基于改进MCFT 的GFRP-RC 梁抗剪承载力分析

宋 博，金 浏，陈凤娟，杜修力

(北京工业大学城市减灾与防灾防护教育部重点实验室，北京 100124)

由于FRP 筋混凝土梁的剪切破坏机理复杂，影响因素众多，目前仍然没有一个比较统一的认识。这也导致各国设计规范对剪切强度公式的描述有较大区别，计算结果也存在很大的差异[1]。相比于普通钢筋，由于FRP 筋是脆性材料[2]，导致FRP 筋混凝土梁的剪切破坏往往呈现更加强烈的脆性破坏特征[3]，同时尺寸效应现象也更加显著[4]。若不合理考虑尺寸效应问题，可能会高估FRP 筋混凝土梁的承载能力，存在严重安全隐患。ALAM和HUSSEIN[5]开展了无腹筋GFRP-RC 梁剪切破坏试验，发现当梁深从350 mm 增加至800 mm时，GFRP-RC 梁的名义抗剪强度降低约33.3%。ASHOUR 和KARA[6]通过收集的134 组无腹筋FRP筋混凝土梁的抗剪承载力试验数据，对比发现，剪跨比和梁深对GFRP 筋混凝土梁的名义抗剪强度有显著的影响，因此在结构设计时是不可忽略的。JUMAA等[7]研究了有腹筋FRP-RC 梁的剪切尺寸效应，研究表明：箍筋可拟制FRP-RC 梁剪切破坏的尺寸效应，但无法完全消除。因此，建立考虑尺寸效应的FRP-RC 梁抗剪承载力设计方法具有十分重要的意义。

修正压力场理论(MCFT)[8− 9]的提出为FRP筋混凝土梁抗剪问题的解决提供了一种新的方法。但因其计算过程复杂，且需多次迭代计算，应用于工程设计领域效率不高。因此，一些学者对MCFT 进行了简化。如：BENTZ 等[10]基于MCFT，发现抗剪承载力与纵向应变和裂缝间距有关，因此将抗剪强度看成是应变因子和尺寸因子的函数，并提出了适用于钢筋混凝土梁的简化计算公式。HOULT 和BENTZ 等[11− 12]采用了相同的简化方法，提出了适用于FRP 筋混凝土梁的简化MCFT计算公式，并通过试验数据验证发现，该简化公式能较好预测FRP 筋混凝土梁的抗剪承载力。然而，以上计算公式仅验证了截面高度小于1000 mm的梁，该式能否合理预测大尺寸FRP-RC 梁的抗剪承载力尚不清楚。

本文针对GFRP-RC 梁，通过三维细观数值模拟方法，建立了大尺寸GFRP-RC 梁的三维细观数值分析模型。在与既有试验结果吻合良好的基础上，扩展了更大梁深(3000 mm)GFRP-RC 梁的数值试验，分析了剪跨比、纵筋率和梁深对破坏模式、裂缝倾角及荷载-位移曲线的影响规律。然后基于修正压力场理论，建立了考虑剪切裂缝宽度沿受剪高度变化的平均裂缝宽度计算模型。鉴于此，提出能反映剪跨比及大尺寸影响的GFRP-RC梁抗剪承载力设计方法。最终通过213 组GFRP-RC梁的承载力数据验证了该公式的合理性及准确性。

