基于范希尔理论的“抛物线及其标准方程”教学探索

陆娅君　冉胜利　王睿

“抛物线及其标准方程”是高中阶段学习的难点，通常被安排在“圆锥曲线的方程”内容的最后一节，其内容是对初中二次函数内容的深化，其形式是这一章中变化最多的也是最为抽象．因此，该教学在厘清概念的基础上，要紧紧地契合学生的几何思维现状，帮助学生发展其几何思维水平．范希尔理论能衡量学生的几何思维水平，对于几何教学具有一定的指导意义，还能促进学生几何思维水平的提升[1]．范希尔理论的核心内容有两个：一是几何思维的五个水平（视觉、分析、非形式化的演绎、形式的演绎、严密性），用以诊断学生的几何思维水平；二是与之对应的五个教学阶段（学前咨询、引导定向、阐明、自由定向、整合），提出了一种几何教学的模式[2]．本文基于范希尔理论对抛物线及其标准方程的教学进行分析，以期能更好地进行几何教学．

1 学前咨询阶段——创设情境，感知抛物线

学前咨询阶段是指以本节课的知识为对象，教师根据学生的现有知识和经验设置问题，然后师生之间以对话的形式进行交流，旨在更好地设计课堂教学．学生在初中阶段已经学习了二次函数，能够确认抛物线的图象，但不能准确把握抛物线的具体特征和性质．此外，学生在初中物理中已经学习了如光的反射以及成像原理等知识．所以，教师选取手电筒发光作为抛物线的实物模型创设情境，既贴合学生生活实际，也符合学生已有的知识基础，让学生更好地投入课堂学习．

情境中教师用两只手电筒正对着黑板，其中一只手电筒发出一束平行光线，而另一只手电筒发出了微弱的光线，帮助学生从现实中抽象出抛物线．

师：这是为什么呢？

生：观察两只手电筒可以发现，其中一只手电筒有灯罩，有灯罩的手电筒发出一束平行光．

师：有灯罩的这只手电筒之所以能发出平行光，是由怎样的几何结构决定的？

解释：如图1所示，根据手电筒的灯罩结构可知：这是一个旋转曲面，是由过灯泡所在位置的纵截面与曲面的交线旋转而成．

师：那么交线会是怎样的曲线？如图2所示．

生：抛物线．

师：它是怎样形成的？又该如何定义抛物线？

设计意图 通过将抛物线运用于手电筒的实例，并以师生对话的形式引导学生直观感知生活中的抛物线，从而形成感性认识，帮助学生积累空间观念的经验，为下一阶段的学习做好认知准备．

2 引导定向阶段——问题启发，探索几何性质

引导定向阶段是指在教师有目的的引导下，学生能感知教学活动进行的方向，逐渐走向领悟抛物线的几何性质．学生在上一阶段通过对实物进行抽象，得出了抛物线图形，但是仍需进一步从数学角度分析手电筒的发光结构特征．此阶段重点在于教师引导学生观察光的反射轨迹，通过反射原理和对称性找出虚光源的位置，再通过动态分析得出定点与定直线并认识抛物线的几何特征，学生能够达到“分析”的层次．

问题1 抛物线的形成与哪些因素有关？

在上一阶段中，学生便知道抛物线的形成与灯泡所在点的位置有关．开启电源时，手电筒发出了一束平行光线，实际上是由光源发出的．但从视觉效果上看，每一条平行光线就好像是从灯罩后面某个确定的虚拟位置（即虚光源处）直线发出的．不难得出，抛物线的形成与虚光源的位置有关．

问题2 虚光源所处的位置应该如何来确定？

在抛物线上任取点P，设从P点反射出去的光线为PT，根据视觉效果可以初步判断虚光源一定位于光线PT的反向延长线上．根据光的反射定律，实光源和虚光源是关于反射镜面对称的，因此做出点P所在的反射镜面，如图3所示．

问题3 如何找到实光源F关于反射镜面的对称点？

过实光源F做镜面的垂线，垂线FF′与PT的反向延长线相交于点F′，由此便找到了一个虚光源F′的位置，如图4所示．

问题4 虚光源的分布存在怎样的规律？

再做出三条平行光线的虚光源，并抹去作图痕迹，如图5所示．

问题5 这四个虚光源F′A，B，C的分布存在怎样的规律？

学生不难得出，这4点是共线的．

问题6 如果反射点P取遍整条抛物线，虚光源会形成怎样的图形？

利用几何画板直观验证，发现无数的虚光源点形成了一条直线，如图6所示．根据以上的探究得到：抛物线的形成与一个定点和一条定直线有关．

问题7 抛物线上的点与定点和定直线存在着怎样的数量关系？

因為实光源F和虚光源F′是关于镜面对称的，由刚才的作图便得到：抛物线上的点P与定点F′和定直线l的距离相等，由此便得到了抛物线的几何特征．

设计意图 教师为学生仔细安排教学活动的顺序，帮助学生明确教学活动的探究方向，亲身体验知识的生成过程．几何画板动态地展示了“点P取遍抛物线上所有的点时，虚光源形成一条直线”的现象，揭示了抛物线形成因素的内在联系；把“手电筒的灯罩原理”直观呈现出来，培养学生直观想象的核心素养．

