离散度量空间的强嵌入 *

李国强，余淑辉

（贵州财经大学 a. 数统学院，b. 大数据统计学院，贵州 贵阳 550025）

0 引言

在文献［1］中，Gromov 指出度量空间粗嵌入到希尔伯特空间或者一致凸巴拿赫空间可能对研究粗Novikov 猜测具有重要作用。随后，郁国樑在文献［2］中证明了能粗嵌入到希尔伯特空间且具有有界几何的度量空间上的粗Baum-Connes 猜测成立。在文献［2］中，郁国樑还给出了顺从性的更一般的形式——性质A，并证明了性质A 蕴含着粗嵌入。后来，大批学者开始关注性质A 和粗嵌入并开展了广泛的研究。［3-7］在文献［8］中，作者证明了性质A 在群扩张下的保持性。和性质A 不一样，粗嵌入到希尔伯特空间在群扩张是不稳定的。［9］Ji，Ogle 和W.Ramsey 在文献［10］中介绍了度量空间的强嵌入，并证明了强嵌入在群扩张下具有保持性。

强嵌入也是一种粗几何不变量，它强于粗嵌入又弱于性质A。夏军等人在文献［11］中研究了强嵌入的各种保持性问题和在有限分解复杂度下的不变性；在文献［12］中，作者又讨论了强嵌入在群作用下的遗传性。

本文将进一步研究度量空间强嵌入的性质，具体来说研究了强嵌入的纤维保持性质和在度量空间的直积下的封闭性。

1 准备知识

在本文中，我们假设所有的度量空间是一致离散的且具有有界几何［2］，这类空间包含许多有趣的例子，比如：有限生成群。设B是一个巴拿赫空间，为了书写方便，我们记

对任意R，ε＞0，称映射ξ：X→B具有(R，ε)-变差，如果对任意x，y∈X，我们有

定义1［10］设X为度量空间，称X是可强嵌入的当且仅当对任意R，ε＞0，存在希尔伯特值映射β：X→(l2(X))1满足：

（1）β具有(R，ε) -变差；

对一族度量空间来说，我们还经常用到在某种一致控制意义下的强嵌入。

定义2［10］设(Xi)i∈I是一族度量空间，如果对任意R，ε＞0，存在一族希尔伯特值映射βi：Xi→(l2(Xi))1满足：

（1） 对每个i∈I，βi都具有(R，ε) -变差；

则称(Xi)i∈I是等度可强嵌入的。

设X是一个集合，φi：X→[ 0，1 ] 是X上的一族连续函数，且满足对任意，则我们称{φi}i∈I为X上的一个单位分解。假设U={Ui}i∈I是X的一个覆盖，X上的单位分解{φi}i∈I满足对任意i∈I，suppφi⊆Ui，则我们称{φi}i∈I为从属于覆盖U的单位分解。

定理1［12］设X为度量空间，如果对任意R，ε＞0，存在X上的单位分解{φi}i∈I满足：

（1） 对任意x，y∈X，若d(x，y)≤R，则

（2） {φi}i∈I从属于X的等度可强嵌入覆盖U={Ui}i∈I。

则X是可强嵌入的。

设U={Ui}i∈I是度量空间X的一个覆盖。对任意x∈X，如果x至多包含在U的k个元素中，则称k为覆盖U的重数。设R＞0，对X中任意一个以R为半径的球B(R)，如果B(R)至多与U中的n个元素相交，则称n为覆盖U的R-重数。设L＞0，如果X中任意一个半径不超过L的球都能包含在覆盖U的某个元素中，则称覆盖U的勒贝格数为L。如果对任意U，V∈U，U≠V，我们有d(U，V)＞L，则称覆盖U是L-分离的。设k≥0，L＞0，如果存在覆盖U的一个划分U=U0∪U1∪⋅⋅⋅∪Uk且每个Ui，i= 0，1，⋅⋅⋅，k，是L-分离的，则称覆盖U是(k，L)-分离的。

注意到，如果X的覆盖U是(k，2L) -分离的，则U的L-重数≤k+ 1。令

若X的覆盖U的L-重数≤k+ 1，则覆盖UL的重数≤k+ 1，勒贝格数为L。

我们将用到下面重要的结果。

引理1［13］设X为度量空间，U={Ui}i∈I是X上重数为k，勒贝格数为L的覆盖，则存在从属于覆盖U的单位分解{φi}i∈I使得对任意x，y∈X，有

2 纤维保持性

在这一部分，我们来证明强嵌入的一个非常重要的性质叫作纤维保持性。和强嵌入的其他性质相比，纤维保持性更加微妙。

定理2设X和Y是两个度量空间，f：X→Y是一个扩张映射，Y具有性质A。如果对Y的任意覆盖{Ui}i∈I，X的子空间族{f-1(Ui) }i∈I是等度可强嵌入的，则X是可强嵌入的。

