经历建模过程 培养模型意识

经辉

【摘 要】一个系统的数学建模过程，就是从数学的角度观察具体情境中的现象、提出具体问题，进而运用数学的思想解释现象、构建模式，然后再处理具体现象，最后用数学语言加以表述。本文从“任务驱动，运用模型解决问题；图形结合，形成算法感悟模型；异中求同，优化算法建构模型；多维沟通，算法关联完善模型”四个方面阐述“分数除以整数”这节课中关于培养模型意识的一点做法及思考。

【关键词】数学教学 建模思想 模型意识

小学阶段偏重于培养学生的“模型意识”，即对数学模型的初步感悟、运用，而初中阶段偏重于培养学生的“模型观念”。数学建模是数学研究的主要方法之一，建模思维是数学的基础思维之一。一个系统的数学建模过程，就是从数学的角度观察具体情境中的现象、提出具体问题，进而运用数学的思想解释现象、构建模式，然后再处理具体现象，最后用数学语言加以表述。

“分数除以整数”是苏教版数学六年级上册第四单元“分数除法”的起始课。运算课要处理好算理和算法的关系。算理解决为什么这样算的问题，算法解决怎样算的问题。只有在理解算理的基础上得出算法，继而优化算法，熟练算法，才是计算教学的基本路径，也是培养学生计算课模型意识的需要。

片段一：任务驱动，运用模型解决问题

课件出示：说一说数量关系，并根据数量关系列式。

（1）量杯里装有800毫升果汁，平均分给2个学生，问每个学生饮用了多少毫升果汁？

（2）量杯里装有0.4升果汁，平均分给2个学生，问每个学生饮用了多少升果汁？

（3）量杯里装有升果汁，平均分给2个学生，问每个学生饮用了多少升果汁？

师：请同学们先说一说，再完成学习单。

生1：我选第（1）题，总毫升数÷学生数=每个学生饮用的毫升数，算式是800÷2=400（毫升）。

生2：我选第（2）题，总升数÷学生数=每个学生饮用的升数，算式是0.4÷2=0.2（升）。

生3：我选第（3）题，总升数÷学生数=每个学生饮用的升数，算式是 ÷2。

师：这三题有什么相同点？

生1：数量关系都是相同的，都是把总数平均分成两份，求每份是多少。

生2：如果将一整数或小数平均分为多份，求每份是多少，应该用除法求解。

生3： ÷2算式虽然没学过，但我可以想办法解决。

【思考】教师精心设计一个“分果汁”的大问题情境，将整数除以整数、小数除以整数和分数除以整数融入教学素材中，目的是改变学生被动学习的状态，促使学生积极调动已有的知识储备来解决问题，并主动进行知识关联，建构知识结构。这3个问题的解决都运用了“总数÷份数=每份数”这一数量关系模型，问题（1）（2）无论是数量关系还是算法都是学生已经掌握的，将问题（3）纳入学生熟悉的问题情境与数量关系的模型中，将旧知识与新知识、旧经验与新经验建立联系，借助已有经验解决新问题的这一过程其实就是运用已有模型解决问题的过程，并且将已有模型由整数除以整数、小数除以整数扩展到分数除以整数，以后还会扩展到整数除以分数、分数除以整数。这一片段的设计能促进学生思维方式、知识结构和情感态度价值观的相互作用，使学生建构有结构的、发展的认知系统，并体会到模型的价值。

片段二：图形结合，形成算法感悟模型

师： ÷2可以怎样计算呢？先在作业纸上分一分、涂一涂、写一写，然后再在小组内、课堂中交流自己的思路。

各小组汇报。

小组1：把分数化成小数，升=0.8升，接着用0.8÷2=0.4（升）。

小组2：把單位升转化成毫升：升=800毫升，接着用800÷2=400（毫升）。

小组3：结合图1，横着分，利用整数除法的意义，可以理解为把升平均分成2份，就是把4个（计数单位）平均分成2份，每份有2个，就是。

小组4：结合图2，竖着分，就是把分数的分子分母同时扩大2倍，=，分数单位是，把8个平均分成2份，每份有4个，就是。

师：从这两组同学的发言中，我们不难发现，除法计算就是把计数单位不断细分。

小组5：结合图2，我们组有不同的理解。把平均分为2份，求每份是多少，就是求的，也就是× ，所以 ÷2= × =。

图1图2

师：同学们的算法真多，你们分别是怎样算的呢？

生交流。

师（小结）：分数除以整数，可以转化成我们曾经学过的整数除法或小数除法；可以用分子除以整数作分子，分母固定不变；可以将除以某个数转化成乘这个数的倒数。

【思考】自主探索是学生感悟的基础。针对小学生的思维特性，教师可以采取手脑并用、数形结合的教学策略，有意识地把“图”和“式”对照起来并加以分析与讲解，有助于学生建立图像语言与数学语言之间的紧密联系，从而有效降低难度。教学中，教师放手让学生自主探索计算方法，再引导学生用已有的知识和经验解释自己的思考过程，学生由具体情境中的数量过渡到从计数单位的层面认识和解决分数除以整数，感受到分数除法也是像整数除法、小数除法一样将计数单位不断细分。可见，学生的思维从具体逐步走向抽象。学生因为经历了充分的探究，所以能产生多种计算方法，多种计算方法的交流也能使学生充分感受到迁移转化的思想。