3 阐明阶段——抽象概括，形成概念

阐明阶段是指基于之前的学习经验和教师的引导，学生理解特定的数学语言，逐步感知概念的含义并能表达出几何性质之间的联系．学生在上一阶段已经将抛物线的几何特征分析完成，需要进一步将其抽象概括，形成概念．在教师的提示下，学生类比椭圆与双曲线的概念得到抛物线的定义．在此过程中，教师需要对数学语言的使用进行规范，帮助学生形成严谨的逻辑表达．该阶段学生处于“非形式化的演绎”水平，需要结合具体图象对概念进行理解．

师：如何根据抛物线的几何特征得到抛物线的定义？

在教师引导下，学生利用类比的方式得到抛物线定义：在平面内，与一个定点F和一条定直线l（l不经过F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

师：如果直线l经过定点F，那么到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹又是什么？

师：如何根据抛物线的几何特征画抛物线？

分析：回顾剖析抛物线几何特征的过程．如图6所示，实光源F和虚光源F′关于反射镜面对称，因此反射点P（即抛物线上的一点）就位于线段FF′的垂直平分线上．因此，抛物线可以这样来做：在平面内取定一个定点F和一条定直线l，在直线l上任取点F′，做出线段FF′的垂直平分线，抛物线上的点就在这条垂直平分线上．

师：如何确定抛物线上的点在垂直平分线上的具体位置？

分析：过F′做直线l的垂线，与FF′的垂直平分线相交于点P，连接PF，此时可以发现点P到定点F和定直线l的距离相等，因此点P是抛物线上的一点．点P的运动轨迹就是抛物线，并用几何画板展示抛物线的形成过程，如图7所示．

活动：给定一个定点F和一条定直线l，大家自己动手画出一条抛物线．（工具：拉链、直角三角板、图钉、画笔）

设计意图 经历利用定义画抛物线的过程，让学生感受到数学的严谨性，发展学生数学抽象的核心素养．通过几何画板把抽象的问题直观化，使得学生更深入地理解抛物线的定义以及作图方式．

4 自由定向阶段——内化概念，全面理解

自由定向阶段是指学生在多步作业或以不同方式完成作业的过程中，获得知识经验，逐步深化对概念的理解并能够完善相应的知识结构．学生能够将相应的文字表达与图象相对应，尚没有达到“形式演绎”水平．因此，教师需要引导学生在坐标系中分析抛物线的几何性质，进一步确定抛物线的方程．通过此阶段的学习，学生可以了解到利用坐标法研究几何问题的重要性和了解抛物线几何性质的意义．

师：我们已经用文字语言描述了抛物线的定义，那么用符号语言又该如何来描述？

问题 假设（）Mxy，，求平面内到定点F（p/2，0）（p>0）与到定直线：l：x=－p/2距离相等的动点M的轨迹方程．

生：y2=2px（p>0）.

此时，教师再改变定点和定直线的位置，便得到抛物线的另外三个标准方程．

分析：抛物线有四种标准方程，每一种标准方程刻画着不同的函数图象，如何画出相应函数的图象？（运用几何画板展示抛物线的解析式与图象变换的动态过程，并帮助学生理解标准方程所对应的函数图象）．

设计意图 学生自主学习，主动参与到知识的形成过程中，感受数形结合的数学思想方法．通过推导抛物线的标准方程，使学生进一步体会“定点”与“定直线”是抛物线定义的两个关键要素，体会用代数运算研究抛物线几何性质的过程．

5 整合阶段——总结升华，掌握方法

整合阶段是指学生通过回顾、反思自己所用的方法并形成一种观点，使得知识对象和关系被整合统一并内化进一个新的思维领域．“严密性”层次不是简单的几节课就能形成发展的，需要学生在学习的过程中不断比较、提炼、总结，才能在大脑中形成结构严密、完整的知识体系．

师：通过本节课的学习，你收获了什么？

总结知识的生成过程，理解抛物线相关知识之间的联系，如表1．

（1）本節课是如何剖析抛物线的几何特征？

（2）是利用什么方法将抛物线的文字语言转化为了符号语言？

设计意图 回顾本节课所学知识及所用方法，体会数形结合的思想、坐标法在几何中的运用．将新学习的知识纳入原有的认知结构中，形成知识的综合图式，潜移默化地培养学生的数学素养．

范希尔理论是对学生思维水平的刻画，教师在实际的几何课堂教学中不能简单的基于学情进行教学，而是要关注学生的思维发展过程，关注到几何思维水平之间的障碍．所以，基于范希尔理论进行教学设计是立足于学生主体性、关注学生过程性发展的教学，有助于学生在学习中提升思维品质、发展核心素养．本教学设计依托“阅读材料”栏目内容，以抛物线的光学性质为情境，根据学生的思维水平进行提问，以问题驱动教学，借助几何画板直观地展示了抛物线形成轨迹的过程，使学生逐步抽象并真正地理解抛物线的几何性质，将数学抽象和直观想象等核心素养的发展贯穿在教学过程中．