双变量与条件地震重现期理论及应用

王晓磊，吕大刚，阎卫东

(1.沈阳建筑大学土木工程学院，辽宁，沈阳 110168；2.河北省地震灾害防御与风险评价重点实验室，河北，三河 065201；3.哈尔滨工业大学土木工程学院，黑龙江，哈尔滨 150090)

重现期是具有概率含义的重要概念：对于离散型随机变量，重现期是服从几何分布的首次等待次数平均值；对于连续型随机变量，重现期是服从指数分布的首次等待时间平均值。

重现期概念在一些工程领域已得到了广泛应用[1−17]。在地震工程领域，重现期是超越某地震动强度参数大小的平均发生时间，也被称为平均地震重现期(简称地震重现期)，已广泛应用于工程结构抗震设计与评估中：吕大刚等[1]总结比较了中国《建筑抗震设计规范》[2]、中国地震动参 数 区 划 图[3]、美 国NEHRP[4]、FEMA 273[5]和SEAOC Vision 2000[6]规定的小震、中震、大震和巨震对应的地震重现期；李慧[7]总结比较了中国、美国、欧洲和日本抗震规范规定的设防目标对应的地震重现期；杨成等[8]基于地震重现期进行了桥梁行车安全易损性分析；王晓磊[9]基于场地危险性生成了我国某核电厂址地震重现期，并进行了核电厂安全壳概率地震风险评估。

目前，地震工程领域的重现期通常指的是单个地震动强度参数超越指定强度大小的重现时间，即基于标量型概率地震危险性分析获得的单变量地震重现期，无法考虑地震动强度参数间相关性[9−10]。基于上述研究现状，为了选取具有多个强度参数一致危险性的地震动记录，DU[10]提出了三类多变量地震重现期概念，包括：同时超越多变量重现期、任一超越多变量重现期和Kendall函数多变量重现期，并详细研究了基于三类多变量重现期的地震动记录选取理论方法与现有地震动选取方法的优劣，发现基于Kendall 函数多变量重现期选取的地震动记录更具有一致危险性[11−12]。DU 仅将多变量重现期在地震动选取方面进行了应用研究，对基于向量型概率地震危险性分析的多变量重现期研究还不深入，同时也没有涉及条件地震重现期理论与应用方面的研究。在水文工程领域，重现期理论得到了更为深入的发展和应用[13−14]，包括：单变量重现期、多变量重现期和条件重现期等。相较于水文工程，地震工程具有自身理论与应用特点，地震重现期在水文领域多变量和条件重现期基础上，还需要考虑地震工程理论与应用特点。目前，地震工程领域中向量型概率地震危险性分析理论[18]和条件型概率地震危险性分析理论[19]得到了不断应用和发展，基于上述研究现状，需要对基于向量型概率地震危险性分析与条件型概率地震危险性分析为基础的多变量地震重现期和条件地震重现期理论与应用进行深入研究。

基于目前地震工程领域中重现期的研究现状，本文提出了考虑地震动强度参数间相关性的双变量地震重现期与条件地震重现期概念，给出了双变量地震重现期与条件地震重现期的理论基础，基于某个算例场地地震危险性信息，计算了双变量地震重现期与条件地震重现期分布，并对双变量地震重现期与条件地震重现期进行了应用研究，最后给出了考虑地震动强度参数相关性的双变量地震重现期与条件地震重现期理论与应用研究展望。

1 地震重现期基本理论

本节首先总结了地震工程领域单变量地震重现期基本理论，然后提出了包含两个强度参数联合发生信息的双变量地震重现期和条件地震重现期概念，并总结了双变量地震重现期与条件地震重现期基本理论。

1.1 单变量地震重现期基本理论

1.1.1 单变量重现期基本理论

单个随机变量的累积分布函数可以表示为：

式中：Pr[]为事件发生概率函数；X为随机变量；x为目标值。

单个随机变量的余累积分布函数可以表示为：

那么，单变量重现期可以表示为单个随机变量的余累积分布函数的倒数：

1.1.2 单变量地震重现期基本理论

地震工程领域中地震重现期是针对单个地震动强度参数的重现时间，是单变量地震重现期。参照单变量重现期基本概念，可以构造单变量地震重现期理论公式。首先，进行标量型概率地震危险性分析，基于标量型概率地震危险性分析理论，单个地震动强度参数在指定强度大小下的年平均发生率可表示为：

