底辊轻量化实用设计中减重孔临界开孔率的研究及其应用

毛思诺　林松　江竞宇　房殿君

摘要：根据辊切设备的运动特性，提取了底辊的轴向转动惯量和转子质量作为轻量化评价指标。针对拓扑优化结构的不可加工问题，使用B样条曲线和多段弧线依次对原拓扑结构进行结构圆整处理，降低原轻量化结构的加工难度。针对需要深孔加工的棒状、柱状零件提出转子类结构的开孔率表征参数。通过对不同孔数、孔径、孔位置的转子开孔与其应力分布关系的研究，给出惯性载荷下转子开孔率与应力集中系数的关系式。通过粒子群优化算法对基于单级减重孔的轻量化方案进行迭代优化。结果表明：样条拟合方案减重率34.68%，性能提升率19.85%；分段曲线拟合方案减重率34.18%，性能提升率19.27%；组合孔方案减重率28.21%，性能提升率15.45%；基于目标优化的单级孔方案减重率29.28%，性能提升率16.02%。

关键词：轻量化结构；拓扑结构设计；模型后处理；应力集中

中图分类号：TH114 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.05.001

文章编号：1006-0316 （2023） 05-0001-08

Research and Application on Critical Opening Rate of Weight Reduction Holes in the Lightweight and Practical Design of Bottom Roll

MAO Sinuo1，LIN Song1，JIANG Jingyu1，FANG Dianjun1，2

（ 1.School of Mechanical Engineering， Tongji University， Shanghai 201804， China;

2.Qingdao Sino-German Institute of Intelligent Technologies， Qingdao， 266000， China ）

Abstract：Based on the motion characteristics of the roll cutting equipment， the rotational inertia and mass of the bottom roll are extracted as the lightweight evaluation indicators. For the non-machinability  problem of the topology-optimized structure， structural rounding is performed on the original topology structure using B-sample curves and multi-segment arcs sequentially to reduce the machining difficulty of the original lightweight structure. The characterization parameters of the opening rate of the rotor-like structure are proposed for the bar and column parts that require deep hole processing. By studying the relationship between rotor opening and its stress distribution for different number of holes， hole diameters and hole locations， the relationship between rotor opening rate and stress concentration coefficient under inertial load is developed. The iterative optimization of the lightweight scheme based on single-stage weight-reducing holes is carried out by particle swarm optimization algorithm. The results show that the weight reduction rate of the spline fitting scheme is 34.68% with 19.85% performance improvement; the weight reduction rate of the segmented curve fitting scheme is 34.18% with 19.27% performance improvement; the weight reduction rate of the combined bore scheme is 28.21% with 15.45% performance improvement; the weight reduction rate of the single-stage bore scheme based on objective optimization is 29.28% with 16.02% performance improvement.

Key words：lightweight structure；topology design；model post-processing；stress concentration

輥切作为一种简单可靠的成型工艺，在纺织领域被广泛使用。在成型设备中，底辊的质量随其直径的增长急剧增大，生产线往往需要使用大功率电机才能正常运转。过大的底辊质量还会严重影响设备的启动和急停等过程的关键动力学性能，因此底辊的轻量化及其设计方法在工业界有着广泛的需求。本文从轻量化结构设计的角度出发，实现底辊的轻量化。

轻量化结构设计一般有拓扑优化法、多目标优化法、参数优化设计法、经验法等，其中拓扑优化法和经验法最为常用[1]。

工业界已经尝试将拓扑优化实际应用在工业产品的设计和制造流程中[2]，但是拓扑优化的原始结构往往包含许多尖锐、破碎且不连续的表面，难以应用于实际加工生产中，因此实际工程中结构轻量化多采用减重孔方案。

减重孔的数量、位置以及孔径对轻量化效果和结构强度都有一定影响。目前没有一个统一的参数能够量化大尺度开孔对转子结构强度的影响，因此工业界的轻量化设计往往只能依赖于技术人员的经验。在实际轻量化过程中，工业界急需易于加工的、便于强度校验且轻量化效果明显的大尺度开孔轻量化方案。

