公式章 1 节 1基于仿真的多部件设备机会维修多目标决策优化方法

王梅　张少文　张祥祥　胡子翔

摘要：提出一种基于仿真的多部件设备机会维修多目标决策优化方法，考虑了多种维修方式、多种机会维修策略、非预期故障的随机持续时长和成本以及随机的预防性维修时长，利用蒙特卡洛仿真计算系统可用度和总成本，多目标粒子群算法进行求解最佳维修方式。将该方法应用到电子组装线的某生产设备，结果显示，同时考虑了随机故障和预防性维修的机会维修策略具有更优的Pareto前沿，能够进一步优化系统可用度与系统总成本，并对可用度和总成本的随机分布进行了分析。

关键词：预防性维修；机会维修；Pareto优化；蒙特卡洛仿真；粒子群算法

中图分类号：TH17 文献标志码：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.05.004

文章编号：1006-0316 （2023） 05-0020-07

Multi-Objective Decision-Making Optimization Method for Opportunistic Maintenance of multi-Component Equipment Based on Simulation

WANG Mei，ZHANG Shaowen，ZHANG Xiangxiang，HU Zixiang

（ No. 38 Research Institute of CETC， Hefei 230088， China ）

Abstract：This paper proposes a multi-objective decision-making optimization method for opportunistic maintenance of multi component equipment based on simulation， taking into consideration multiple maintenance modes， multiple opportunistic maintenance strategies， random duration and cost of unexpected faults， and random preventive maintenance duration. Monte Carlo simulation is used to calculate system availability and total cost， and multi-objective particle swarm optimization algorithm is used to solve the optimal maintenance mode. The method is applied to a production equipment of an electronic assembly line. The results show that the opportunistic maintenance strategy， considering both random failures and preventive maintenance， has a better Pareto frontier， which can further optimize the system availability and total system cost. The random distribution of availability and total cost is analyzed.

Key words：preventive maintenance；opportunistic maintenance；Pareto optimization；Monte Carlo simulation；particle swarm optimization

頻繁的随机故障停机和维修产生了高额的维修和停机成本，给企业带来了严重的经济损失。当多个部件分别按照自己的维修策略进行维修时将产生大量的停机时间和维修的固定成本。机会维修策略（Opportunistic Maintenance Strategy，OMS）利用某部件进行维修而导致系统停机的机会，对其余部件进行预防性维修，从而减少系统停机时间和维修的固定成本[1]。

近年来，研究了众多的机会维修模型，用以确定多部件系统中各部件的维修类型和维修时机。在国外，Laggoune R等[2]进行串联系统的机会维修，但维修方式过于理想化，只有替换和预防性替换。Su C等[3]考虑了硬故障和软故障及非完美维修，然而未考虑非预期故障的机会维修。Zhou X等[4]提出一种基于时间窗的预防性维修模型，考虑了结构依赖性，但假设部件维修后修复如新，且各部件的机会维修窗口相同。Dinh D H等[5]提出一种同时考虑经济依赖性和结构依赖性的多层次机会预防性维修方法，其局限性在于多部件的两个层次的机会维修阈值相同。国内机会维修研究成果相对较少，特别缺少考虑随机故障时的机会维修以及多目标Pareto最优的研究。常建美[6]考虑了进行预防性维修或者替换时的维修机会，但没有考虑多目标的Pareto最优。刘池[7]建立了可靠性－维修成本多目标优化模型，获得了Pareto前沿（Pareto Front），但没有考虑随机故障时的维修机会。王达梦[8]指出考虑随机故障时的机会维修比不考虑随机故障的机会维修有更佳的单位时间成本，但没有考虑系统的可用度。

针对上述文献研究的不足，本文综合多种维修方式、多种维修机会以及多目标Pareto优化，同时考虑了部件间维修的经济相关性，考虑了随机分布的非完美维修时长和非预期故障成本及时长，分析了总成本和可用度的分布，为决策者安排机会维修提供科学依据。

1 单部件的预防性维修策略

1.1 部件的故障率函数

威布尔分布具有强大的适用性，常用于描述部件发生随机故障的可能性随时间的变化规律[9]。可表示为：

式中： 为部件k的故障率分布函数；t为时间； 和 分别为部件k威布尔分布的形状因子和尺度因子。

考虑王灵芝等[10]提出的三种维修方式：最小维修、预防性维修、替换，采用混合故障率模型，定义：

式中： 为部件进行第i次预防性维修前后的故障率函数； 为役龄递减因子，0＜ ＜1； 为故障率递增因子， ＞1； 为第i次预防性维修至最近一次预防性维修或替换的时长。