片段三：异中求同，优化算法建构模型

层次一：自由选择算法

出示： ÷ 2， ÷ 4， ÷3， ÷3

师：请同学们在作业单上独立计算。

展示算法：

÷2=1.2÷2=0.6             ÷4==

÷3= =         ÷3= × =

师：刚才，同学们有三种不同的算法，上面的每一道题都可以有三种不同的算法吗？请同学们先小组讨论。

生交流。

小组1：÷2不能转化成整数除以整数，因为不是在具体的问题情境中。其他几种方法都可以。

÷2＝＝

÷2= × =

小组2：÷4同样因为不是在具体情境中，不能转化成整数除以整数，也不方便转化成小数，可以用乘这个数的倒数的方法来做。

÷4= × =

小组3： ÷3与÷2的算法一样，有三种算法。

小组4： ÷3只有一种算法。

小组5：我们发现有些方法并不是对所有的题都有用，但是转化成乘整数倒数的方法对这四道题都有用。

……

层次二：选择合适的算法

师：分数除以整数，都能转化成乘这个整数的倒数吗？尝试用这种方法计算以下各题。

出示： ÷4， ÷2， ÷1， ÷5， ÷6， ÷n

呈现算法：

÷4= × =÷2= × =

÷1= ×1=÷5= × =

÷6= × =÷n= × =

生交流。

生1：我认为分数除以整数都可以转化成乘这个数的倒数。这6道题和前面的几道题都可以。

生2：我想知道这个n可以表示什么数？

生3：可以表示任何数。

生4：我认为n不能表示任何数，0就不可以，0不能作除数，也不能作分母。

生5：n可以表示除0外的任何数。

生6：分数除以一个数（0除外）一般都可以用分数乘这个数的倒数来计算。

师：分数除以整数（0除外）通常可转换为乘这个数的倒数，也就是说分数除以某个数相当于乘这个数的倒数。

【思考】运算训练是数学运算教学的重要内容，是学生掌握基本知识、基本技能和提高能力的重要手段。数学运算既然是一种技能，就需要学生在不断的练习中巩固，并掌握一定的计算技巧，从而提高计算的速度和正确率。层次一，让学生自由选择算法，明确分数转化成整数只能适用于具体情境中，分数转化成小数和“用分子除以整数作分子，分母不变”这两种方法也有局限，如 ÷3这题就不适用。通过交流对比，学生感悟到分数除以整数都可转换成乘这个数的倒数来运算；层次二，用层次一中习得的一般算法进行训练，特别是 ÷5、 ÷6、 ÷ n这一题组的练习，把许多最简单的一般方法，逐步上升到一类型题的计算，并从不同的算式中找寻到一般方法：将分数除以一个数，和乘上这个数的倒数建立联系。这是学生在大量的计算及不断的思考中，逐步形成的数学运算模型。

片段四：多维沟通，算法关联完善模型

（一）沟通联系，推广算理

出示：填一填，说说你有什么发现。

÷2= × =

800÷2=800×（  ）= （  ）

0.4÷2=0.4× （  ）=（  ）

生回答：

800÷2=800× =400

0.4÷2=0.4× =0.2

师：你发现了什么？

生：整数除以整数，小数除以整数也都可转化成乘这个数的倒数来运算。

师：不管是整数、小数还是分数除以整数（0除外），都相当于乘这个整数的倒数。

（二）沟通对比，完善结构

出示：算一算，比一比。

÷2 ÷12 ×3 ×2

×2 ×12 ÷3 ÷2

師：独立思考，同桌验证。

师：说一说在计算时，你有什么要提醒大家的？

生：在计算时，一定要看清运算符号，千万不要把分数乘整数也转化成乘这个数的倒数。

（三）联系生活，纵向延伸

出示：一架客机在4秒飞了千米， ？

师：你能提一个问题并解答吗？

生1：我的问题是，这架客机平均1秒钟飞行多少千米？

列式： ÷4= × =。

生2：我的问题是，平均每千米需要飞行多少秒？

列式：4÷ 。

师：分数除以整数等于乘这个整数的倒数，那么整数除以分数又该怎么计算呢？下节课我们接着学习。

【思考】对比沟通是一种判断不同事物或事件存在的差异的数学思考方式，教师要注意运用对比式题组，让学生不断加深对计算方法的认识，感受内在关联，发现一些计算的一般方法，从而提高灵活选择计算方法的能力。 ÷2= × =，800÷2=800×（ ）=（ ），0.4÷2=0.4×（ ）=（ ），以这三题呼应开头，横向比较，通过观察思考三种运算方法的共性，可以找到关于整数除法、小数除法，还有分数除法的算理与方法上的共同点。后面几组题目，主要是分数乘法与分数除法的纵向比较，明确乘除法计算的异同，打通乘除法之间的关系。分数除法计算包含本节课学到的分数除以整数，以及下节课要学到的整数除以分数和分数除以分数，最后两题的设置，意在帮助学生深入了解分数除以整数的概念，掌握分数除以整数的计算模型，提升他们对整数除以分数算法迁移的探究能力。

数学是一门实用性和工具性都很强的基础课程，教师把模型意识渗透到日常课程中，能够更进一步地帮助学生了解数学知识。运用现有的数学模型可以使问题简单化，能够充分调动学生的主观积极性，提高解题的能力。这就要求教师有模型意识，通过训练学生的模型思维，让他们认识到模型思维的简便性与适用性，使其养成使用模型解决实际问题的良好习惯。