写加法算式，这也因乘法的简洁性导致学生更喜欢先写简单的算式。也正因如此，可能会弄混“几个几”。例如：把“8 个4”写成“4 个8”。

由此可见，“几个几”中的“几个”和“几”究竟对应的是哪个量，学生没有真正从“数”的角度去理解，是4 个4 个地数，数了8 次，还是8 个8 个地数，数了4 次？这是需要引导学生去“数”出来、“算”明白的。

另一方面，在无图时，学生由于学习了乘法后有了思维定势，没有牢固建立乘法模型，导致把本该用加法来解决的问题，也误用乘法去解决。例如“有8 排课桌，每排5 张，一共有几张？”“有2 排课桌，一排8 张，另一排5 张，一共有几张？”第一问用乘法8×5 或5×8解决，第二问应该用8+5 解决，但有的学生“不假思索”地用8×5 去解决，尽管学生在阅读时存在不仔细的情况，但笔者认为这也是乘法模型建立不深刻导致的。

根据前测结果和教学经验，本节课的学习目标定位在：

1.在“数数”的情境下概括和抽象出乘法，理解同数连加与乘法之间的联系，感悟运算的一致性。

2.通过语言、符号表征，深刻建立乘法运算的模型，理解乘法的意义，感受乘法算式的简洁。

3.会读、写乘法算式，知道乘法算式各部分的名称。

因为建立乘法模型、理解乘法意义是本节课的重点，所以在数、说、画等学习活动中，要重点培养学生仔细观察（是否符合乘法模型）、深入分析（分析数量关系解释乘法意义）等好习惯。

【教学过程】

一、引入“数数”，顺其自然重温数数方法

师：秋天到了，小熊去树林里摘了许多苹果，他一共摘了多少个苹果呢？请你拿出信封中的纸片苹果，帮小熊数一数吧。

师：你是怎么数的？

生：我是1 个1 个地数，1、2、3……一共有30 个。

生：我是2 个2 个地数，2、4、6……一共有30 个。

生：我是先5 个5 个地放一堆，再数5、10……一共也是30 个。

师：大家都在数苹果的总个数，但数的方法有些不同。

【思考：加法运算模型是“数”的累加，乘法是同数连加运算的简便形式，它的本质就是同数累加。从数数引入，让学生第一次感受在数的时候，是1 个1 个、2 个2 个或5 个5 个……地累加，为下一环节理解“几个几”做铺垫。】

二、展开“数数”，对比分析理解“几个几”

1.引出乘法，暴露问题

师：黑板上有三幅图，哪幅图能更快知道一共有30 个苹果？你能用一个算式来表示吗？

生：第三幅图，是5+5+5+5+5+5=30。

生：五乘六也可以。

师：怎么写？

（学生到黑板上写出“5×6”）

师：你能教大家读一读吗？

（学生示范，其余学生跟读）

师：中间的运算符号读作“乘”，这是一道乘法算式。以前我们都是用加法解决“一共有多少”的问题，乘法也能解决吗？看到这个算式，大家有什么想问的吗？

生：5 是5 个苹果，6 是什么意思？

生：中间的“叉”是什么意思？

生：怎么计算？

师：我们就带着这些疑问继续学习。

【思考：这里同时引出“加法”和“乘法”，主动把提问权交给学生，提高学生的问题意识。学生问题的暴露始终聚焦在学生的短板上，学生想要了解的就是学生未知的，因此，这样顺学而教更加契合学生的学习规律。】

2.沟通加法，理解乘法

师：谁能解答这些疑问呢？

生：我知道6 就是有6 个部分。

师：谁能说得更明白？

生：一堆苹果是5 个，有这样的6 堆。

师：像这样一组5 个，有6组。一起来数一数，1 个5——

生：2 个5、3 个5、4 个5、5 个5、6 个5。

（学生齐数，教师边指边圈并板书：每组5 个，有6 组）

师：一共数了几次？

生：6 次。

师：也就是表示有“6 个5”。

师：观察加法算式和乘法算式，它们有什么相同和不同吗？

生：都有5。

生：都能表示每组是5 个苹果。

生：加法算式中没有6，乘法算式中有6。

生：加法算式中虽然没有直接写6，但是写了6 个5，就是乘法算式中的“6”。

师：所以加法算式也表示6个5 相加，它们的意义是相同的。

生：没错，都表示6 个5 相加，只是乘法算式更简单。

师：简单在哪？

生：加法算式要写很多个5，乘法算式写两个数就可以。

师：写成5×6 确实看上去更简洁，还可以写成6×5。交换两个数的位置，6 和5 的含义有没有发生变化？

生：没有，6 还是表示有6 组，5 还是每组5 个。

师：说得真好！两个数可以交换位置，含义不变。这两个数在乘法算式中都叫作“乘数”，中间这个符号就是“乘号”，得数和上面的加法算式一样也是30，它是5 个5 个累积起来的结果，这个得数就叫作“积”。

小结：不管是5+5+5+5+5+5，还是5×6 或6×5 都表示6 个5 相加。

【思考：联系加法与乘法的“同”与“不同”，让学生认识乘法运算本质上也是数的累加，体现运算的一致性。这里第二次数苹果的个数，用数数的方式让学生初步理解算式中两个乘数的实际含义，引导学生初次建立乘法模型。在初次感受到乘法算式的简洁性后，乘法算式各部分的名称采用直接讲授式教学，也可以让学生自学课本习得。】