1 GFRP-RC 梁三维细观模型

1.1 三维几何模型的建立

采用细观尺度数值模拟方法进行研究，建立了既能反映混凝土材料的非均质性，又能考虑GFRP 筋与混凝土之间复杂相互作用的数值模型(具体建模方法见文献[13 − 17])。该方法将混凝土视为由粗骨料、砂浆基质及界面过渡区(ITZ)组成的三相复合材料[18−19]。将细骨料和相对较小的粗骨料(粒径约5 mm 以下)简化为砂浆基质[20]。将粗骨料颗粒假定为球体[21−22]，采用二级配混凝土(粗骨料最小等效粒径为12 mm，最大等效粒径为24 mm)。文献[23]的研究发现：大多数混凝土的粗骨料体积分数40%～50%，因此本模型骨料体积分数为45%，并通过随机投放法[24]将其投放到砂浆基质中。文献[25]发现：当ITZ 的厚度在0.5 mm～2 mm变化时，对应力上升段基本无影响。因此为保证计算精度及提高计算效率，本文参考文献[13, 26 − 27]的工作，将粗骨料颗粒周围2 mm 的薄层定义为界面过渡区。采用图1 所示的位移控制加载，借助ABAQUS 6.14 进行数值模拟分析。

图1 三维细观数值模型及加载示意图Fig.1 3D meso-scale numerical model and sketch map

1.2 细观组分及本构关系

骨料的强度大于砂浆基质和ITZ，可认为其在静力加载下不会破坏，因此本文将粗骨料设置为完全弹性体[28−29]。由于ITZ 与砂浆基质的力学特性相类似[30]，因此ITZ 与砂浆基质的力学行为均采用塑性损伤本构模型[31− 32]来描述。需要说明的是，由于应变软化会导致计算结果严重依赖网格尺寸，为降低网格敏感性对模拟结果的影响，本文在上升段采用应力-应变关系来描述，材料达到其拉伸强度后采用拉伸应力-位移曲线来替代常用的应力-应变关系曲线，使断裂能具有唯一性[33−34]。

GFRP 筋的力学行为采用线弹性本构模型来描述并规定材料的极限强度 σu为765 MPa[35]。GFRP筋与混凝土之间的相互作用采用非线性弹簧连接来定义[36−38]，粘结滑移本构关系采用COSENZA 等[37]提出的改进BPE 模型。该模型可以很好地表达GFRP 筋与混凝土之间的粘结滑移关系[38]。

1.3 细观数值模型的验证

参照GUADAGNINI[35]和FARGHALY[39]的GFRP-RC 梁物理试验，选用Guadagnini 试验中GB43 组、GB44 组和GB45 组试验梁，和Farghaly试验中G8N6 组和G8N8 组试验梁为模型验证对象，验证GFRP 筋本构模型及上述细观数值模型的合理性。Farghaly 试验梁截面尺寸均为1200 mm×300 mm，剪跨比均为1.13，配筋率分别为0.69%和1.24%。Guadagnini 试验梁截面尺寸均为250 mm×150 mm，剪跨比分别为1.1、2.2 和3.3，配筋率为1.28%。试验中混凝土立方体抗压强度实测值为53.5 MPa。

通过反复试算后(试算方法参考文献[34])，发现表1 所示的力学参数较为合理，得到的混凝土立方体抗压强度为53.3 MPa，与实测值53.5 MPa极为接近。因此，后续数值模型均采用表1 所示的力学参数。

表1 混凝土细观组分及GFRP 筋力学参数Table 1 Mechanical parameters of concrete and GFRP bar

将表1 中的力学参数应用于细观数值模型中，参考文献[34]的数值模拟验证方法，开展了GFRP-RC 梁的受剪试验模拟。模拟与试验的破坏模式及荷载-位移(P-Δ)曲线对比情况如图2 所示。由图可知，试验梁与模拟梁的破坏模式吻合良好，说明该模型合理准确，可以将其用于后续的模拟工作中。需要说明的是，为了保证计算精度的同时提高计算效率，本文参考文献[32 − 34]的工作，采用2 mm 的网格尺寸，并将ITZ 部分网格局部细化为1 mm。