针对以上问题，本文提出用于描述转子类结构开孔率的表征参数，并给出惯性载荷下转子开孔率与应力集中系数的关系，使得设计者在设计之初就能评估所开的减重孔对结构轻量化和强度的影响。此外，本文基于设计实例比较了各种轻量化方案的性能和轻量化效果。

1 基于结构拓扑优化的轻量化方案性能分析

1.1 优化目标分析

辊刀系统由切刀刀辊、刀辊轴、底辊、底辊轴和机架构成。以日本瑞光株式会社的某纺织品切割生产线为例，其驱动如图1所示。

该系统由电机带动，经过减速器将扭矩传递给旋转件，其等效转动惯量为：

式中：J为系统等效转动惯量； 为底辊与电机间的减速比； 为刀辊与电机间的减速比。 、 分别为刀辊和底辊折算至电机轴处的转动惯量。

由式（1）可知，等效转动惯量最小时，辊刀系统具有最大转动加速度及最短启动时间，此时辊刀系统拥有最优的运动学和动力学性能。综上所述，本文将转子转动惯量Iz作为动力学性能的评价指标，将转子质量m作为轻量化效果的评价指标。

1.2 拓扑优化原理和流程

拓扑优化是实现结构最优设计的重要手段，目前学术界已形成多种结构拓扑优化方法[3]。如基于材料分布状态的拓扑优化法，其起源于Bends?e M P等[4]提出的均匀化理论。变密度法以單元相对密度值作为设计变量，使用均匀化方法计算出每个单元中间密度值对应的有效材料参数，并通过重复迭代来获得结构设计域的最优材料分布形式。但是由于其设计变量是以连续的函数描述，因此会导致灰度单元的存在而无法获得清晰的拓扑结构。Rozvany G等[5]提出引入惩罚函数来抑制灰度单元的方法，形成了目前变密度法的求解框架。虽然陆续有很多学者提出过诸如边界描述的拓扑优算法[6-7]，但主流依旧使用SIMP（Solid Isotropic Material With Penalization，基于固体各向同性材料惩罚模型）方法，该方法也被广泛集成于当今流行的几大有限元商业软件中。

1.3 拓扑优化及衍生方案性能分析

SIMP法的最终拓扑形状与惩罚系数直接相关。以本课题为例，惩罚系数取值在5.5～6.5之间能获得如图2（b）所示的平滑的局部结构。

局部平滑结构从宏观上来看往往也是尖锐甚至不连续的，因此一般需要对模型进行后期圆整处理。本文以底辊为研究对象，在结构拓扑的基础上进行圆整和二次重构，从而提高结构合理性与光整度，达到降低加工难度的目的。

B样条曲线被广泛用于计算机图形学领域，可以通过一系列中间控制点拟合出一条光滑且连续的曲线，其基函数是一个k阶（k－1）次分段多项式，其递推定义为：

式中：t为一组被称为节点矢量的非递减序列；i为节点的序号； 为节点i与节点i＋1之间的样条曲线表达式。

本文基于B样条曲线对原始拓扑结构拟合的结果如图3（a）所示。B样条定义式的基函数本质是一个递推式，而实际制造过程中复杂曲线的加工会极大提高加工难度和加工成本，因此可以使用多段弧线在B样条的基础上进行如图3（b）所示的形状拟合。

上述后处理方法可以提高拓扑优化结构的可用性，得到平滑的轻量化结构，也有利于进一步的参数优化和加工。

实际生产过程中，薄型零件往往采用冲孔和铣削等方式进行加工，而棒状、柱状零件往往只能采用镗孔钻孔等加工方式，因此，基于拓扑优化的结果，利用多级圆孔组合的方式对轻量化结果进行近似，对柱状零件的加工具有一定的实际意义。拓扑优化流程及衍生方案模型如图4所示。

本文定义性能提升率为相较于原结构，转子转动惯量的减小比例；定义减重率为相较于原结构，转子质量的减小比例。

结构拓扑优化方案及其衍生方案的性能对比如表1所示，该数据表明，基于样条曲线拟合和分段弧线拟合方案的轻量化效果和动力学性能与原拓扑结构十分接近，基于组合孔近似方案的轻量化效果和性能则与原拓扑结构差距较大，但是此方案只需常规加工机床（镗孔、钻孔设备）即可完成零件加工，适用于需深孔加工的柱状零件。