1.2 以可靠性为中心的维修策略

部件随着运行时间的增加，其可靠度逐渐下降，故障率随之增加，当部件的可靠度达到阈值R时进行预防性维修，由此可得可靠性方程为：

式中：exp[]为以自然对数e为底的指数函数。

联立式（1）和式（3）便可得到部件每次的维修间隔[10]。

随着预防性维修次数的增多，预防性维修间隔缩短，单位维修成本增加，因此需要确定预防性维修次数上限N，第N＋1次预防性维修改为替换操作，将部件修复如新。

约定符号定义：i、Nk分别为部件k的预防性维修次数和最大预防性维修次数，i＝1， 2， ...， Nk；ak、bk分别为部件k的役龄递减因子和故障率递增因子；Tki为部件k第i－1次预防性维修与第i次之间的无故障时长；λki（t）为部件k第i次维修前的故障率分布函数；Rkt为部件k的可靠度更新阈值；Xfk、Xgk、Xpk分别为部件k随机故障维修成本、随机故障维修时长和预防性维修时长，符合随机分布；Cpk、Cdk、Ctk、τk分别为部件k单次预防性维修成本、单位时间停机成本、替换成本以及替换时长；Cs为单次维修的固定成本。

单部件替换周期内预防性维修策略假设条件为：随机故障对部件故障率函数的影响可忽略不计；采用最小维修可将部件修复到故障发生前的状态，发生故障前后故障率不变；部件k运行从全新状态开始，替换后部件恢复如新。

部件k在其替换周期内进行Nk次预防性维修，第Nk＋1次预防性维修时进行替换，则其成本包括最小维修、预防性维修和替换的直接维修成本C1，因最小维修、预防性维修、替换而导致的停机成本C2。时长包括最小维修、预防性维修和替换时长以及部件的正常工作时间T'。分别计算为：

式中：E（）为随机变量的期望值。

部件k替换周期内的单位时间成本为：

式（7）仅包含一个变量 ，可用遍历求解，以最小化 ，其优化模型为：

2 多部件的机会维修模型

通常采用基于时间的方法确定部件是否需进行机会维修，如图1所示，部件n的计划预防性维修时间为tn1，部件m在tm1时刻需要进行随机故障维修或预防性维修，此时系统会停机，部件n机会维修阈值为ΔTn，如果tm1＋ΔTn≥tn1，则部件n获得了维修机会，可进行预防性维修或者替换，否则不进行机会维修。通过分析可知，机会维修阈值不能太大也不能太小，因此需要优化各部件的机会维修阈值ΔTn，使系统的可用度尽可能大、总成本尽可能小。

2.1 模型假设与符号定义

本文研究的系统属于串联系统，考虑到实际生产的复杂性，作以下假设：①部件在初始时刻和替换后都是从全新状态开始退化；②随机故障发生时，会被及时发现，并进行最小维修，且同一时刻只有一个部件会发生随机故障；③系统只会因为最小维修和预防性维修而停机，任一部件的维修操作都会导致系统停机，各部件的停机损失相同，都为Cd。

本节在1.2节的基础上增加如下符号定义：K为系统包含的部件数量；ΔTk为部件k的机会维修阈值；S为系统停机维修的次数，包括小修、预防性维修和替换而导致的停机；Iskj为指示函数，表示在第s次维修时、部件k是否进行了j方式维修，如果是则取值为1，否则为0；其中j＝0表示小修，j＝1表示预防性维修，j＝2表示替换；Cskj为在第s次维修时、对部件k进行j方式维修所花费的直接维修成本；MTskj为在第s次维修时、对部件k进行j方式维修所花费的时间；DTs为第s次维修时的停机时长；T为系统生命周期，包括正常工作时间和维修停机时间。

2.2 可用度和总成本的多目标优化模型

系统可用度是指正常工作时间占总时间的比例，其值越大表示设备利用率越高。每次维修的停机时长等于各部件维修时长最大值，为：

式中：A为系统在一个周期内的可用度。

由第s次维修开始时刻 、部件k的下一次预防性维修或者替换发生时刻 ，以及部件k的机会维修阈值共同决定，即式（11）。 可由1.2节求得。

除了让系统可用度尽可能高外，决策者还希望总成本尽可能小。在系统的生命周期内，总成本C包括直接维修成本、停机成本和维修的固定成本，为：

综上所述，以可用度和總成本为多目标的多部件串联系统的优化模型为：

3 模型求解与数值案例分析

3.1 蒙特卡洛仿真

本文同时考虑了随机故障和预防性维修、替换的维修机会，由于随机故障的非预期性，难以写出可用度A与总成本C的期望表达式。蒙特卡洛仿真是一种依赖于重复随机抽样和统计分析来计算结果的仿真方法[11]。本文通过多次运行仿真，将多次仿真的平均值作为评价各种方案优劣的标准，采用事件驱动法构建仿真模型。