式中：νi为地震年平均发生率；P{S a(Tj)>sj|m,r,θ}是震级、距离和方向角等参数条件下强度参数S a(Tj)超越sj强度水准的发生概率；fM,R,θ(m,r,θ)为震级、距离和方向角等参数的概率密度函数；sj为指定强度大小。

地震发生通常假设服从指数分布，那么地震动强度参数t年内超越概率可表示为：

式中：λ (sj) 为地震动强度参数超越sj的年平均发生率；N为超越次数；t为统计基准期。

参照上述单变量重现期基本理论，可表示单变量地震重现期理论公式为：

式中，P为地震动强度参数在统计基准期t年内超越概率。

将对数函数 ln(1−P)1t进行泰勒级数展开[20]，取泰勒级数第一项，单变量地震重现期理论公式可简化为[21]：

1.2 双变量地震重现期基本理论

1.2.1 双变量重现期基本理论

假设两个随机变量X和Y的累积分布函数可分别表示为：

式中：Pr[]为事件发生概率函数；X和Y为两个随机变量；x和y为目标值。

同时，随机变量X和Y联合发生的累积分布函数可以表示为：

随机变量X和Y同时超越的累积分布函数可以表示为：

随机变量X和Y同时超越的平均发生重现时间可以表示为：

1.2.2 双变量地震重现期基本理论

在单变量地震重现期理论基础上，进一步考虑地震动强度参数间相关性，可表示为多变量地震重现期，由于多个地震动强度参数的向量型概率地震危险性分析计算量比较大并且应用还不够广泛，本文仅介绍基于两个参数的双变量地震重现期概念和理论。基于双变量重现期理论公式，可构建双变量地震重现期理论，两个地震动强度参数联合发生的超越概率可基于向量型概率地震危险性分析得到，两个变量的向量型概率地震危险性分析可表示为：

式中：νi为地震年平均发生率；fS a1,S a2(x1,x2|m,r,θ)为震级、距离和方向角等参数条件下两个强度参数同时超越某强度大小的联合发生概率密度函数；fM,R,Θ(m,r,θ)为震级、距离和方向角等参数的概率密度函数。

两个强度参数同时超越的年平均发生率可表示为：

根据地震工程领域中地震动强度参数联合超越理论，基于式(12)，可以构造地震工程领域双变量地震重现期的计算公式：

双变量地震重现期与单变量地震重现期存在以下关系：

式中：TSR(x)和TSR(y) 为单变量地震重现期；TVR(x,y)为双参数同时超越的地震重现时间，本文指定该重现期为地震工程领域的双变量地震重现期。

由式(16)可发现，双变量地震重现期通常大于等于两个单变量地震重现期。同时，由上述理论陈述可发现：双变量地震重现期在传统单变量地震重现期基础上，考虑了地震动强度参数间相关性。

1.3 条件地震重现期基本理论

1.3.1 条件重现期基本理论

本文仅针对单个条件参数并且预测参数为单个的条件重现期进行分析，该条件重现期可表示为：

式中：F(x|Y≥y) 是 以变量Y≥y为条件的X≤x发生的累积分布函数。

条件概率计算公式可表示为：

式中：Pr(X≥x,Y≥y)为变量X和Y联合发生概率；Pr(Y≥y)为变量Y边缘发生概率。

基于条件计算式(18)，可以得到单参数条件重现期另一表达式为：

式中：T′(x,y) 为双参数同时超越的重现期；TY为单参数超越的重现期。

1.3.2 条件地震重现期基本理论

条件地震重现期可以基于两种方式获得：1)基于单变量地震重现期和双变量地震重现期结果，利用条件发生概率理论公式生成；2)基于条件型概率地震危险性分析，计算强度参数条件超越概率，生成条件地震重现期。

地震动强度参数条件发生概率可由条件型概率地震危险性分析得到，条件型地震发生概率密度函数可表示为：

式中：fS a2|S a1(x2|x1,m,r,θ)为给定条件下的强度参数Sa2条件发生概率密度函数；fM,R,Θ(m,r,θ|,x1)为震级、距离和方向角的条件发生概率密度函数。强度参数条件型超越概率可表示为：