2 基于单级孔减重优化方法的性能分析

基于组合孔的轻量化方案虽然极大降低了加工难度，但是依然需要数次换刀才能完成零件加工，因此单级孔的轻量化方案的研究具有十分重要的现实意义。

实际生产过程中，开孔的数量、位置及大小等关键参数往往是由工人或设计人员凭经验给出，导致后期的零件性能验证和校核需要花费大量的经济和时间成本，因此，转子的应力状态和应力值在设计阶段就应该被充分考虑。

2.1 无开孔应力分析

底辊类转子在轴向上不受外载荷，所以可将其视为一个平面应力问题。

为了定量分析转子的应力状态，本文对惯性力下基盘的极值切应力公式进行推导。惯性载荷下转子载荷与角加速度满足：

式中：M为转子载荷； 为转子角加速度； 为转子内径； 为转子外径；r为采样点到旋转中心的距离；b为转子厚度； 为材料密度。

惯性载荷下的转子在周向上只受到切应力作用，并且转子在轴向上没有外载荷。如图5所示，切应力在转子厚度方向上是均匀分布且方向一致的。

τ为切应力。

为验证式（7）的准确性，取材料为结构钢， ＝7.89×10-3 g/mm3，在 ＝100 rad/s2的基盘转子的有限元模型上随机采样100个采样点，记录其到旋转中心的距离r，以及所在位置的极值切应力 。

采样点数值与表达式的拟合程度如图6所示，其拟合曲线的R方值为0.99998，均方根误差为0.000263，所以此切应力表达式是十分准确的。

2.2 小开孔应力分析

小孔应力集中问题可以利用圣维南原理（Saint Venants Principle）进行分析[8]。以小孔圆心为原点，以长度R2为半径做大圆，如图7所示。根据圣维南原理可知，大圆周应力分布与无孔时相同，该结构在极坐标系下的边界条件为：

式中： 为极角； 为极径； 为 的径向正应力； 为所受外载荷； 为 处的环向切应力。

σθ为极角为 时的环向正应力；σR为极径为R时的径向正应力。

平面小孔问题等价于内边界是自由面、外边界受均匀载荷的圆环应力问题，假设极坐标系下平面应力函数为：

当 取最小值r时，孔边应力取得最大值 。综上所述，圆形小开孔问题的孔边最大应力集中系数为3。由于仅当开孔的孔边界距离结构的自由边界大于1.5倍圆孔直径时，开孔问题才能被归类为小开孔问题，因此可以计算出在小开孔范畴内，最大减重孔直径为55.5 mm，开孔位置位于距离圆心110 mm处的圆周上，开孔数量为5个，此时减重率仅0.74%，显然对于以轻量化为目的的设计来说，小开孔方案远达不到轻量化性能需求。

2.3 大开孔应力分析

当基盘上的减重孔较大或者减重孔边界离连轴孔距离过近时，结构的应力分布将不符合圣维南原理假设，因此大开孔问题需要单独校验孔边应力状态。大尺度开孔类问题已不再属于弹性力学中小孔问题的范畴，开孔的孔效应与自由面的边界效应交织影响，因此很难给出应力计算的具体解析式。

相关研究者在土木建筑[9]以及船舶结构[10]领域对大尺度开孔腹板或蜂窝梁常使用开孔的孔径D与梁高H的比值表征开孔大小，并基于此参数研究开孔尺度对梁承载能力的影响。本文在参考蜂窝梁研究方法的基础上，提出用于表征纯惯性载荷下的转子开孔类问题的开孔率表征参数为：

式中：L为开孔所在圆周半径；n为圆周上均匀开孔的数量； 为开孔的孔半径，如图8所示。

实际上开孔率表征参数并不能完全准确反应开孔问题的应力集中位置或者结构薄弱点，但由于减重孔所在位置圆周的曲率要远远小于减重孔本身孔径的曲率，所以两者本身数值差距微小，因此把式（16）作为开孔率表征参数是合理的，且易于工程实际应用。

