寻根·归根·培根

栾功　张桂芳

［摘 要］文章以“寻根→归根→培根”这一主线设计教学，阐明如何在高中数学教学中发挥教师的主导作用，突显学生的主体地位，以促进高中数学教学质量的提升和落实学科育人目标。

［关键词］“根+空”理念；寻根；归根；培根；高中数学；有效教学

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）14-0020-04

一、问题的提出

2023年5月26日，教育部办公厅印发的《基础教育课程教学改革深化行动方案》（以下简称《方案》）中明确指出重点任务之一是课程方案转化落地规划行动，要求在课程实施过程中切实加强国家课程方案向地方、学校课程实施规划的转化工作。坚持因地制宜“一地一计”、因校制宜“一校一策”，把国家统一制定的育人“蓝图”细化为地方和学校的育人“施工图”，明确课程教学改革的具体路线、措施，提出困难问题破解之策。同时，《方案》还针对“教学方式变革行动”提出：“组织各级优课展示交流活动，开展教学说课评课，示范带动广大教师变革教与学方式，尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，注重启发式、互动式、探究式教学，克服单纯教师讲学生听、教知识学知识等现象，引导学生主动思考、积极提问、自主探究。”那么，在实际教学活动中如何因地制宜地将国家课程转化为学生课程？如何发挥教师的主导作用和学生的主体作用？如何实现更高效的课堂教学？这就成了全面深化课程改革的重点问题。

针对以上提及的课程改革重要任务和重点问题，笔者带领团队历经十年时间先后探索实践了“分层作业”“小组合作”“前置问题解单”等在高中数学教学中的应用，逐步提炼形成了“寻根置空”的高中数学“根+空”教学模式，为将国家课程转化为学生课程提供了参考，为深化高中数学课程改革提供了范式。

二、“根+空”理念及其内涵

“根”在现代汉语词典中有“事物的本源”的释义，引申为事物、事情的本质，体现在数学教学上就是知识的起点、核心概念、基本思想及基本经验。“空”在现代汉语词典中的释义为“无”，引申为“空白”“不包含什么”之意，体现在数学教学上主要为“置空”“留白”，具体操作中是通过“问题设置”实现“置空留白”，由“根”而置的“空”简单、根本、开放，为学生的自主学习“留”出时间，给学生创造了思维发展空间。这种不局限于时间、空间上的留白，目的在于让学生通过自主思考、讨论辨析等学习活动进行“补白”。

将“根+空”理念应用于教学有两重含义，一是落实“根”，即把握“根”、抓住“根”，教师在教学中从课程要求、概念理解的本质出发，以及从学生已有认知、思维出发点出发，紧紧把握住教学的核心内容；二是释放“空”，也就是“留白”，从时间、空间上的显性留白出发，进行思维、能力、文化价值等隐性留白。不难发现，没有“根”的课堂就如同脱了缰的野马，容易跑偏，而缺失“空”的课堂，则会似水一般枯燥，毫无涟漪。因此，“空”与“根”是相辅相成的，缺一不可，教师在教学中应以“根”铸“空”，以“空”养“根”［1］。

三、“根+空”理念下的高中數学有效教学策略

《中庸》里提到：“天命之谓性，率性之谓道，修道之谓教。”其释义是：人的自然禀赋叫作“性”，顺着本性行事叫作“道”，按照“道”的原则修养叫作“教”。“道”是不可以片刻离开的，如果可以离开，那就不是“道”了。“根+空”教学模式正是遵循了儿童的自然天性，为了让儿童“好”学而设计的教学模式。在“根+空”教学中具体体现为通过设计基础、根本、开放的“前置问题解决单”（也称前置研究），激发学生自主探究，鼓励学生带着课前自主探究的成果（发现和疑问）开展小组内、小组间的讨论辨析，然后分小组对讨论辨析的成果或疑问进行讲解展示，并由组内、组间同学对小组成员的展示及讲解进行补充、点评、总结，抑或是教师进行适时的点拨或引导。整个课堂教学围绕由“寻根”“归根”“培根”三个环节有序开展，充分尊重学生的主体地位，在引导学生把握数学本质的同时，注重激发学生自主思考、合作探究，使学生在提出问题和解决问题的过程中提升思维能力、发展核心素养。“根+空”理念下的课堂教学流程如图1所示。

