基于分形理论的圆柱面接触密封特性分析

李龙飞，周思柱，李美求，魏超

(长江大学机械结构强度与振动研究所，湖北荆州 434023)

0 前言

圆柱面接触密封是机械工业常用的一种密封形式，广泛应用于旋塞阀、液压滑阀、柱塞泵等石化装备。相较于线密封和平面密封，圆柱面接触密封的加工工艺更复杂，密封面精度难以保证。目前，以宏观的密封比压评价圆柱面机械密封可靠性与实际工况存在较大的差异。

1967年MANDELBROT首次提出分形理论[1]，至今已被大量地应用到各类密封面的分析和设计过程中。1991年MAJUMDAR、 BHUSHAN[2]建立了M-B分形接触模型，描述粗糙面微凸体接触弹性和塑性行为。WANG、KOMVOPOULOS[3]修正了M-B分形模型，建立理想光滑平面与粗糙表面接触微凸体分布函数。冯秀、顾伯勤[4]基于W-M分形函数，忽略粗糙表面较小尺寸细节，构建了单个泄漏通道的余弦函数，并根据该模型建立了螺栓-法兰-金属垫片系统的泄漏模型。SUN等[5]基于分形理论构建了动、静环端面泄漏模型，将分形维数与粗糙度幅值引入时间变量，通过试验验证了泄漏模型的可行性。李小彭等[6]基于分形理论建立接触式机械密封端面泄漏模型，归纳了分形维数、端面比载荷等参数与泄漏量的关系。吴国凤[7]将分形理论应用到金属O形环密封性能的研究，得到了更吻合试验的泄漏模型。陈奇等人[8-9]在Hertz弹性接触理论和M-B分形模型基础上，建立两圆柱曲面接触微凸体分布函数，分析了两圆柱面微凸体接触力学行为。

综上所述，应用分形理论能更全面地评价密封表面微观结构对密封面接触行为和密封效果的影响。但上述关于接触密封泄漏量的研究主要聚焦于低维平面副，考虑微观结构的圆柱曲面密封模型和相关泄漏分析鲜有报道。

鉴于此，本文作者基于分形理论，依据圆柱密封面表面粗糙度分形函数，建立圆柱面密封泄漏数学模型，分析表面粗糙度、接触系数、过盈量和材料表面硬度等参数对圆柱面密封泄漏量的影响规律，为圆柱面接触密封设计和泄漏评价提供参考。

1 粗糙表面形貌分形特征

1.1 模型简化

机械加工的轮廓表面由各种不同尺寸的微小凹槽凸峰组成，这一特点具有明显的自相似性，符合分形特征[10]。根据M-B分形模型，可以将两粗糙接触面简化为一刚性平面与柔性粗糙平面接触问题，如图1所示。

1.2 粗糙轮廓表面分形函数

粗糙表面轮廓曲线可近似为无数个余弦函数的叠加，是一个处处连续的函数，可由W-M函数表示：

(1)

式中：ZS(X)表示粗糙峰随机高度；G表示金属加工表面粗糙度幅值；D表示分形维数，与加工表面精度有关；ls表示样本取样长度；-ls/2

图2 单个粗糙峰函数图像

金属加工表面粗糙度幅值G与表面粗糙度Ra的关系：

G=10-5.26/Ra0.042

(2)

分形维数D与表面粗糙度Ra的关系：

(3)

1.3 圆柱面泄漏通道分布函数

金属加工表面并非理想光整平面或曲面，M-B模型是以分形参数的尺度独立性建立粗糙表面的弹塑性接触模型，适用于低维平面副。文献[8]根据该模型推导了圆柱面微凸体接触面积分布公式，如公式(4)所示：

(4)

式中：al表示微凸峰接触变形最大面积；a表示任意微凸峰接触面积；λC为圆柱面接触系数，其计算公式为

λC=

(5)

(6)