图2 破坏模式及P-Δ 曲线对比Fig.2 Comparison of failure modes and P-Δ curves

2 GFRP-RC 梁剪切破坏分析

在验证细观数值模拟方法的准确性后，建立了更多的数值模型，探讨梁深、剪跨比及纵筋率对GFRP-RC 梁裂缝倾角及荷载-位移曲线的影响。本文共模拟36 根GFRP-RC 梁。其中，试件的截面尺寸(梁深d(mm)×梁宽b(mm))共4 类，分别为：300×100、1200×400、2100×700 和3000×1000；试件的剪跨比共有3 类：λ=1 、λ=2 和 λ=3；纵筋率共有三类：ρ=0.5% 、ρ=1.5% 和 ρ=2.5%。为消除一定的偶然性，每个工况模拟3 次，分析中仅展示部分结果。

2.1 破坏模式及裂缝倾角

图3 所示为GFRP-RC 梁细观数值模型在荷载作用下的破坏模式，可以看出，GFRP-RC 梁均发生明显的剪切破坏。如图3(a)所示，在不同的剪跨比下，试验梁的破坏模式存在着较大区别。剪跨比从 λ=1 增 大至 λ=3时，GFRP-RC 梁的破坏模式从斜压破坏逐渐变为剪压破坏。同时，剪跨比对斜裂缝倾角的影响非常显著。当剪跨比从λ=1增大至λ =2时，斜裂缝倾角从62.61°减小至42.42°，当剪跨比继续增大至 λ=3时，斜裂缝倾角进一步减小至31.48°。因此可知，GFRP-RC 梁的斜裂缝倾角随剪跨比的增大而急剧减小。

图3 试件的破坏模式Fig.3 Failure modes of the specimens

如图3(b)所示，在不同的纵筋率下，试验梁的破坏模式无显著差别。只是当纵筋率较小时( ρ=0.5%)，梁端支座处因锚固破坏出现了沿纵筋方向扩展的裂缝，纵筋率对斜裂缝倾角的影响也不显著。如图3(c)所示，不同的梁深下，试验梁的破坏模式基本相同。随梁深的增大，斜裂缝倾角也基本无变化。综上，剪跨比对破坏模式及裂缝倾角的影响较大，而纵筋率和梁深对其的影响较小。

2.2 荷载-位移(P-Δ)曲线

图4 所示为本文36 组无腹筋GFRP-RC 梁细观数值模型在剪切作用下得到的P-Δ曲线。由图可知，GFRP-RC 梁的抗剪承载力随着梁深的增加而增大；当梁深相同时，GFRP-RC 梁的抗剪承载力随剪跨比的减小及纵筋率的增大呈现上升的趋势。

图4 荷载-位移 (P-Δ) 曲线Fig.4 Load-Deflection (P-Δ) curves

以图4 中梁深d=2100 mm 试验梁的荷载-位移曲线为例，GFRP-RC 梁的剪切破坏全过程大致可分为2 个阶段：“0～A”阶段为弹性阶段，该阶段荷载和位移基本按比例增加。而随着荷载的逐渐增大，位移达到“A”点时梁中开始出现明显裂缝；“A～B”阶段为裂缝扩展阶段，该阶段梁中的裂缝随荷载增加而逐渐弥散扩展。当荷载增至峰值点“B”时，混凝土梁发生剪切破坏，“B”点后无明显下降段，破坏过程表现出很强的脆性特征[39 − 41]。