下面以人教版高中数学必修第二册“余弦定理”为例进行说明。

（一）寻根——教学设计的起点

喻平教授认为教师的数学课堂教学设计需侧重数学知识本质的分析并将其转化为教育形态，具体包括强调知识整体分析、设置恰当情境凸显本质、设计合适的问题导出本质以及梳理知识的逻辑关系以强化本质。“根+空”教学中的“前置研究”的设计正是如此，其设计的关键是找准教学内容的源点，即寻找新授内容生长的“根”，这个过程也就是“寻根”。“寻根”的目的是置空，是为了设计更有利于学生“学”的前置问题以助推学生完成学习任务，“寻根”是“根+空”教学的第一步，也是第二步能否顺利开展的关键。只有“根”找准了，“前置研究”的设计才能真正做到“基础、根本、开放”，学生才能真正实现以问题为驱动的探究式、启发式学习。

“余弦定理”这节课的“根”是向量的运算，教学设计应紧紧围绕这个“根”展开。下面我们分析“前置问题解决单”中设计的问题。

设计意图：问题6通过置空留白的形式设置了余弦定理的应用，意在巩固余弦定理的基本概念。问题6的第（2）问以四边形为背景，进一步置空问题的呈现形式，意在进一步深化学生对余弦定理的内涵和外延的理解，同时培养学生分析问题和解决问题的能力。第（3）问以余弦定理为“根”，以命制一道解三角形题目为“空”，引导学生对所学知识进行深度思考与开放探索，进而培养学生的探索能力和应用能力，同时深化学生对余弦定理的本质的理解，进一步落实学科核心素养。

以上6个问题的设置以余弦定理的知识源点——数量积的运算为起点，逐层递进，在引导学生经历余弦定理的发生、发展过程的同时，通过置空逐步把教学内容的重点过渡到对余弦定理本质的探究。这样的教学设计充分发挥了教师的主导作用和学生的主体作用。

（二）归根——核心素养的形成

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的“基本理念”中指出：“把握数学本质，启发思考，改进教学。”［2］这对高中数学的教学提出了新的要求。高中数学教师要构建以发展学生数学素养为导向，能引导学生独立思考、把握数学本质的课堂。在“根+空”理念下，教师引导学生从问题入手，通过对问题的分解与分析，找到问题的本质，通过对问题指向的基本概念、基本思想的归根，找到解决问题的思路与方法。“根+空”理念下的高中数学教学主要体现在“自我探究”和“讨论辨析”两个步骤，即“归根补空”环节。下面我们通过对本课例前置研究中的问题的分析，说明是如何在高中数学课堂教学中引导学生归根补空的。

我们来看前置研究中的问题3。该问题的设置目的在于引导学生推理出余弦定理的一般形式，有了问题1和问题2的铺垫，学生很容易将问题3的本质归根到数量积的运算上。新知识的形成扎根于已学习的知识，符合思维最近发展区原则。这样基于知识基础的“归根”，非常有利于学生分析问题和提出问题能力的提升。

我们再看前置研究中问题6的第（1）问。该问题选自教材例题，题设条件给出了两边及其夹角的正弦值，要求求解三角形中其他三个元素。对于边[c]的求解，学生容易归根到余弦定理；通过前面计算出[c]的值，便知道了△[ABC]中三边的长度。接下来，[cosA]的求解自然归根到余弦定理的推论，而[cosB]的求解，既可以归根到余弦定理的推论，也可以归根到三角形内角和定理。

我们接着看前置研究中问题6的第（2）问。此问题的解答对学生的能力要求更高，大部分学生不能自主解答。通过前面问题的解答，学生具有了一定的知识基础和基本经验，此时展开小组合作学习，进行讨论辨析正是时候。在讨论辨析过程中，学生通过对四边形中给出的基本元素的分析，发现两个相关的三角形，问题的本质回归到三角形中三边与其中一个角之间的关系，即余弦定理，从而问题迎刃而解。在学生的讨论过程中有了如下两种解法。

“根+空”理念下的高中数学课堂教学的“自我探究”和“讨论辨析”两个步骤，既是概念形成和概念深化的关键步骤，也是引导学生把握数学本质，使学生学会分析问题和解决问题的重要环节。在“归根补空”的过程中，学生夯实了“四基”，发展了“四能”，培育了核心素养。