根据地震工程领域中地震动强度参数条件超越理论，基于式(17)，条件地震重现期可表示为强度参数条件型超越概率的倒数：

基于条件概率公式，条件地震重现期与双变量地震重现期和单变量地震重现期关系可以表示为：

式中：TVR(x,y)为双变量地震动强度参数同时超越重现期；TSR(y)为单变量地震动强度参数超越重现期。

由上述理论表述，可发现：条件地震重现期在传统单变量地震重现期基础上，进一步考虑了地震动强度参数间相关性。

2 单变量、双变量和条件地震重现期生成步骤

2.1 单变量地震重现期生成步骤

单变量地震重现期可基于标量型概率地震危险性分析结果生成，生成步骤如下(流程图如图1所示)：

图1 单变量地震重现期计算流程图Fig.1 Flowchart of single variable earthquake return period calculation

1)基于场地危险性数据，采用标量型概率地震危险性分析方法生成指定强度参数地震危险性曲线；

2)利用单变量地震重现期理论(式(6)或式(7))，生成指定场地单变量地震重现期。

2.2 双变量地震重现期生成步骤

双变量地震重现期可基于向量型概率地震危险性分析结果生成，生成步骤如下(流程图如图2所示)：

图2 双变量地震重现期计算流程图Fig.2 Flowchart of bivariate earthquake return period calculation

1)基于场地危险性参数，采用向量型概率地震危险性分析方法(式(13)和式(14))，生成指定强度参数双变量地震危险性曲面；

2)利用双变量地震重现期理论(式(15))，生成指定场地双变量地震重现期。

2.3 条件地震重现期生成步骤

条件地震重现期可以基于以下两种方式得到：1)基于条件型概率地震危险性分析，直接得到条件地震重现期；2)基于标量型概率地震危险性分析，得到单变量地震重现期，基于向量型概率地震危险性分析，得到双变量地震重现期，基于条件概率公式，得到条件地震重现期。

条件地震重现期方法1 生成步骤如下(流程图如图3(a))所示)：

图3 条件地震重现期计算流程图Fig.3 Flowchart of conditional earthquake return period calculation

1)基于场地危险性参数信息，采用条件概率地震危险性分析方法(式(20)和式(21))，生成场地指定参数的条件概率地震危险性曲线；

2)利用条件地震重现期生成理论(式(22))，基于条件概率地震危险性曲线，生成指定场地条件地震重现期。

条件地震重现期方法2 生成步骤如下(流程图如图3(b))所示)：

1)基于场地危险性参数信息，采用标量型概率地震危险性分析(式(4)和式(5))，生成指定强度参数的标量型概率地震危险性曲线，利用单变量地震重现期生成理论(式(6)或式(7))，基于标量型概率危险性曲线，生成指定场地单变量地震重现期；

2)基于场地地震危险性参数信息，采用向量型概率地震危险性分析(式(13)和式(14))，生成指定强度参数的向量型概率地震危险性曲面，利用双变量地震重现期生成理论(式(15))，基于向量型概率危险性曲面，生成指定场地双变量地震重现期；

3)基于条件地震重现期理论(式(23))，利用生成的单变量地震重现期和双变量地震重现期，得到条件地震重现期。

3 算例厂址地震重现期分析及应用研究

3.1 算例厂址地震危险性参数信息

本文以我国华南地区某核电厂厂址为算例厂址，基于场地危险性参数信息，利用单变量、双变量和条件重现期分析理论，生成了算例厂址单变量、双变量和条件重现期分布。该算例厂址包含一个地震统计区(覆盖范围N19°～N24°，E109°～E116°)，地震统计区参数如表1 所示。

表1 地震统计区参数值Table 1 Parameter values of seismic statistical zones

该统计区主要包括32 个潜在震源区(如图4所示)。潜在震源区的主要参数包括：潜在震源区内最大震级、空间分布函数、方向角，上述三个参数及其相应权重取值详见表2 所示。

表2 潜在震源区地震活动性参数Table 2 Seismicity data of main potential sources of earthquake

图4 潜在震源区分布图Fig.4 Distribution map of seismic potential zones

地震动预测方程采用霍俊荣1989 年博士论文中给出的我国华南地区预测方程[22]，可表示为：

式中：M为震级；R为距离；ε为观测误差；σlog(Y)为预测方程的预测标准差；C1、C2、C3、C4和C5为地震动预测方程的系数，相关系数值参见文献[22]。

3.2 算例厂址标量型概率地震危险性分析与单变量地震重现期分析

3.2.1 标量型概率地震危险性分析

本文选用具有代表性的一些强度参数，包括：PGA、Sa(0.07 s)、Sa(0.24 s)、Sa(0.50 s)、Sa(1.00 s)和Sa(5.00 s)，基于算例厂址场地危险性信息，采用标量型概率地震危险性分析方法，生成了算例厂址地震危险性曲线，如图5 所示。可发现：不同强度参数地震危险性不同，与地震动预测方程中不同强度参数方程系数不同相关。