式中：B为圆柱面接触宽度；E为接触面综合弹性模量，与两接触面弹性模量关系如公式(6)所示，E1和E2分别表示两接触体的弹性模量，ν1与ν2分别表示两接触体的泊松比；R1、R2分别表示两圆柱面曲率半径(假设R1>R2，“+”表示两圆柱面外接触；“-”表示两圆柱面内接触)。根据文献[11]将式中al、a替换为alX、aX可得到圆柱接触面泄漏通道分布公式：

(7)

式中：alX表示最大泄漏通道面积；aX表示任意泄漏通道面积。

2 圆柱面密封泄漏模型推导

对于金属硬密封、面密封，其密封机制为给予初始密封力或过盈装配，密封接触面产生初始挤压力，微观粗糙表面粗糙峰发生弹塑性变形，减小两接触面之间的空腔区域以限制介质穿过密封界面，达到密封要求，所以两密封接触面存在硬度差。根据文献[5]，为建立基于分形理论的泄漏模型，有以下几点假设：

(1)流体经过密封界面微小孔隙，可视为不可压缩黏性层流流动；

(2)密封接触界面可以视作粗糙表面与光滑表面接触。泄漏通道大小不一，在接触界面上呈随机分布；

(3)表面分形特征在统计上具有统一性，不考虑相邻接触点接触过程中的交互作用；

(4)忽略密封面上单位载荷和摩擦磨损对泄漏通道分布的影响；

(5)忽略流体流动过程中黏度的改变。

根据Navier-Stokes方程，密封介质流经单个泄漏通道的泄漏量q：

(8)

式中：vr表示沿密封柱面周向的流动速度；η表示密封介质的黏度；dp/dr表示密封柱面周向压力梯度；l1表示机械密封端面单个泄漏通道的底边长度，且l1=aX0.5。

则在整个圆柱面上的泄漏量可表示为

(9)

将式(7)(8)代入式(9)中可得密封介质在两圆柱接触密封界面的泄漏量：

(10)

式中：与平面接触密封不同，加入了接触系数λC，修正两异径圆柱曲面上接触微凸体分布函数，当R1=R2时，λC实际上趋近于1。其中，分形维度D和粗糙度幅值G与表面粗糙度Ra有直接关系，如公式(2)(3)所示。即该公式反映了圆柱接触密封面泄漏量与粗糙度、最大泄漏通道的关系。

柔性接触面上微凸体与刚性圆柱面接触，实际上是微凸体与理想曲面的接触，所有微凸体接触变形面积的总和为两圆柱面真实接触面积Ar。则泄漏孔隙总面积AS与真实接触面积Ar的关系：

AS=Aa-Ar

(11)

式中：Aa为两圆柱面理论接触面积，Aa=2πRL，L为圆柱母线长度。

接触面单个微凸体接触点的最大接触面积与真实接触面积存在以下关系[12]：

(12)

式中：al表示微凸体接触点最大面积；φ为分形区域扩展系数，与分形维数D有关，φ=5.453·exp(-D/0.628)+1.499(1

将式(11)(12)代入式(10)中可得泄漏量Q与真实接触面积Ar的关系：

(13)

根据文献[13-14]，真实接触面积Ar与密封接触面端面比载荷存在以下关系：

Ar=f(Aa,pg,H,K,l,D,G)

(14)

式中：pg为密封接触面端面比载荷；H为柔性材料的硬度；K为硬度系数，与材料泊松比ν有关，K=0.454+0.41ν。

在具体圆柱面接触模型下，真实接触面积仅与密封接触面端面比载荷pg有关，其来源为密封件的过盈配合。参考文献[15]，得到实心轴与轴套过盈配合下，接触面间压力pg：

(15)

式中：Δf表示过盈量；d为轴套内径；D为轴套外径；k为比例系数，与(D2-d2)/(D2d)近似线性关系。

3 圆柱面接触密封泄漏模型参数分析

由公式(10)可知：两圆柱面接触模型一旦确定，泄漏量Q与圆柱面接触系数λC、密封介质穿过密封界面形成的压力梯度dp/dr与成正比，与介质动力黏度η成反比，符合实际工程问题。