（三）培根——素养的沉淀

唐代诗人柳宗元在《种树郭橐驼传》中描写了长安城内一位职业种树人郭橐驼，有人问他种的树为什么长势这么好，他对曰：“橐驼非能使木寿且孳也，能顺木之天，以致其性焉尔。凡植木之性，其本欲舒，其培欲平，其土欲故，其筑欲密。”育人和种树是一样的道理，“顺木之天，以致其性”，“根+空”理念下的高中数学教学中的“讲解展示”和“评价总结”两个步骤更为注重培根。新授课的“评价总结”环节和习题课的“归纳整理”环节对于学生能力的提升尤为重要，正如“其土欲故”，此时正需“其筑欲密”。“培根”这个环节抓好了，教学效果将事半功倍。下面我们分析“余弦定理”这一课的培根过程。

我们看问题4的设置“请你用自己的语言叙述余弦定理，作出示意三角形，并用数学符号写出你叙述的内容”。用自己的语言表达，辅以图形表示，并用规范的数学符号语言表示，设置这样的学习活动意在引导学生体会、感悟余弦定理的本质，在核心概念处培根，助力学生核心素养的形成。

再看问题6的设置，第（1）问和第（2）问在归根的过程中已悄然培根，归根和培根是相辅相成的，培根是为了在解决更加复杂的问题时能准确归根，找到解决问题的关键所在，归根的过程又在潜移默化地培根。而问题6中第（3）问要求命制一道用余弦定理求解的解三角形题目，培根和归根这两环节更是浑然一体，促进了学生理性思维的发展和核心素养的沉淀，悄无声息地培育了学生的科学精神。

这节课的核心概念是余弦定理，整节课的教学紧紧围绕余弦定理概念的形成、深化和应用展开，在此过程中时时培根、处处培根，目的在于引导学生掌握余弦定理的本质，使学生能够在更加复杂的综合问题中应用自如。例如：

［例1］（2022年全国高中数学联合竞赛A2卷一试第9题）已知[△ABC]及其边[BC]上的一点[D]满足：[AB=2BD]，[AC=3CD]，且以[A]、[D]为焦点可以作一个椭圆[Γ]同时经过[B]、[C]两点，求[Γ]的离心率。

［例2］（2023年高考全国甲卷第11题）在四棱锥[P-ABCD]中，底面[ABCD]是正方形，[AB=4]，[PC=PD=3]，[∠PCA=45°]，则△[PBC]的面积为（）。

A. [2√2]B. [3√2]C. [4√2]D. [5√2]

例1是一道综合考查椭圆的定义、离心率和解三角形的题目，题目以椭圆的定义为背景考查三角形中三边和一角的關系，题目的本质是对余弦定理的考查。例2以四棱锥和两个等腰三角形为背景，设置了在立体几何中求解四棱锥一个侧面[PBC]的面积的问题，其本质是在△[PCA]和△[PBC]中三边及其一角的关系，即余弦定理。这两道题虽有一定难度，但若善于归根，把握问题本质，解答便自然水到渠成。

“根+空”理念下的高中数学教学围绕暗线“寻根—归根—培根”进行设计，围绕明线“前置研究—自我探究—讨论辨析—分享展示—评价总结”有序展开，通过问题设置和多元化的学习方式，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，实现以学定教、以教启学，全面落实立德树人的根本任务。

四、“根+空”理念下高中数学教学的反思

“根+空”理念下的高中数学教学有效促进了学生的学，打破了长期以来传统高中数学教学中学生的“空”无法施展的困境，激发了学生学习数学的热情。但还存在一些需要继续完善的地方，如“根+空”理念下的高中数学教学模式如何推广到各个不同层次的学校，在小学中如何开展“根+空”的数学教学，中小学其他科目如何开展“根+空”的课堂教学，如何实施各教学段有效衔接的“根+空”课堂教学。这对我们继续实践、完善“根+空”理念下的高中数学教学模式提出了新任务、新要求。

［   参   考   文   献   ］

［1］  栾功，肖宝莹，强基计划背景下“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式研究［J］.中学教学参考，2023（2）：36-39.

［2］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（责任编辑 黄桂坚）

［基金项目］广西教育科学“十四五”规划课题“强基计划背景下‘双向—五维—交互的中学数学拔尖创新人才培养路径的构建与实践”（2023C464）。