为了表征孔的应力集中效应，定义应力集中系数K用于表征应力集中程度：

式中： 为孔边的最大冯米塞斯（von Mises）应力； 为未开孔基盘上同一位置的von Mises应力，可以通过式（18）计算其数值。

根据徐秉汉等[11]的研究，单位剪切载荷产生的孔边切向正应力要远远大于其他载荷产生的孔边切向正应力，因此对于打孔的转子来说，孔应力集中的极值往往出现在靠近旋转中心一侧，根据蒋赟[12]对腹板大尺寸圆形开孔梁的受力研究，受剪力作用的腹板孔边正应力在与腹板中心线成约35°附近达到最大值。本文研究发现转子类问题也符合此规律，其名义von Mises应力为：

将六开孔和八开孔的方案做为实验组，在控制D/H＝0.35～0.95的前提下，每种方案各设置200个样本进行校验。原始数据与表达式的拟合程度如图9所示，其R方值均大于0.98。上述结论表明，在不同开孔数、不同开孔率表征参数的情况下，该式依然有较好的拟合度，能够准确反映受惯性载荷的减重孔采用不同开孔率表征参数时的孔边应力集中系数。

由图9可以看出，K随D/H的提高而呈指数级上升。在D/H＞0.87时，K甚至将超过10，此时继续提高D/H将会严重影响结构强度且轻量化效果提升十分有限。因此对于转子类结构，减重开孔建议其D/H≤0.87。

2.4 单级孔方案性能分析

若一个厚度b、材料密度 、外徑 、内径 的转子平面上有N组减重孔，且各组减重孔半径为 ，减重孔所在圆周半径为 ，根据平行移轴定理可得出：

由式（20）可知，底辊的转动惯量最小化问题本质上是一个带约束的最优化问题，其具体表达形式为：

本节以日本瑞光株式会社的某套辊刀系统中的底辊为算例，使用粒子群优化算法寻求单级孔方案的最优解，最终得到，当减重孔半径为67 mm、孔位置圆半径为143 mm时，转子具有最好的动力学性能，其具体迭代过程如图10所示。可以看出，该算法在迭代次数超过100时目标值趋于稳定。

基于目标优化算法的单级孔轻量化方案的减重率为29.28%，性能提升16.02%。对比表1可以看出，虽然单级孔方案的动力学性能和轻量化效果稍弱于拓扑优化及其衍生方案，但是优于基于组合孔近似的轻量化方案。

3 结论

本文从轻量化结构设计的角度出发，针对拓扑优化方案，优化了拓扑优化及其衍生方案的设计流程，分析了各方案的可加工性，针对开孔方案，提出了用于表征开孔尺度的表征系数以及临界开孔率的概念，并把此参数作为约束条件，将结构设计问题转换为有约束目标的优化问题。最后，本文基于设计实例，通过粒子群优化算法得到了基于单级孔的最优轻量化方案。

本文分析并对比了单级孔轻量化方案与拓扑优化及其衍生方案的动力学性能和轻量化效果。结果显示，单级孔方案在轻量化效果和性能接近拓扑优化及其衍生方案的前提下，大幅降低了加工难度和加工成本。

本研究为此类工程问题的结构应力分析和轻量化结构设计提供了技术上的参考依据，同时也给出了行之有效的减重方案、计算方法及设计流程。

参考文献：

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[12]蒋赟. 腹板大尺度圆形开孔梁的受力性能分析[D]. 长沙：湖南大学，2012.

收稿日期：2022-12-21

基金项目：国家重点研发计划（2022YFE0114300）

作者简介：毛思诺（1997－），男，湖北黄冈人，硕士，主要研究方向为机械制造及自动化，E-mail：maosinuo@163.com。*通讯作者：林松（1957－），男，四川广元人，工学博士（德），主要研究方向为产品研发方法及其智能设计、虚拟产品生产及其数字孪生、智能装置及其人机协调、技术系统可靠性及其安全设计，E-mail：slin@tongji.edu.cn。