假设分析模型材料参数及工况参数如表1所示，根据公式(10)分析接触模型特征参数及材料力学参数对泄漏量Q的影响。

表1 材料参数及工况参数

3.1 表面粗糙度Ra对泄漏量Q的影响

公式(2)(3)反映了分形维数D、粗糙度幅值G与表面粗糙度Ra的关系。如图3所示：分形维数D与表面粗糙度Ra成反比；粗糙度幅值G与表面粗糙度Ra成正比。表面粗糙度Ra越大，分形维数D越小，粗糙峰存在形式越复杂；单个粗糙峰幅值G越大，两接触密封面越容易产生泄漏孔隙。

图3 表面粗糙度Ra与分形维数D、粗糙度幅值G的关系

根据公式(15)，计算模型尺寸参数(D2-d2)/(D2d)=0.011，通过插值运算取接触压力比例系数k=0.99。假设密封接触面过盈量Δf=0.01 mm，并根据公式(15)计算接触面压力pg=15 631 110 Pa，分别取柔性接触面粗糙度Ra(0.05、0.1、0.2、0.4、0.8、1.6、3.2、6.3、12.5 μm)，根据公式(13)计算出不同密封介质压力下表面粗糙度Ra对泄漏量Q的影响，如图4所示：真实接触面积Ar会受到表面粗糙度影响，当Ra=0.05 μm时有最大接触面积Ar=632.388 mm2，随着Ra的增加，真实接触面积逐渐减小，当Ra≥1.6 μm时，真实接触面积基本稳定在613.5 mm2；泄漏量Q与密封介质压力成正比且随粗糙度Ra的增加呈指数增长。介质压力为50 MPa时，当Ra=0.05 μm有最小泄漏量Q=1.599×10-6L/min，当Ra=12.5 μm有最大泄漏量Q=742.585 L/min，此时已丧失密封性能。对比不同密封介质压力梯度下泄漏量大小，表面粗糙度Ra≤1.6 μm(Q=0.14 L/min)时，改变密封介质压力对泄漏量影响不大。

图4 不同密封介质压力下表面粗糙度Ra对泄漏量 Q的影响

3.2 接触系数λC对泄漏量Q的影响

图5所示为粗糙度Ra=1.6 μm、过盈量Δf=0.01 mm的情况下，接触系数λC与泄漏量Q的关系。接触系数λC实际上反映两圆柱面接触程度，而接触微凸体在粗糙表面服从正态分布，故泄漏量与接触系数λC呈线性趋势。接触系数由0增加到1的过程，泄漏量从0 L/min增加到0.061 6 L/min。接触系数λC=0时，即内接触圆柱面为一条直线，两圆柱面的接触变为直线与面的接触，其密封形式为线密封，几乎没有泄漏量；当0<λC<1，内接触圆柱直径逐渐变大，接触形式逐渐由线密封扩展为面密封；λC=1时，为两等径圆柱面的完全接触，泄漏量达到最大值。接触面积的增大，导致密封接触表面微凸体接触数目增加，表面泄漏孔隙增多，泄漏量增大。

图5 接触系数λC对泄漏量Q的影响

3.3 过盈量Δf及综合弹性模量E对泄漏量Q的影响

真实接触面积Ar是影响泄漏量Q的重要参数。综合弹性模量E与过盈量Δf通过影响圆柱接触面间压力pg间接改变真实接触面积。硬质轴材料弹性模量E1=210 GPa，柔性材料弹性模量E2分别取120、140、160、190、210 GPa，表面粗糙度Ra=0.8 μm，H=300 N/mm2，密封介质压力p=50 MPa。根据公式(14)计算不同综合弹性模量及过盈量下真实接触面积Ar，如图6所示。真实接触面积与过盈量呈线性关系，与综合弹性模量成正比。随着过盈量的增加，密封接触面间接触压力pg逐渐增大，粗糙表面微凸体接触面积变大，表面接触造成的空腔区域变小，泄漏量Q减小；弹性模量是衡量材料抵抗变形的参数，软质材料整体弹性模量越大，接触面压力pg越大，微凸体承受负载增加，真实接触面积增大。