图5 选定强度参数地震危险性曲线Fig.5 Seismic hazard analysis of selected intensity measures

3.2.2 单变量地震重现期生成

本文选用具有代表性的一些强度参数，包括：PGA、Sa(0.07 s)、Sa(0.24 s)、Sa(0.50 s)、Sa(1.00 s)和Sa(5.00 s)，基于生成的地震危险性曲线，利用式(6)，可得到算例厂址的不同地震动强度参数的单变量地震重现期，如图6 所示。可发现：不同强度参数单变量地震重现期不同，与不同强度参数地震危险性大小不同相关。

图6 选定强度参数的单变量地震重现期Fig.6 Single variable earthquake return periods for selected intensity measures

3.3 算例厂址向量型概率地震危险性分析与双变量地震重现期分析

3.3.1 向量型概率地震危险性分析

向量型危险性分析所用强度参数通常选取结构敏感周期的谱加速度，本文选用某结构[9]的基频相应周期0.24 s 对应的谱加速度为双强度参数中的一个参数，另外一个参数选用代表性的Sa(0.07 s)、Sa(0.50 s)、Sa(1.00 s)和Sa(5.00 s)与Sa(0.24 s)组合为双强度参数，基于算例厂址场地危险性信息，采用向量型概率地震危险性分析方法，生成了算例厂址地震危险性曲面和危险性曲面等高线，如图7～图8 所示。分析结果表明：地震危险性曲面和等高线对于不同的强度参数组合结果不同，通常与两个参数间相关性系数和强度参数危险性程度两个因素相关。

图7 不同地震动强度参数组合的地震危险性曲面Fig.7 Seismic hazard surface based on combinations of different ground motion intensity measures

图8 不同地震动强度参数组合的地震危险性曲面等高线Fig.8 Seismic hazard contours based on combinations of different ground motion intensity measures

3.3.2 双变量地震重现期生成

基于生成的地震危险性曲面和等高线，利用式(15)，可得到算例厂址的不同地震动强度参数的双变量地震重现期曲面和等高线，如图9～图10所示。分析结果表明：与向量型危险性分析结果类似，双变量重现期曲面和等高线对于不同的强度参数组合结果不同，通常与两个参数间相关性系数和强度参数危险性程度两个因素相关。

图9 不同地震动强度参数组合的双变量重现期Fig.9 Bivariate earthquake return period surface based on combinations of different ground motion intensity measures

图10 不同地震动强度参数组合的双变量重现期等高线Fig.10 Bivariate earthquake return period contours based on combinations of different ground motion intensity measures

3.4 算例厂址条件型概率地震危险性分析与条件地震重现期分析

3.4.1 条件型概率地震危险性分析

条件型危险性分析所用条件强度参数通常选取结构敏感周期的谱加速度，本文同样选用某结构[9]的基频相应周期0.24 s 对应的谱加速度为条件参数，另外一个预测参数分别选用Sa(0.07 s)和Sa(0.50 s)，基于算例厂址场地危险性信息，采用条件型概率地震危险性分析方法，生成了算例厂址条件地震危险性曲线，如图11 所示。分析结果表明：条件强度参数越小，相同大小预测强度参数的超越概率越小。

图11 条件地震危险性曲线Fig.11 Conditional seismic hazard curves

3.4.2 条件地震重现期生成

基于生成的条件地震危险性曲线，利用式(22)，可得到算例厂址的不同地震动强度参数的条件地震重现期(Conditional Earthquake Return Period,CERP)，如图12 所示。分析结果表明：条件强度参数越小，相同大小预测强度参数的条件地震重现期越大。

