非球面磨削抛光机床插补原理解析与速度寻优算法研究

胡月，秦芳，王红

(河北民族师范学院物理与电子工程学院，河北承德 067000)

0 前言

光学非球面元件相比于球面元件具有无法比拟的优越性，使得其在光学领域得到广泛的应用。但是，光学非球面元件在加工成形时，由于其结构特征导致非球面轮廓曲线各点曲率均不相同，无论采用当前何种加工成形方法，都会在其表面残留不同频率的环带波纹误差，从而制约了光学非球面元件的快速发展。

光学非球面元件表面残留的环带波纹误差是影响其应用性能的主要因素，也是当前非球面加工制造领域的研究热点问题。针对当前光学非球面元件成形过程中残留的环带波纹问题[1-3]，课题组提出了全新的非球面切线回转成形原理[4-6]，可以有效解决光学非球面元件加工成形的环带波纹残留问题。

1 切线回转成形非球面原理

如图1所示，图中磨轮m为端面平直的平行磨轮，曲线L为被加工非球面面型曲线，设想非球面成形过程中，磨轮磨削点Pi沿非球面面型曲线做横、纵向运动的同时也进行回转摆动，则可以保证磨轮始终相切于被加工面型曲线，从而使相邻节点的运动轨迹近似为理想的连续光滑曲线，可实现切线回转成形非球面，且能够得到准确、连续、光滑、没有理论波纹误差的非球面面型曲线。

图1 切线回转成形非球面原理

2 速度插补数学解析

为验证切线回转成形非球面原理的先进性，实验室自主研发的原理样机“非球面磨削抛光机床”(Aspherical Grinding Polish Machine，AGPM)三维结构示意如图2所示，实物如图3所示。

图2 三维结构示意

图3 AGPM实物

AGPM采用速度插补形式成形非球面[7-8]，即：对加工曲线Y方向进行节点等分，应用非球面曲线公式求解节点坐标及相对量，利用速度、位移及加速度数学关系求解X、Y两运动方向运控参量，使速度保持单调，实现精密拟合。

2.1 问题论证

以实际光学非球面元被加工样件为例，具体参数如表1所示。面型曲线方程如式(1)所示。

表1 加工样件参数

(1)

假设设置20分段数，求解运控参数如表2所示。

表2 运控参数

利用上述参数对给定曲线进行拟合，可得X、Y方向进给速度曲线如图4所示。分析知：X方向速度不具备单调特性，Y方向起始点与后续运行速度也不具备单调性，所以，X、Y轴实际运行速度不单调，与切线回转成形的速度插补方式产生矛盾。

图4 调整前、后X、Y方向进给速度曲线

非单调运行X、Y方向联动拟合曲线如图5所示，可知：回转中心点G0拟合轨迹呈波浪形式，而非连续光滑，从而使磨轮磨削点也以波浪形式运行。因此，当前求解的运控参数无法匹配连续光滑的切线回转成形。

图5 调整前、后点G0与磨削点的轨迹对比

2.2 问题解析

由于在AGPM结构设计时，选择伸长距离为166 mm的磨轮主轴，使得机床回转中心G0与实际加工中心有较大距离偏差，从而导致分割段内X方向的位移量Δxi呈线性变化，如表2所示。

用位移、时间、速度、加速度公式解析，针对曲线第一分割段，机床回转中心G0运行速度与X方向位移量为

(2)

针对曲线第二分割段，机床回转中心G0运行速度与X方向位移量为

(3)

由表2知Δx1≈Δx2，联立式(2)(3)，可得a2与a1存在如下关系：

(4)

由给定运行参数和求解控制参数知U0=0，Δt2>Δt1>0，则可得出：

(5)

所以a2与a1符号相反，即在Δx1、Δx2内，点G0在X方向运动一定是加速、减速两种形式，因此在Δx1和Δx2内运行速度非单调。

针对曲线第三分割段，机床回转中心G0运行速度与X方向位移量为

(6)

由表2知Δx2≈Δx3，则联立算式(2)(3)(6)，可得a3与a2存在如下算式关系：

a3=

(7)

2Δt1·Δt3+2Δt2·Δt3)]>0

(8)

所以a3与a2的符号相反，即在Δx2、Δx3内，机床回转中心G0运动为先减速、后加速，所以在相邻第二、第三分割段内，运行速度非单调。

同理，可证a4、…、ai、…、an大小为：a4<0，a5>0，…，a2i<0，a2i+1>0，…，a2n<0，所以得证，机床回转中心G0在相邻第Δx2i、第Δx2i+1分割段内运行速度均非单调，该分析即为图5回转中心点G0拟合轨迹呈波浪曲线的根本原因。

