依托几何直观 助力数学理解

安蕾

［摘 要］对一道需结合图形解析计算原理的题的答题情况进行调查后发现，学生不能合理结合图形解释错误的原因。对此，文章从算理的深度建构、策略的深度理解、概念的深度表征三个方面来谈如何借助几何直观促进学生对数学知识的理解，使学生知其然更知其所以然。

［关键词］几何直观；数学图形；数学理解

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）17-0064-03

在一次毕业考试中有这样一道题：

小明学习了乘法分配律之后，这样来计算“25.2×4.5”：

25.2×4.5

=2.5×4+0.2×0.5

=100+0.1

=100.1

后来他用竖式验算，发现这样计算的结果是错的。你能结合下图（如图1）来说明为什么这样计算“25.2×4.5”是错的吗？

笔者抽取了本校参加毕业考试的学号末位是3和5的学生的答题情况，发现得分率是57.6%，学生的错误主要有三种情况：（1）完全不懂如何结合图形来解释，也不知道错在哪里；（2）会用乘法分配律解答，但不懂如何用图形来解释；（3）能结合图形来解释长方形的面积，但是不能用数形结合的方式解读算理和算法。

心理学研究表明，小学生以直观形象思维为主，面对抽象的数学知识，需要借助直观的感性材料，让数学问题由抽象转化为形象，让数学道理从感性走向理性。结合教学实践，笔者从以下三个方面来谈谈自己的所思与所得。

一、依托几何直观，理解算理分析

数学算式是数学问题的高度概括，是抽象化、符号化的语言，而算理指的是计算过程中的道理。简而言之，就是让学生明白“为什么这样算，运算的意义和逻辑是什么”。几何直观是利用图形描述和分析数学问题，让學生在直观图形的基础上理解运算的可行性和逻辑性。教学过程中，教师可引导学生依托直观的“图”去思考抽象的“理”，通过自主探索、发现和再创造，经历体验和感受数学发现的过程，使学生最终实现对算理的深层建构。

【案例】苏教版教材三年级上册“两、三位数除以一位数”的例题1是首位能整除的两、三位数除以一位数，学生解题时往往不明白建构“两层楼”的必要性，只是按照教师的要求依葫芦画瓢。笔者在教学时将教材中的例2前置，带领学生经历“16除以2”“46除以2”“56除以2”三个阶段，引导学生细细品味三个“除以2”的不同，从而明白“计算过程需要分两步，竖式计算分两层更加清晰”。

出示题目（如图2）：将16个羽毛球平均分给两个班，每班分得多少个？

师：为什么要将一捆拆开？

师：16÷2竖式怎么写？（出示图3）商“8”表示什么？二八十六，一共分掉了几个？

师：一般先想想商几，再乘一乘，看看分掉了多少，最后减一减，看看有没有分完。

出示题目：将46个羽毛球平均分给两个班，每班分得多少个？

师：46÷2等于多少？同桌合作，用小棒摆一摆，说一说是怎么算的。

师：有位同学写的是“40÷2=20，6÷2=3，20+3=23”。从算式中可以看出他分了几次？

师：不管是用小棒分，还是用算式算，我们都是先分4个十，再分6个一。像这样分的过程可以用竖式来表示，46÷2先算十位，4÷2=2，2写在十位上；再算个位6÷2=3，3写在个位上，等于23。

出示题目：将56个羽毛球平均分给两个班，每班分得多少个？

师：尝试用竖式计算，有困难的同学可以借助分一分小棒理解。

师（出示图4）：理一理分的过程和每一步的含义。

师：不知不觉间，我们像造楼房一样，把竖式写成了2层。为什么要创造2层的竖式呢？显然，第一层解决分十位的5个十时，还剩1个十；第二层，把十位余下的1个十和6个一合起来再分，很清楚地表示分了两次。

师：现在回过来想想，46除以2，平均分了两次，用“一层楼”很快就算出了答案。那么，怎样能一眼看出分了两次呢？

……

通过几何直观引导学生以图解数、以图思数，把算式变成图形，用图形来解释算理，化抽象为形象。对于“笔算两三位数除以一位数竖式为什么这样写？”，学生在由数到图，又由图回到数的过程中找到了答案。这样的表征使学生对竖式的每一步算理都了然于心，对竖式的每一步算法都明明白白。