3 修正压力场理论

3.1 经典修正压力场理论的简化

经典修正压力场理论的15 个基本方程[8− 9]为：

1) 应力平衡方程

式中：fsx、fsy分别为纵筋和箍筋的应力；ρx、ρy分别为纵筋和箍筋的配筋率；f1、f2分别平均主拉应力和平均主压应力。

2) 裂缝间应力平衡

式中：fsxcr、fsycr分别为裂缝处x方向和y方向的应力；θ为斜裂缝倾角；v为平面剪切单元的剪应力；vci为裂缝处最大剪应力。

3) 应变协调条件

式中：εx和 εy分别为平均纵向应变和平均横向应变；ε1和 ε2分别为平均主拉应变和平均主压应变；γxy为平面剪切单元的剪应变。

4) 平均裂缝宽度

式中：w为平均裂缝宽度；sθ为平均斜裂缝间距；sx、sy分别为横向和纵向的平均裂缝间距。

5) 混凝土及GFRP 筋本构关系

式中：Esx、Esy分别为纵筋和箍筋的弹性模量。

6) 裂缝处传递的最大剪应力

3.2 修正压力场理论的简化

根据文献[10 − 12]，对于无腹筋梁，上述基本方程可重新整理。由于荷载作用下竖向压应力和压应变很小，可忽略不计，即可近似得：

因为无腹筋梁中没有配置横向箍筋，即可得：

由式(2)、式(16)和式(17)可得：

由式(5) 、式(16)和式(17)可得：

由式(14)、式(18)和式(19)可以得到：

式中，β为抗剪强度系数。

由式(6)、式(7)和式(16)可得：

由式(3)和式(18)可得：

由于混凝土梁中的压应变很小，可认为混凝土平面剪切单元仍处于弹性阶段。因此假定ε2=f2/Ec。根据文献[42]的建议，取Ec=4950，将式(18)、式(20)和式(22)代入式(21)可得：

根据文献[10 − 12]，由于无腹筋梁中垂直于y方向的裂缝间距非常大(该向裂缝间距近似等于箍筋间距)，因此，式(10)中可忽略 c osθ/sy的影响：

式中，sx=dv=0.9d0，dv为受剪高度，d0为截面有效高度。

为进一步简化，文献[10 − 12]假定平均纵向应变 εx为纵筋应变 εfx的1/2，得到下式：

式中：M为极限弯矩；V为极限剪力；Ef为FRP纵筋弹性模量；Af为FRP 纵筋截面面积。

3.3 简化修正压力场理论的改进

MCFT 假定应力和应变在截面内均匀分布，因此裂缝宽度也采用平均裂缝宽度来描述。文献[10 − 12]出于简化考虑，采用1/2 受剪高度处的裂缝宽度代替平均裂缝宽度进行计算[43−44]。然而对于GFRP-RC 梁来说，由于GFRP 筋的弹性模量较低，在弯矩作用下GFRP-RC 梁的受压区高度较小，裂缝宽度也较大[45−49]，且裂缝宽度沿受剪高度是变化的[50−52]。若不考虑裂缝宽度沿受剪高度的变化，直接采用文献[10 − 12]的裂缝宽度计算方法可能误差较大。而裂缝宽度的计算精度直接影响MCFT 对GFRP-RC 梁抗剪承载力预测和尺寸效应规律描述的准确性。

本文参考文献[43 − 44]的工作，假定：在GFRPRC 简支梁中，裂缝尖端宽度为0，裂缝底部宽度为wmax，裂缝宽度沿梁深线性变化，如图5 所示。梁中任意高度y处的裂缝宽度为：

图5 平均裂缝宽度计算模型Fig.5 Calculation model of average crack width

式中，ε1max为截面纵筋形心处的主拉应变。

通过式(23)可得，截面纵筋形心处的主拉应变 ε1max为：

因此，对梁中任意高度y处的裂缝宽度w(y)，沿受剪高度dv进行积分并取平均值，得到GFRPRC 梁全截面上的平均裂缝宽度为：

计算过程中用式(28)代替式(9)，可考虑裂缝宽度沿受剪高度的变化。

3.4 抗剪承载力计算公式

根据式(15)、式(19)和式(20)可得：

由式(27)～式(29)可知，抗剪强度系数 β是关于主拉应变 ε1max、裂缝倾角 θ 和受剪高度dv的一个函数。而主拉应变 ε1max可由平均纵向应变 εx计算得到，裂缝倾角 θ需要根据经典MCFT 的基本方程迭代计算。为了便于设计应用，本文对式(29)进行了简化。