仿真计算T时间内可用度与总成本的总体思路为：首先根据式（8）计算各单部件的预防性维修间隔以及预防性维修次数上限，然后随机模拟各部件的随机故障发生时刻，将仿真时钟推进到最早发生随机故障或预防性维修的时刻，停机进行维修、对其余部件进行机会维修并更新故障率函数，记录本次维修的总成本和停机时长，更新各部件的下一次随机故障时刻以及预防性维修时刻，继续推进仿真时钟，重复上述过程直到最小的随机故障发生时刻和预防性维修的时刻都大于T，则仿真结束；多次运行仿真并取平均值作为真实值。

约定符号定义：t为仿真时钟时间，初始值为0；T为仿真结束时间；DT为系统累积停机时长，初始值为0；nk为部件k的下一次预防性维修序号，nk＝1， 2， ...， Nk＋1，当取值为Nk＋1时就进行替换；Wk为部件k自替换以来的有效役龄，初始值为0；Tknk为部件k第nk－1次预防性维修到第nk次预防性维修的无故障工作时长，nk＝1就是从替换到第一次预防性维修的无故障工作时长；FITk为部件k到下一随机故障间隔时长；lastFKk为部件k最近一次随机故障修复后的开始工作时刻，初始值为0；nextFTk为部件k下一次随机故障发生时刻，初始值为0；lastPTk为部件k最近一次预防性维修（替换）后的开始工作时刻，初始值为0；nextPTk初始值为0。

本文的蒙特卡洛仿真计算可用度A和总成本C的算法流程如图2所示。

在第s次停机维修时（ts时刻），如果因为随机故障停机（假设故障部件为q），则先判断部件是否直接替换，如果否，则进行小修，然后判断是否进行预防性维修，具体维修方式如图3所示。对于其余正常部件，根据式（12）确定维修方式。

根据部件k的维修方式更新 和 为：

即当维修方式为预防性维修时，设备役龄会增加；当维修方式为替换时，设备役龄恢复为0；没有维修操作则不更新参数。

然后更新进行了预防性维修或者替换部件的故障率函数 和 ，以及当前预防性维修或者替换后的开始工作时刻为：

更新各部件的下一次预防性维修间隔为：

本次停机进行最小维修的部件q更新为：

根据部件的故障率函数来模拟部件的随机故障时间，部件k对应的累积分布函数为：

每次部件进行了预防性维修、替换以及最小维修后，需要更新对应的下一次随机故障时刻。本文采用反函数法，令F（x）取0～1之间的均匀分布随机数rand，即可求得对应的下一次随机故障间隔时间为：

对于没有进行维修的部件，由于停机时长，需要更新为：

即当下一次随机故障发生在下一次预防性维修前，则该随机故障视为发生；当该随机故障发生在下一次预防性维修后，则在下一次预防性维修前不会有随机故障发生。

3.2 多目标粒子群算法

本文要优化的决策变量为各部件的机会维修阈值ΔTk，其取值范围为全体正实数，优化问题的解空间巨大，运用粒子群算法可快速获得全局较优解。采用仿真优化的思想，用蒙特卡洛仿真算法作为粒子群算法的粒子评价函数。采用多目标Pareto最优解的思想可求得一组非支配的解，对于M个决策变量的多目标最小化问题，当满足以下两个条件时称x1支配x2：

（1）x1在所有目标上都不比x2差，即：

（2）x1在至少一个目标上严格优于x2，即：

所有非支配解的集合叫做Pareto最优解集（Pareto-optimal set），Pareto最优解集中的解是Pareto最优解，其对应的目标向量构成该多目标问题的Pareto前沿[12]。不被其他所有解支配的解称为非劣解。

本文采用一种多目标粒子群算法，具体算法细节请参阅文献[12]，不再赘述。采用3.1节中的蒙特卡洛仿真算法作为粒子各个目标的评价函数，通过多次运行仿真取平均值。

3.3 数值案例分析

以某高密度电子组装线中SMT（Surface Mounted Technology，表面贴装技术）贴片机为例，说明本文提出的模型的优越性。

假设SMT贴片机有6个关键部件，任一部件发生故障都会导致设备停机，部件都服从两参数的威布尔分布，且都从全新状态开始运行，系统工作时长T＝600 天，各部件役龄递减因子和故障率递增因子相同，分别为ak＝a＝0.12、bk＝b＝1.1，系统停机成本C＝180元/天，维修的固定成本Cs＝50元/次；各部件的随机故障维修成本Xfk服从对数正态分布（两参数分别为lμk和lσk），各部件的随机故障维修时长Xgk服从指数分布（参数为1/λk），各部件的预防性维修时长Xpk服从正态分布（两参数分别为μk和σk）。相应参数如表1所示。