2.3 解决方案

对点G0进给加速度进行分析，将式(5)进行变换得：

(9)

U0·Δt1-(U0-a1·Δt1)(2Δt2-Δt1)>0

(10)

分析式(10)，由表1知Δt2>Δt1，所以得到：

2Δt2-Δt1>Δt1

(11)

联立算式(10)(11)可以推出如下算式：

|U0-a1·Δt1|

(12)

U0>a1·Δt1/2

(13)

分析式(13)，设置X方向运行初速度U0≠0，且U0>a1·Δt1/2，可使a2>0，即：设置一个满足不等式关系的初速度U0，可实现在相邻第一、第二分割段内，运行速度单调。

(14)

同理，分析ai，针对相邻第i-1、第i分割段内，机床回转中心G0运行速度与X方向位移量可构建式(15)、(16)：

(15)

(16)

由表2知Δxi-1≈Δxi，综合式(15)(16)，联立运算可得ai与U0存在如下算式关系：

(17)

因此知，通过设置最优初速度U0，使a2、a3、a4、…、ai、…、an均大于0，即：设置一个满足不等式算式关系的初速度U0，可实现在全运动过程中运行速度单调。

因此，依据不等式(18)，通过合理设置运控参数ai、ti、Δxi极限值，基于遗传学智能寻优算法，可实现最适初速度U0的优选。

3 基于遗传学的寻优算法

基于遗传学理论的寻优算法主要包括3个关键环节：(1)适应度计算；(2)算法边界设定；(3)算法运行参数[7-8]。

3.1 适应度值计算

通过已知曲线方程，可求解AGPM运控参数。假设存在某个U′0值，使成形过程中X运动方向速度保持单调，即任意分割段内加速度均大于0。a′1、a′2、…、a′n和U′1、U′2、…、U′n分别为对应U′0值的加速度与速度，则应存在如下算式关系：

a′i=

(19)

若要求解最优U′0值，该速度寻优算法的入口函数应设置为式(19)。

3.2 边界设定

由式(13)知，若使a′2>0，则此时U′0应存在如下算式关系：

(20)

同理，由式(20)知，若使a′i>0，则此时U′0应存在如下算式关系：

(21)

联立式(20)(21)，整理得：

(22)

在式(22)中，U′0值的不等式算式关系，即为最优U′0极限值的边界条件。

3.3 运行参数

根据速度寻优算法解析要求，设定算法运行参数如表3所示。

表3 算法运行参数

3.4 运算流程

图6所示为算法运算流程，应用MATLAB数学解析工具进行算法性能解析。

图6 运算流程

4 应用性能分析及实验论证

以前文应用的非球光学面元件为例，分别以分段数20、100、500、2 000，回转速度ω=0.3 rad/s，进行实验验证，算法解析的U′0和a′i数值如表4所示。

表4 解算得到最适初速度U′0值

以分段数20为例，用拟合曲线对比分析算法应用效果，如图4所示。对比U′0与U0分析，当U′0=0.867 1 mm/s时，X方向运行速度单调递增、连续光滑；Y方向运行速度，需使vy(0)=vy(1)，可实现Y方向运行速度单调，从而使整个加工过程速度保持单调。

为进一步验证算法实用效果，拟合加工轨迹如图5所示，机床回转中心G0和磨削点均为连续光滑曲线，因此，可以得证当前运控参数可以使进给速度单调，且匹配连续光滑的切线回转成形。

图7所示为应用AGPM在无误差补偿情况下加工得到非球面光学元件，经检测得到图8所示检测数据：(1)面型精度为14.130 0 μm；(2)表面粗糙度为3.330 2 μm。

图7 无误差补偿的加工零件

图8 非球面元件检测数据

通过检测数据可以得证：切线回转成形非球面轨迹精度达到了机械加工微米级别，对于普通数控机床来说是一种质的提升，进一步印证研究内容的有效性。

5 结论

(1)用数学方法解析了非球面磨削抛光机床应用速度插补原理存在的关键问题“进给速度非单调”，用实验运控参量阐述了问题产生的根本原因是“初速度不匹配致使相邻分段加速度符号相反”。

(2)基于遗传学理论提出了解决“进给速度非单调”的具体方案，细化了速度寻优算法的运算流程和实施步骤，主要包括：适应度值计算公式、算法边界设计和算法运行参数设置。

(3)用实证数据及拟合仿真曲线进行论证，证明了速度寻优算法解决“进给速度非单调”问题的有效性，并可以快速匹配任意分段的最优初速度，且使加工进程中进给速度始终保持单调，保证了非球面磨削抛光机床的加工精度。