精心设计问题，让知识自然生长

朱明明

同構作为一种重要的数学解题方法，在解决一些数学压轴试题时大显身手，以其精巧的结构同化构造化繁为简，起到“四两拨千斤”的效果．因此，同构方法也越来越引起广大师生的重视．然而，笔者发现，在教学实践中，大多老师往往给出若干种固定的同构模型，把同构方法作为一种变形技巧要求学生掌握，让学生通过套用现成的同构模型去解题．这种做法虽然有一定的效果，但由于学生并未真正理解知识源头与生成过程，在遇到陌生问题时学生往往手足无措，一筹莫展．笔者在教学中探索通过精心设计问题，让“同构”知识通过学生的自主活动自然生长，使学生在同构知识研学的过程中思维达到应有的深度，收到了较为理想的教学效果．现将教学案例记述如下，与同行共同探讨．

1.从简单问题入手，让学生感受同构方法魅力

先看两道大家熟悉的问题（投影）：

通过本题分析引导学生发现，在指对共存型的恒成立问题中巧妙地使用同构法，能够大大地简化解题过程、回避繁琐的计算．思路1先根据指对式的一致性（互化）进行变形后，发现式子中局部的一致性，进而进行同构；思路2和3则是先通过局部运算对式子进行整理，然后再利用指对式的一致性进行变形得到同构形态．同构法重在观察，巧在构造，质在转化．从某种意义上来讲，指对的跨阶同构最根本的思想是转化与化归，从局部的运算、变形，到适当的配凑，最终达到转化成“同一结构”的目标．

同构作为一种“巧妙”的解题方法，实则通过分析代数式的结构特征，揭示式子间的内在联系，挖掘其中蕴藏的同型与共性，并通过构造相同（或相似）的结构模型实现问题的求解，从而同构法在解方程（不等式）、证明不等式、比较大小、数列乃至解析几何等方面都有着广泛的应用．本节课从教材习题出发，从简单的问题入手，让学生在感受同构的方法魅力的基础上将问题进一步深化，让学生在仔细观察其外形结构的基础上深入剖析其本质属性，理解同构的底层逻辑，有利于学生把握同构转化的内在本质；最后通过高考真题赏析，让学生领略同构的别样风采．这样的处理方式，让学生从知识的底层逻辑剖析，有助于培养学生观察能力、想象能力、构造能力和创新能力，有效提升学生的数学学科素养．

参考文献

［1］冯光文.重视课本研究 探寻考题来源［J］.中学数学研究，2022（江西师大），（9）：24-26.

［2］符晓燕.关于高中数学同构问题的思考［J］.数学之友，2021，（4）：80，83.

（本文为江苏省南通市教育科学 “十四五”规划2021年度立项课题《基于深度学习的高中数学研学课堂建构研究》（批准文号：GH2021142）阶段成果． ）