二、依托几何直观，理解问题表征

从数学知识的角度来看，几何直观是借助直观的图形将已知信息进行分析，并且找到数学要素之间的关联性，深化对数学问题的理解，把复杂的数学问题变得简明、形象，真正把握问题的实质。

【案例】苏教版教材五年级下册“解决问题的策略（转化）”

对于经典题“计算[12+14+18+116]”，计算能力较强的学生用口算就能算出结果。因此，哪怕是再添了两个加数，变成“计算[12+14+18+116+132+164]”，还是有部分学生能用通分的方法计算出结果。于是，笔者在教学“计算[12+14+18+116]”时设置了比赛情境。

师：比一比，看谁算得又对又简单。能不能用转化成图形的方法说明道理？（学生给出了画圆形图、线段图、正方形图等方法）

师：还记得我们学习分数和小数时，借助哪个图形最能化繁为简，润数于形？（学生纷纷想到了正方形）

师：计算[12+14+18+116]时，可以画出一个示意图（如图5），因此[12+14+18+116=1-116=1516]。计算[12+14+18+116+132+164]时，可以画出一个示意图（如图6），因此[12+14+18+116+132+164=1-164=6364]。你还能想到哪些题的计算结果呢？

师：192+96+48+24+12，你会算吗？请画图说明。

学生作品（如图7-1、7-2、7-3）：

师：结合例题，想想我们画的这些图，你有什么想说的？

……

借助几何直观将数学问题形象化，将数和形巧妙结合起来，化隐为显，使学生亲历转化的过程，在对图形理解中完成自我知识框架的重建。看似与图形没有任何关系的数学问题，转化成图形后不仅避开了复杂的运算，还提升了学生思维的深度。有了这样的体验，学生再遇到类似的题目，就能通过图形理解计算原理。

三、依托几何直观，理解概念本质

概念教学是数学教学的难点，因为小学生以形象思维为主，所以理解抽象的概念有很大的难度。借助直观图形能把抽象的概念形象化，帮助学生在直观中理解抽象的数学知识。

【案例】苏教版教材六年级下册“认识正比例”在例题中呈现的是静态的关于时间和路程的表格（如图8）：

这是以静态的表格方式，从数据分析的角度来揭示正比的概念。然而，任何概念的获得都需要经历充分的感知过程，感知越充分，概念的本质越清晰，理解越深刻。

师（出示直观的注水动态情境，如图9所示）：你看到了哪些量？什么变了？什么没变？

师：时间在变，注水量也在变，但是注水速度不变，都是每秒30毫升。照这样计算，6秒呢？7秒呢？……100秒呢？（利用圖形表征变量，展现两个量之间的相互依存关系，正比例的意义不再局限于“数”式的计算，更从“形”意上得到了诠释）

师（出示图10）：总价和数量是两种相关联的量，随着数量的增长（减少），总价也在增长（减少），即它们是同增同减的。

师：照这样计算，如果购买的是0.7千克，对应的总价是多少？购买5.5千克，对应的总价是多少？……

（当图10中的数量取值越变越多，总价所对应的柱形像小树林一样有序生长，越来越密集，学生从直观图中感悟到“正比例的特征除了对应性还存在连续性”）

师（出示图11）：随着时间、路程对应的变化，表示速度的点（条状的上端点）越来越密集，直到最后变成一条直线……

在图形展示的环节中，通过形象的“图说”到抽象的正比例概念的深度表征，几何直观让无形的概念本质显形，既加深了学生对正比例概念的理解，又回归到知识发生的源头，沟通了知识元素之间的联系。

曹培英在 《跨越断层走出误区——“数学课程标准”核心词的解读与实践研究》一书中提到：“一方面，直观是数学抽象的基础与数学认知的有力支撑；另一方面，直观又是数学理解，乃至数学抽象的重要内涵与数学本质认识的深化。 ”在教学中，教师要善于结合教材资源，基于学生的认知水平，帮助学生自觉运用几何直观探究数学问题，将抽象的数学知识转化为图形、符号，化抽象为具象，从无形到有形，提高学生对数学知识、逻辑的理解能力，提升学生的数学素养。

（责编 金 铃）