将抗剪强度系数 β看作一个关于平均纵向应变εx、裂缝倾角 θ 和受剪高度dv的方程。对于GFRP纵筋，极限拉应变 εfx通常小于0.018[35]，因此简化分析时平均纵向应变 εx取0～0.009。结合本文模拟结果，裂缝倾角 θ选取范围在25°～85°。受剪高度dv取200 mm～4000 mm。在上述参数取值范围内，通过改进MCFT(按式(28)计算平均裂缝宽度w)计算抗剪强度系数 β。然后通过回归分析法，得到抗剪强度系数 β与裂缝倾角θ、平均纵向应变 εx和受剪高度dv的关系，如图6 所示。

图6 抗剪强度系数 β与各参数的关系Fig.6 Relationship of β and various parameters

从图6 可以看出，抗剪强度系数 β 随着 cotθ、平均纵向应变 εx和受剪高度dv的增大而减小。对图6 中的曲面进行拟合分析得：

式中，B为待定系数。通过对计算结果的拟合分析发现，当B=0.1，式(30)计算的抗剪强度系数 β和改进MCFT 确定的抗剪强度系数 β吻合良好。

由于式(30)中的 θ需要根据经典MCFT 的基本方程迭代计算，而由本文第2 节分析可知梁的斜裂缝倾角 θ主要由剪跨比 λ决定[53−54]。因此本文根据文献[6, 7, 35, 39 − 41, 45 − 52, 55]选取了177 组GFRP-RC 梁的相关试验数据进行回归分析，如图7 所示。选取的试验梁剪跨比 λ的范围为1.0～10.0，混凝土强度等级为C20～C80，梁深d为178 mm～1200 mm，纵筋率 ρ为0.17%～2.56%。

图7 剪跨比 λ对裂缝倾角 θ的影响Fig.7 Influence of shear span ratio on crack angle

从图7 可以看出，cotθ 随剪跨比 λ的增大而增大，说明当梁的剪跨比 λ增大时，裂缝倾角 θ减小。对上述213 组试验及模拟结果进行拟合分析得到裂缝倾角简化计算模型：

式中，μ为待定系数，根据拟合，建议μ取2.4。

将式(30)和式(31)代入式(29)可得无腹筋GFRP-RC 梁的抗剪承载力计算公式：

4 与规范及试验结果的比较

为验证式(32)的合理性及准确性，本文根据文献[6, 7, 35, 39 − 41, 45 − 52, 55]选取了177 组GFRP-RC 梁的抗剪承载力试验数据，并结合本文36 组GFRP-RC 梁细观数值模拟，进一步将验证梁的的梁深d的范围增大为178 mm～3000 mm，剪跨比 λ的范围为1.0～10.0，混凝土强度等级为C20～C80，纵筋率ρ 为0.17%～2.56%。同时将式(32)的计算结果与规范ACI 440.1R−15[56]、CSA.S806−12[57]、GB 50608−2020[58]及HOULT 简化公式[11−12]的计算结果进行了比较，如表2 所示。表中列出了由不同计算模型得到的Vpred/Vexp(计算值与试验值的比值)的平均值与变异系数，计算过程中混凝土强度均取试验实测值。对于试验中的不同混凝土强度指标，采用文献[59]的方法进行换算。

表2 GFRP-RC 梁抗剪强度计算公式的比较Table 2 Comparison of shear strength formulas of concrete beams reinforced with GFRP bars

如表2 所示，从Vpred/Vexp的平均值来看 ACI 440、CSA.S806 和GB 50608 分别为0.535、0.534 和0.631，可见规范为提高FRP 筋混凝土构件的安全性，对其承载力采取了保守估算的做法[1,3]。采用经典MCFT 模型得到的Vpred/Vexp均值为0.819，说明经典MCFT 能准确预测GFRP-RC 梁的抗剪承载力。而式(32)得到的预测结果与经典MCFT 模型结果相差不大，且计算过程中不需要迭代。