多目标粒子群算法相关参数为：c1＝c2＝2（c1为个体学习因子，c2为种群学习因子），粒子个数N＝50，算法迭代次数H＝100，粒子位置pi1取值范围[-10，10]，粒子速度vi1取值范围[-2，2]。仿真运行次数G需要根据试验次数决定，G过大则平均值更接近真实值，但计算时间会增加，G过小则平均值可能与真实值差距较大，本文取G＝15000。

根据以上参数分别进行没有机会维修（策略1）、只考虑随机故障时的维修机会（策略2）、只考虑预防性维修时的维修机会（策略3）、同时考虑预防性维修和随机故障时的维修机会（策略4）的预防性维修模型求解，分别绘制四种维修策略的Pareto前沿，如图4所示，其中x1、x2分别是策略4以总成本最小和可用度最大的单目标最优值。

由图4可以看出，策略3的各个解都可以被策略4中的解支配，策略2的绝大部分解也都可以被策略4中的解支配，少部分解未被支配可能是因為随机因素和算法本身的扰动。理论上x1、x2应在策略4的Pareto解集内的，因此可以认为策略4比其余三种策略具有更优的Pareto前沿，说明同时考虑了预防性维修和随机故障时的维修机会的机会维修策略能够进一步优化系统可用度与系统总成本。

此外，本文通过对同一个维修方案进行多次仿真，可以获得多次仿真各个目标值的随机分布，并进行统计分析。例如对于某个Pareto最优解，其对应的50000次可用度和总成本分布（等距划分为100份）如图5所示。其可用度的平均值和标准差分别为0.8608、0.0262，分别采用正态分布和威布尔分布拟合，得到正态分布的极大似然值与威布尔分布的极大似然值110536、110153，因此采用正态分布作为可用度的随机分布。得到正态分布的均值和标准差分别为0.85、0.027，可用度A≥0.8387的置信度为80%。其总成本的平均值和标准差分别为89152.0、5216.5，采用正态分布拟合得总成本C≥95837的置信度为10%。通过对比不同Pareto最优解的各个目标的随机分布，有助于管理者决策分析。

4 结论

本文提出的多部件机会维修多目标决策方法弥补了现有研究的不足，包括：①考虑多种维修机会的机会维修策略能获得更优的Pareto前沿；②提出了一种事件驱动的蒙特卡洛仿真算法，同时考虑多种维修机会、维修成本和时长服从随机分布的情况；③采用多目标的粒子群算法获得多个Pareto最优解，并对维修方案对应的可用度和总成本进行分布拟合，有利于企业分析决策。

参考文献：

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[2]Laggoune R，Chateauneuf A，Aissani D. Opportunistic policy for optimal preventive maintenance of a multi-component system in continuous operating units[J]. Computers & Chemical Engineering，2009，33（9）：1499-1510.

[3]Su C，Liu Y. Multi-objective imperfect preventive maintenance optimisation with NSGA-II[J]. International Journal of Production Research，2020，58（13）：4033-4049.

[4]Zhou X，Huang K，Xi L，et al. Preventive maintenance modeling for multi-component systems with considering stochastic failures and disassembly sequence[J]. Reliability Engineering & System Safety，2015（142）：231-237.

[5]Dinh D H，Do P，Iung B. Multi-level opportunistic predictive maintenance for multi-component systems with economic dependence and assembly/disassembly impacts[J]. Reliability Engineering & System Safety，2022（217）：108055.

[6]常建美. 多部件設备系统机会预防性维修策略研究[D]. 秦皇岛：燕山大学，2014.

[7]刘池. 设备维修计划多目标综合优化模型研究[D]. 西安：西安电子科技大学，2013.

[8]王达梦. 以可靠性为中心的风电机组机会维修策略研究[D]. 北京：华北电力大学（北京），2020.

[9]Hallinan A J. A Review of the Weibull Distribution[J]. Journal of Quality Technology，1993，25（2）：85-93.

[10]王灵芝，徐宇工，张家栋. 基于设备有效度和可靠度的预防修经济优化模型[J]. 机械工程学报，2010，46（4）：163-168.

[11]Raychaudhuri S. Introduction to Monte Carlo simulation[C]. 2008 Winter Simulation Conference，2008：91-100.

[12]李宁，邹彤，孙德宝，等. 基于粒子群的多目标优化算法[J]. 计算机工程与应用，2005（23）：43-46.

收稿日期：2022-12-01

作者简介：王梅（1973－），女，安徽合肥人，硕士研究生，研究员，主要研究方向为智能制造工业软件研发，E-mail：15357946086@163.com。