读懂学生思维路径 提升概念理解水平——以《小数的意义》教学为例

文|陈 昱（特级教师） 袁 玲 张 艳

【教学理念】设计表现性任务凸显小数概念本质

荷兰数学家西蒙·斯蒂文说过：“创造小数就是为了把分数变得像整数那样，从而避免分数的复杂计算。”可以说，小数的出现将分数和整数在计数法和计算法层面达成了统一，即小数是数概念基于十进位值制的一次拓展。本课核心学习目标是利用“画小数”等活动引导学生聚焦小数的十进制计数法层面的意义理解。

围绕核心目标，本课设计了三个表现性任务（如表1），主要是“画小数”及相关活动。“画小数”有诸多好处：其一，对学生个体来说，“画小数”其实是个体对概念的理解和表征，在这个过程中，学生会整理和深化对概念的理解，从而使他们有机会将原本可能模糊的、不够精准的、不够深入的甚至错误的理解逐渐清晰化、深刻化，达成一种概念理解的自我完善——所以作品往往呈现鲜明的个性化、原生态特点。其二，“画小数”将学生对小数概念的内隐性理解变得清晰可见，从而促使学习交流和“融错”基础上的认知生长真正发生。教师通过学生的画小数表现可以读取学生的思维，尤其是发现思维的疏漏之处，从而为富有针对性的学习指导提供依据；学生之间的作品展评则可以引导学生看见不一样的思路，拓宽概念理解的视界，丰富概念的内涵和外延，在多元呈现基础上的比较促使学生不断优化对概念的理解，提升原先的思维层次和理解水平——从这一点看，“数学画”具有很强的多元性和生长性特点。

表1 《小数的意义》学习任务设计表（苏教版五年级上册第三单元第1 课时）

下面是任务一中的教学片断，其亮点是学生在“画0.3”的任务驱动下“再创造”出十分位，随后在学生互动评议中适时引出十进制计数法中数位及其计数单位之间的关系，完成向小数部分的拓展，这是本节课的关键部分。