图12 条件地震重现期Fig.12 Conditional earthquake return period

3.5 双变量地震重现期与条件地震重现期应用研究

3.5.1 地震重现期在向量型场地相关谱生成中应用研究

近年来，针对一致危险谱的保守性，许多学者提出了条件均值谱概念，条件均值谱考虑了不同周期间谱型相关性，与真实地震动反应谱更为接近。但有学者指出，条件均值谱谱型较窄，可能会低估地震危险性水平，提出了多个条件参数的广义条件均值谱概念。广义条件均值谱的条件周期有两个或两个以上条件参数，本文仅分析两个条件强度参数的广义条件均值谱，该广义条件均值谱也被称为简化广义条件均值谱(Simplied Generalized Conditional Mean Spectra, s-GCMS)。文献[9]曾提出了两类简化广义条件均值谱概念，其中，第二类简化均值谱(s-GCMS-II)需要运用双变量地震重现期确定两个条件强度参数的大小，第二类简化均值谱(s-GCMS-II)具体生成步骤详见文献[9]。

基于算例厂址数据，生成算例厂址双变量地震重现期，并得到算例厂址第二类简化均值谱(s-GCMS-II)，算例厂址的一致危险谱(Uniform Hazard Spectrum，UHS)、条件均值谱(Conditional Mean Spectrum，CMS)和 第 二 类 简 化 均 值 谱(s-GCMS-II)如图13 所示。其中，第二类简化均值谱需要运用双变量地震重现期概念，Sa(0.07 s)和Sa(0.24 s)的双变量地震重现期指定为10000 年。

图13 算例厂址生成的场地相关谱Fig.13 Site-specific spectra of the case site

3.5.2 地震重现期在条件型场地相关谱生成中应用研究

利用条件概率地震危险性分析，可生成条件危险性曲线，基于条件地震重现期相等原则，可生成条件一致危险谱(Conditional Uniform Hazard Spectrum, CUHS)，CUHS 需要运用条件地震重现期概念[9]。

基于算例厂址数据，生成算例厂址条件地震重现期，并得到算例厂址相应于不同条件地震重现期的条件一致危险谱，见图14 所示。

图14 条件一致危险谱Fig.14 Conditional Uniform Hazard Spectra

其中，条件一致危险谱需要运用条件地震重现期概念，以Sa(0.24 s)为条件其它强度参数的条件地震重现期指定为2 年等。

4 结论和展望

本文对地震工程领域中地震重现期理论进行了深入研究，提出了双变量地震重现期和条件地震重现期概念，给出了双变量地震重现期和条件地震重现期理论基础，总结了双变量地震重现期和条件地震重现期生成步骤，生成了算例厂址的双变量地震重现期和条件地震重现期，最后对双变量地震重现期和条件地震重现期理论进行了应用研究，得出以下主要结论：

(1)基于向量型(双变量)概率地震危险性分析(VPSHA)和条件型概率地震危险性分析(CPSHA)分析结果，可生成双变量地震重现期和条件地震重现期；

(2) VPSHA 和CPSHA 在标量型概率地震危险性分析(PSHA)基础上考虑地震动强度参数间相关性，使双变量地震重现期和条件地震重现期在传统单变量重现期基础上考虑了地震动强度参数的相关性，可更科学考虑多个强度参数同时发生的联合发生信息；

(3)提出了双变量地震重现期和条件地震重现期概念，分析了三个地震重现期间关系，发现：指定参数双变量地震重现期大于或等于两个参数各自单变量地震重现期大小，条件地震重现期是双变量地震重现期和单变量地震重现期之比；

(4)双变量重现期曲面和等高线对于不同的强度参数组合结果不同，通常与两个参数间相关性系数和强度参数危险性程度两个因素相关；

(5)条件强度参数越小，相同大小预测强度参数的条件地震重现期越大；

(6)双变量重现期和条件重现期可以运用在表示向量型(双变量)场地相关谱和条件型场地相关谱生成研究中，传统单变量重现期无法起到描述考虑谱型相关性信息重现期的作用。

未来需要在以下方面进行更进一步研究：

(1)深入开展多变量地震重现期及其条件地震重现期理论研究；

(2)深入开展基于多变量地震重现期和条件地震重现期理论的工程结构精细化地震易损性分析与风险评估研究；

(3)深入开展多变量地震重现期和条件地震重现期在工程结构抗震设计中的应用研究；

(4)深入开展考虑水平和竖向地震动强度参数相关性的双变量地震重现期、多变量地震重现期和条件地震重现期理论与应用研究；

(5)深入开展考虑主震和余震地震动强度参数相关性的双变量地震重现期、多变量地震重现期及其条件地震重现期理论与应用研究。