证明：我们先给出R，ε＞0。

由于映射f：X→Y是扩张的，则存在S＞0 使得当x，x′ ∈X，d(x，x′)≤R时，我们有

因为Y具有性质A，由性质A 的一个等价定义［14］知，存在Y的一个一致有界的覆盖U={Ui}i∈I，{φi}i∈I是从属于覆盖U的单位分解且满足

其中y，y′ ∈X，d(y，y′)≤S。

对每个i∈I，我们定义φi=φi∘f。显然，{φi}i∈I是X上从属于覆盖{f-1(Ui) }i∈I的单位分解。当x，x′ ∈X，d(x，x′)≤R时，d(f(x)，f(x′))≤S，所以

由定理1 知，X是可强嵌入的。证毕。

推论1设X和Y是两个度量空间，f：X→Y是李普希茨映射。群G分别等距作用在X和Y上，且在Y上的作用是传的（transitive），f是G不变的。假设Y具有性质A，如果存在y0∈Y使得对每个n∈Ν，逆像f-1(B(y0，n))是可强嵌入的，则X是可强嵌入的。

证明：因为Y具有性质A，则存在Y的一个一致有界的覆盖U={Ui}i∈I。

注意到G在Y上的作用是等距和传递的，则存在n∈Ν 和gi∈G使得对任意i∈I，我们有giUi⊆B(y0，n)。

注意到

则子空间族{f-1(Ui) }i∈I等距于f-1(B(y0，n))的一族子空间。

由于f-1(B(y0，n))是可强嵌入的，则{f-1(Ui) }i∈I是等度可强嵌入的。由定理2 知，该推论成立。证毕。

有限渐近维蕴含着性质A，自然有限渐近维也蕴含着强嵌入。下面我们给出这个结论的一个自然的推广。

定理3设X是一个度量空间。如果对任意σ＞0，存在X的一个(k，L)-可分离覆盖U，且满足k2+ 1 ≤Lσ，U是等度强嵌入的，则X是可强嵌入的。

证明：对任意R，ε＞0。假设σ＞0 满足

则对任意整数k≥0，我们有

由命题中的条件，我们得到：存在X的一个(k，2L)-可分离覆盖U使得U是等度可强嵌入的，且

注意到覆盖UL的重数≤k+ 1，勒贝格数为L。

由于UL与U是粗等价的，所以UL是等度可强嵌入的。

由引理1 知，存在从属于覆盖UL的单位分解{φU(L)}U(L)∈UL使得对任意x，y∈X，有

特别地，如果d(x，y)≤R，则有

由定理1 知，X是可强嵌入的。证毕。

3 直接极限

在这一部分，我们将证明对于度量空间，强嵌入在直接极限下是封闭的。这个结果不同于文献［11］中的定理4.3。

首先，我们有下面的事实。

引理2设{Xi}i∈I是一族等度可强嵌入的度量空间，如果Yi是Xi的子空间，则子空间族{Yi}i∈I也是等度可强嵌入的。

证明：对每个i∈I，设di是Xi上的度量。

定义映射pi：Xi→Yi为

对任意R，ε＞0，由等度强嵌入的定义知，存在一族映射βi：Xi→(l2(Xi))1。

满足：

（1） 对每个i∈I，βi都具有(R，ε) -变差；

则对每个i∈I，我们定义等距映射αi：l2(Xi) →l2(Yi×Xi)为

其中ζ∈l2(Xi)。

定义映射ξi：l2(Yi) →l2(Yi×Xi)为ξiy(t，s)=αi(βiy)(t，s)其中t∈Yi，s∈Xi。

注意到，对任意y∈Yi，

注意到，对任意y∈Yi，有

则对任意y，y′ ∈Yi，di(y，y′)≤R，有

所以，映射ηi具有(R，ε) -变差。

另外，

因此，{Yi}i∈I是等度可强嵌入的。证毕。

引理3设c＞0，{Xi}i∈I是一族度量空间，对每个i∈I，Yi是Xi中的c-网。如果{Yi}i∈I是等度可强嵌入的，则{Xi}i∈I也是等度可强嵌入的。

证明：这个命题的证明过程和文献［11］中引理5.2 类似，所以我们不再详细阐述。证毕。

定理4设X1⊆X2⊆X3⊆⋅⋅⋅是一列有界度量空间，令X=∪n=1∞Xn，X的任何有界子集都包含在某个Xn中。如果是等度可强嵌入的，则X是可强嵌入的。

证明：令L＞0。由于每个Xn是有界的，则对任意度量空间Xnk，总能找到Xnk+1使得

这样，我们可得到{Xn}的一个子序列{Xnk}满足

对每个k≥1，令

那么，我们就得到X的一个覆盖的重数至多是2，勒贝格数至少是L。

由于Xnk+1/Xnk是Xnk的子空间，序列{Xnk} 是等度可强嵌入的，由引理2 知，{Xnk+1/Xnk} 也是等度可强嵌入的。注意到，对任意k≥1，Xnk+1/Xnk是Uk中的L-网，由引理3 知，是等度可强嵌入的。对任意R，ε＞0，由引理1 知，存在从属于覆盖U的单位分解{φi}i∈Ν使得对任意x，y∈X，有

我们可以使得L充分大，不妨假设则当d(x，y)≤R时，我们有

由定理1 知，X是可强嵌入的。证毕。