【教学片断】利用探究性画图引出十进位值制

师：之前我们画过这样的数，今天我们继续来画数。只不过今天增加了一种新的方式，咱们要在计数器上画数。

（出示计数器图，学生依次画5、15）

师：画15 时，为什么不在个位上画15 颗珠子呢？

生：因为在个位上画够10 颗珠子就可以进位了。如果画15，就要在十位上拨1 颗珠子，再在个位上拨5 颗珠子。

师：大家听明白他的意思了吗？

生：个位满10 要向十位进1。

（板书：满10 进1）

师：大家知道个位上的计数单位是多少吗？十位、百位上呢？

……

师生互动，完成板书：

师：从右往左看，是满10 进1，那从左往右呢？

引出“退1 当10”，并完成板书：

师：这就是整数计数单位之间的关系。我们再来画数，你能在计数器上画0.3 吗？

（学生完成《学习单》上的任务，教师巡视指导，了解学情）

师：先来看这幅作品（出示图1），他在个位上画3颗珠子，大家有没有什么想法？

图1

生1：为什么要在个位上画3 颗珠子？1 颗在个位上是1，画3 颗不就是3 了吗？

师：3 个一表示3。好像画得有点问题，是0.3 吗？

生：不是0.3，是3。

师：再来看一看这个同学的作品（出示图2），请说说你的想法。

图2

生2：我是想，0.3 是1 平均分成10 份，其中的3份，所以就要从1 里取3 份。

师：原来你画的是1 颗珠子的十分之三，大家有什么意见？

生：他画的十分之三不准确，看上去像二分之一。

生：虽然可以这样画，但是实际上没有十分之三的珠子，没法拨出来！

师：（出示图3）这个小作者画的是什么意思？

图3

生3：我想既然小数不是个位上的数，它应该是比个位小的数，所以我就再退位。

师：有没有听懂？他觉得这个计数器上连个位都不能画出0.3 这个一位小数，需要再怎么样？

生：退位。

师：所以又往后画了一格，那这一颗珠子表示多少？

生3：这一颗珠子表示0.1，3 颗珠子就表示0.3。

师：看一下这位同学的（出示图4），给大家介绍一下你的想法。

图4

生4：0.3 应该是在个位后一位的。这后一位的1颗珠子表示十分之一，这一位就叫作十分位。在十分位上画1 颗珠子表示0.1，3 颗就表示0.3。

师：太厉害了！他不仅知道需要一个新的数位，而且还知道这个数位叫什么？大家来大声地读一下。

生：十分位。

师：十分位的计数单位是多少？1 颗珠子表示多少？

生：0.1 或十分之一。

师：（课件呈现数位）你知道在十分位的右边又是哪一位吗？计数单位是什么？再后面呢？它们之间有什么关系？

引出：

师：现在你会将计数器改造一下再画0.3 吗？

（学生修改作品）

【作品分析】从学生作品看小数概念理解的思维路径

1.从一幅作品说起

在前测和课堂活动中均有学生画出像图5 这样的作品，经过访谈得知学生有此表现主要出于两种情况：其一，提前学过，知道两位小数表示百分之几；其二，由一位小数表示十分之几推测出两位小数表示百分之几。所以，像图5 这样的作品虽然是正确的，但它反映的只是一个结果，学生对两位小数意义的正常的探寻过程被屏蔽了，它的作者要么是被告知了这个意义，要么在推理或探索时跳过了自主思维中最关键的部分。尽管作者画出了一幅并没有错的作品，但是不一定真正理解两位小数的本质。那么，正常情况下，学生会怎么思考呢？

图5

2.还原真实的思维过程

首先看图6，小作者是怎么画0.23 的？依据访谈和课堂反馈，得知她的大体思维路径：（1）先画0.2，将正方形看作1，十等分后涂出，这是一位小数的意义，她是已经理解了的；（2）根据需要再接着画0.03，比0.1 更小的一个数，因为有画零点几的经验，她很快就会类推：需要把0.1 再次十等分，每一份就是0.01，涂出这样的3 份就是0.03；（3）将0.2 和0.03 合起来就是0.23，也就是。图7 的思路差不多：0.05比0.1 小，先画出0.1，再继续十等分画出0.05。实际教学中发现，对部分学生来说，0.05 其实比0.23 更难理解、难画，因为后者的组成里有个0.2 很容易看出来，而且这是已经会画的一位小数，而0.05 难在需要先想到0.1。还有一点值得注意，由图7 要得出0.05就是，一般还需要图8 这样的直观引导。当然也会有部分学生虽然知道从小数的组成来理解其意义，但是因为一位小数学习时就理解不到位，所以也不能成功画出两位小数，病根在一位小数意义的理解上（如图9）。

图6

图7

图8

图9

3.洞穿错例背后的理解偏差

图9 这样有错的作品，从某种意义上说，是教学真正发生的契机。“数学画”作品能使学生的思维清晰可见，能够暴露学生的问题，能让教师看见学生的错误和困惑。图9 还说明了一个问题：即便学生已经清楚一个小数的组成（具体表现之一是能够在计数器上准确表示出这个小数），他也不一定理解这个小数的意义。图10～12 也佐证了以上问题：图10 的作者清楚0.11 含有1 个0.1 和1 个0.01，但却不清楚0.1 和0.01的具体意义，把0.11 画成了；图11 则将0.03 混同于0.3，但至少小作者知道小数需要将计数单位十等分，笔者认为他可能是理解一位小数的意义的，只是在知识迁移时出现了问题；图12 的错误可能首先在数的组成理解上出现了偏差，百分位与百位发生混淆，此外他对于0.02 表示的意义是不清晰的，可能只是模糊地知道是个比较小的数，加上之前百位的知识干扰，就阻碍了他对0.02 的正确理解。