从Vpred/Vexp的变异系数来看，ACI 440、CSA.S806 和GB 50608 分别为0.531、0.370 和0.531，可见规范计算结果的离散度较大。然而经典MCFT模型及本文式(32)得到的结果变异系数均比较小，分别为0.171 和0.211。说明式(32)能够较好反映GFRP-RC 梁的抗剪破坏机理，对其荷载响应过程进行准确的分析。综上可知，本文提出的简化计算方法对GFRP-RC 梁抗剪承载力的预测相对准确，且计算过程简单，可用于工程设计。

图8 所示为不同梁深下，各计算方法对GFRPRC 梁抗剪承载力的预测结果。从图8(a)～图8(c)可以看出，ACI 440 和GB 50608 得到的Vpred/Vexp均随梁深d的增大而逐渐增大，这主要是因为ACI 440 和GB 50608 没有考虑剪跨比和尺寸效应对GFRP-RC 梁抗剪承载力的影响而导致的安全储备不足。而CSA S806 虽考虑了剪跨比和尺寸效应，但对于大尺寸GFRP-RC 梁抗剪承载力的预测仍偏于保守。

图8 试验抗剪强度与预测抗剪强度的比较Fig.8 Comparison of experimental versus predicted shear strengths

Hoult 简化公式计算结果的Vpred/Vexp随梁深d的增大呈上升趋势，说明该公式可能会高估大尺寸GFRP-RC 梁的承载能力。这主要是因为，Hoult简化公式未合理考虑裂缝宽度沿受剪高度的变化，也未合理考虑剪跨比对裂缝倾角的影响，导致其对大尺寸构件承载力的预测出现“误差”。

然而，式(32)能合理预测大尺寸GFRP-RC 梁的抗剪承载力，且与经典MCFT 模型结果基本一致。说明，本文建立的平均裂缝宽度计算模型合理有效，基于此提出的简化公式可以较好地描述GFRP-RC 梁尺寸效应行为机理，对大尺寸GFRPRC 梁抗剪承载力的预测也比较准确。

需要说明的是，限于收集试验数据及模拟工况较少，对于更多影响因素(剪跨比、纵筋率及梁深)的梁，本文公式的合理性仍需更多物理试验或数值模拟来进一步验证。

5 结论

本文采用三维细观数值模拟方法，建立了三维细观大尺寸GFRP-RC 梁的剪切破坏分析模型。基于修正压力场建立了考虑裂缝宽度沿梁深变化的平均裂缝宽度计算模型，鉴于此提出能考虑剪跨比及大尺寸影响的无腹筋GFRP-RC 梁抗剪承载力设计理论与方法。最终通过213 组试验及模拟数据，对其合理性进行了验证。主要结论如下：

(1) 剪跨比对裂缝倾角及破坏模式的影响较大，纵筋率和梁深基本无影响；剪跨比、纵筋率和梁深均对GFRP-RC 梁的抗剪承载力有显著影响，表现为混凝土梁的抗剪承载力随剪跨比的减小、纵筋率的增大和梁深的增大而增大。

(2) 规范为提高构件的可靠度，对GFRP-RC梁承载力的预测比较保守，不能全面的反映重要因素(剪跨比、纵筋率和梁深等)的影响。同时由于对尺寸效应考虑的不足导致未能准确描述大尺寸GFRP 筋混凝构件的剪切破坏机理，存在安全隐患。

(3) 经典MCFT 模型可以准确预测GFRP-RC梁的抗剪承载力，较好地描述GFRP-RC 梁剪切尺寸效应规律，但计算步骤繁琐、计算效率不高。而Hoult 基于MCFT 提出的简化公式可能会高估大尺寸GFRP-RC 梁的承载能力。

(4) 本文建立了考虑裂缝宽度沿梁深变化的平均裂缝宽度计算模型，提高了简化MCFT 的计算精度。鉴于此提出的简化计算公式能较好预测大尺寸GFRP-RC 梁的抗剪承载力。证明所建模型合理有效，提出的计算方法可用于工程设计。