3.对比研究，理解意义

生：5×6 表示6 个5 相加，6×5为什么不能表示5 个6？

师：这个问题提得很好！6×5能不能表示5 个6 呢？你能用手上的纸片苹果研究一下吗？

生1：我觉得不可以，因为这里就是6 个5 啊，你看，1 个5，2个5，3 个5……

生2：我觉得可以，只要把苹果重新分一下，6 个放一堆。

师：这也能用6×5 表示？

生：是的，6 就是每组有6 个，5 就是有5 组。

师：真的是这样吗？我们一起来数一数，1 个6——

生：2 个6、3 个6……5 个6。

师：为什么6×5 一会儿表示6个5，一会儿又表示5 个6 了呢？

生：因为苹果分得不一样。

生：因为数的方法不一样。前面我们是5 个5 个地数，这次我们是6 个6 个地数的。

师：6 个6 个地数，数5 次，累积起来也就是6×5=30。

生：或者5×6=30。

师：你补充得真好！那这里的5 和6 还是刚才的含义吗？

生：这里5 就是有5 组，6 是每组6 个。

师：怎么分得不一样，算式却一样？这两种分法意义也一样吗？

生：意义不一样，前面加法算式是5+5+5+5+5+5，这里加法算式是6+6+6+6+6。

师：这样分苹果，摆得看上去有点乱，你能不能试着把苹果摆整齐，也能看出5 个6 或者6 个5？

师：看似相同的乘法算式，背后的意义却不一样，这里的意义是由谁决定的？

生：怎么“数”决定的。如果横着6 个6 个地数，就是5 个6，竖着5 个5 个地数，就是6 个5。

生：也可以说是加法算式决定的，5+5+5+5+5+5 就是6 个5，换成6+6+6+6+6 就是5 个6。

师：所以乘法算式就是对加法算式的改写。它表示“几个几”相加，“几个”是加法算式里的哪个数？

生：加数的个数。

师：后面这个“几”呢？

生：加数是“几”就是“几”。

师：总结归纳得真棒！

【思考：学生的一个提问引发了激烈的讨论和思考，逐渐看到了乘法的本质意义，就是“几个几相加”，这里的“几个”和“几”对应的量，会根据“数”的方式不同而改变，学生通过观察、对比、分析、操作、表达，促进了对乘法意义的深入理解。这里并未强调“同数连加”，为接下来学生自主建构乘法模型埋下伏笔。】

三、拓展“数数”，深入建构乘法模型

1.自主探索，直观建构乘法模型

师：通过讨论，我们认识了乘法，也知道了乘数的实际含义。30个苹果，除了可以摆成5 个6 或6个5 的形式，还可以怎么摆？能用怎样的乘法算式来表示？

（小组讨论，动手操作，集体反馈）

生：刚才我们2 个2 个地数过，可以摆整齐一些，就是2×15或者15×2。

师：你能分别说说2 和15 的含义吗？

生：2 就是每组2 个，有15 组。

生：我觉得2 也可以是有2组，每组15 个。

生：横着数和竖着数表示的意思不同。横着数是15+15，算式比较简单，但竖着数是2+2+2……要加很多个2，算式比较麻烦。

师：从不同角度观察，数的次数不同，意义就不同，但都可以用2×15 或15×2 来表示。

生：还可以这样摆，横着数3次就是3 个10，竖着数10 次就是10 个3，都能用3×10 或10×3 来表示。

师：你说得非常清楚！

师：可以7 个7 个地数吗？

生：可以，但最后会剩下2 个。

师：这种情况用什么算式表示？

生：可以用7+7+7+7+2，但是乘法好像不行。

师：为什么不行？

生：数到最后会多出几个，不是刚好几个几。

生：每组里面一样多才行，这样数，最后一组不是7 个。

师：每组一样多才能直接用乘法表示，你们的发现很了不起。

【思考：通过摆一摆30 个苹果的操作活动，让学生建立清晰的乘法模型——即“每组几个，有几组”的等组模型（矩阵模型），学生说的“每排一样多”实际就是“同数”，达到了理解同数连加和乘法之间建立直接联系的目的。在本课中，学生还没有“乘加”的概念，自然不必展开，但也为后续学习“乘加”埋下种子。】

2.拓展练习，深入理解乘法模型

（1）下面两幅图分别可以用怎样的式子来表示？连一连。

师：这两幅图都有8 根香蕉，表示的意义相同吗？

生：左图是4 个一堆，数2 次就够了，是4+4，也可以用乘法2×4，或4×2。

师：你说的这三个算式都表示几个几相加？

生：2 个4 相加。

师：谁来说说右图？

生：2、4、6、8，数了四次。4 个2，也是2×4 或4×2。

生：但是加法算式是2+2+2+2。

师：看来2×4 或4×2 既可以表示2 个4 相加，还可以表示——

生：4 个2 相加！

（2）2×2 和4×4 表示什么？请你选择一个算式，画一画。

师：2×2 和4×4 这两个算式不能连，你明白它们的意义吗？请你选择其中一个算式，把它的意义画出来。

（学生动手画一画并展示。学生作品有实物图、圆圈图等）

师：4×4 中的两个“4”表示的意义一样吗？

生：不一样，一个“4”表示每组4 个，另一个“4”表示有4 组。

师：这样摆，不管横着数，竖着数，都是4 个4，意义是相同的。

生：老师，我发现其实2×2 也只有一种说法，那就是2 个2，也能摆成正方形的样子。

师：怎样的乘法算式能用小正方形表示成这样的大正方形呢？

生：两个乘数一样。

师：是啊，这样的乘法算式计算的结果被叫作“正方形数”，感兴趣的同学下课以后可以继续研究。

【思考：两个练习实际上是从两个维度出发检验学生对乘法意义的理解。一是从直观到抽象，让学生根据图示选择算式；二是再从抽象回到直观，让学生用符号表征算式的意义，加深学生对乘法模型的体验。】

四、课堂小结（略）