图10

图11

图12

以上四个错例，其实指向一个共同的错因，即学生对先前学习的一位小数的意义等基础概念理解不深刻，对小数是十进分数的认识不到位，尽管他们都经历了任务一的学习。这样的错误其实是正常的，毕竟这是小数意义单元的第一课时，任务一是学生初次接触和体会小数是十进分数，不可能所有学生的认识都能一次到位，这也体现了任务二、任务三设计的合理性和必要性。学生需要反复经历这样的学习任务，认识才能真正提升，才能完成对一个新概念的意义建构。

【课堂展评】以分层交流提升概念理解水平

笔者根据上述学习目标和前测分析建立“画两位小数作品评价框架”（如表2），为学生作品的课堂展评提供支撑。课堂上如何展评学生作品？并无标准答案，这里留给教师非常广阔的教学空间，可以根据课堂实际情况灵活把握。比如本课任务二作品的展评就可以采用如下方案：

表2 画两位小数作品评价框架

1.展评水平1 作品

出示图5，学生说一说想法，教师追问：你怎么知道0.03 表示

2.展评水平2 作品

出示图9，先请学生评价，再请小作者说一说想法，指出其错误。

3.展评水平3 作品

（1）出示图6，互动评议，理解小作者的思维路径。

（2）追问：如果用这种方法画0.05 你会吗？学生思考后（有时间则尝试画一画，没时间则脑中画图），出示图7，请学生说一说：你看懂了吗？0.05 表示什么？

（3）出示图8：你还能看懂吗？0.02 表示什么？并看图5：现在你知道这个0.03 为什么表示了吗？

4.展评部分错例

依次出示图10、11、12（也可以整体呈现），请学生小组内说说有什么问题、可以如何改进，再全班交流。

5.完善作品

请学生修改完善自己的作品，同桌互查。

6.小组讨论

根据自己的探究，结合同学的作品，说一说两位小数表示什么意义。再全班反馈，得出：两位小数表示百分之几。

以上设计指向提升学生对两位小数意义的理解水平，具有鲜明的特点：

特点1：注重作品展评的层次性

图5 呈现的是两位小数意义理解的结果，首先展评，便于引发学生的疑问和兴趣；图9 虽有呈现思维过程的努力，但出现错误没有成功，更能激起学生的探究兴趣；此时展评图6～8，水到渠成，而且依次出示图6、7、8，也是本着“先易后难，先局部再整体”的认知原则；最后展评错例，有了前面的理解基础，学生才能更好地找出错因，做出修改。

特点2：注重体现学教评一致性

首先学生的学习、教师的教学和对学习的评价都指向相同的目标，即引导学生深刻理解两位小数的意义，发展数感；其次课堂上的过程性评价实时评估和保障学生的学习行为一直沿着目标指引的道路不断进阶，比如用“你怎么知道0.03 表示”课堂提问指出图5 的不足，引出能展现真实探究过程的作品，并在图6 与图7 展评之间提问“如果用这种方法画0.05 你会吗”，根据实际学情决定纸上或脑中尝试画图；此外，很重要的一点是坚持“以评促学、以评促教”，对学生作品的分析和展评是为了促进学生的学习和改进教师的教学，比如设计中展评错例和完善作品的环节能够促使学生在比较和反思中提升理解水平，而教学实施过程可能出现的预设外生成将会作为教学反思的重点，为教师的教学改善提供资源。原本的设计并不是先展评图5，而是将其归入水平3 作品中，正是在试教课堂的展评中发现图5 的作者并不真正理解0.03 的意义，从而调整了教学。

这也提醒我们，“数学画”的直观性虽然比较容易让教师和同伴读懂学生个体的思维，但是这种“读图”还需要小作者“说图”和同伴“评图”的加持才能做到精准。以上所有均是核心素养导向下的“数学画”教学与课程体系的重要组成部分，一起服务于学生的数学学习。