图6 不同综合弹性模量E下过盈量Δf对真实接触 面积Ar影响

将真实接触面积Ar代入公式(13)得到过盈量Δf及综合弹性模量E对泄漏量Q的影响，如图7所示，泄漏量Q随过盈量Δf增加呈线性下降趋势，随柔性密封件弹性模量的增加减小。过盈量从0.002 mm增加到0.026 mm过程中，当E2=120 GPa时，泄漏量由0.063 L/min减小到0.059 L/min；当E2=210 GPa时，泄漏量由0.06 L/min减小到0.023 8 L/min。因此增大综合弹性模量会扩大过盈量对泄漏量的影响效果，且以软质密封件弹性模量超过190 GPa时影响更显著，如图8所示。选择密封件材料及过盈配合大小时，在保证材料未发生塑性变形失去回弹能力的前提下，可增大综合弹性模量和过盈量以减小泄漏量。

图7 不同综合弹性模量E下过盈量Δf对泄漏量 Q的影响

图8 软质密封件弹性模量E2对泄漏量Q的影响

3.4 软质密封件布氏硬度H对泄漏量Q的影响

对于接触动密封，表面硬化处理是保证机械密封使用寿命的重要工序。旋塞阀是使用圆柱接触动密封最典型的密封构件。图9描述了软质密封件表面硬度H与泄漏量Q的关系，当H1=100 N/mm2时，有最大接触面积Ar1=1 225.69 mm2，此时对应最小泄漏量Q1=0.051 6 L/min，当H由100 N/mm2增加到300 N/mm2时，真实接触面积Ar由1 225.69 mm2快速减小到408.031 mm2，泄漏量Q由0.051 6 L/min急剧上升为0.059 3 L/min，该过程中在满足磨损要求的情况下，适当减小表面硬度，可快速减小泄漏量。当H≥300 N/mm2时，继续增加表面硬度，真实接触面积进一步减小，泄漏量持续上升，但作用效果较前一阶段逐渐衰减。

图9 软质密封件表面硬度H对泄漏量Q的影响

3.5 最大泄漏孔隙面积alX对泄漏量Q的影响

由图10可知：当最大泄漏孔隙面积为0 mm2时，圆柱密封界面无泄漏；随着最大泄漏孔隙面积的增大，泄漏量非线性增长；当最大孔隙面积超过0.75 mm2时，泄漏量呈线性增长，且增长速率大于前一阶段。理想接触密封面使用过程中若出现少许泄漏，证明接触面上出现了泄漏通道。从微观角度来说，泄漏是流体或气体分子之间的作用力作用于密封接触面，将介质作用力与密封接触面初始比压力和密封构件材料作用反力的合力作比较，当介质作用力大于总阻力时，密封介质渗入，依次对泄漏通道上介质作用力与总阻力对比，即可得到总的泄漏途径。当初始泄漏孔径较大时，泄漏流体在该通道有更多的泄漏方向和更大的作用力，致使泄漏量急剧增加。同时，密封介质中的杂质也会进入密封界面，加速密封界面的磨损、冲蚀。这也是密封件一旦出现少许泄漏后，使用较短时间就会出现大泄漏甚至完全失效的原因。

图10 最大泄漏孔隙面积与泄漏量的关系

4 结论

(1)密封构件表面粗糙度是影响圆柱面接触密封的主要参数，通过数值模拟发现：在足够初始密封预紧力下，表面粗糙度小于1.6 μm时，改变密封介质压力对泄漏量影响甚微，可保证密封要求；

(2)综合弹性模量及过盈量均与泄漏量成反比。增大综合弹性模量可提高过盈量对密封面泄漏量的敏感性，扩大过盈量对泄漏量的调控范围；

(3)软质密封件表面布氏硬度小于300 N/mm2时，合理减小表面硬度可有效减小泄漏量；当表面硬度大于300 N/mm2时，减小硬度对泄漏量影响并不明显，应先考虑接触磨损；

(4)最大泄漏孔隙是描述密封件使用寿命的重要参数，尤其是密封介质含有硬颗粒杂质，减小最大泄漏孔隙可提高密封件使用寿命。