一道导数压轴题的“异构”妙解

范明辉

一、试题呈现

（2022年第七届湖北省高三调研模拟考试第22题）已知函数f（x）=xex－1，g（x）=a（lnx+x）.

（1）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求正实数a的值；

（2）证明：x2ex>（x+2）lnx+2sinx.

二、试题分析

本题属于探索创新情境，以指数函数和对数函数为载体，考查导数在不等式恒成立求参数值的问题以及证明不等式的问题中的应用，涉及到函数的单调性、极值、最值等知识，对学生的数学运算能力、逻辑推理能力以及分类讨论的思想，考查理性思维和数学探索的学科素养.

三、异构妙解

思路分析：第（1）问，将函数表达式代入可得xex－a（lnx+x）－1≥0恒成立，对代数式“xex”进行朗博变形可得xex=elnx·ex=ex+lnx，结合导数问题中常用的切线不等式ex≥x+1，可构造为［ex+lnx－（lnx+x）－1］+（1－a）（lnx+x）≥0，易知前部分ex+lnx－（lnx+x）－1≥0，而余量函数y=lnx+x在（0，+∞）上单调递增，且值域为（－∞，+∞），故系数1－a=0，即a=1.

注：所谓“朗博变形”是指利用指数运算和对数运算法则，将形如aex（a>0）代数式中ex的系数a变形成elna，进一步将aex变形成aex=elna·ex=ex+lna.这种变形技巧被称为“朗博变形”，通常搭配母函数y=ex－x－1（即利用函数y=et及其在t=0处的切线y=t+1得到的切线不等式et≥t+1，将不等式移项得到母函数y=et－t－1）进行异构配凑，配凑的结果即aex=ex+lna=ex+lna－（x+lna）－1+x－lna+1，这里的代数式ex+lna－（x+lna）－1与et－t－1是同构的，都是非负的，至于多出来的余量x－lna+1需结合具体的题目进行配凑.

第（2）问，将待证不等式移项变形得x2ex－xlnx－2lnx－2sinx>0，观察到前两项中含公因式x，提取之后同（1）进行朗博变形得x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2+x－2lnx－2sinx>0，

对于后面出现的x2－2lnx项，可以联系常用的切线不等式x－1≥lnx，将其变形为

x2－1－lnx2≥0，此时还剩下x+1－2sinx，结合正弦函数的性質可知x－sinx≥0，1－sinx≥0，则待证不等式转化为证明

x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2－1－lnx2+x－sinx+1－sinx>0.

这种将原复杂函数通过恒等变形转化为多个不同的简单函数的构造方法就是异构.

解析：（1）记h（x）=f（x）－g（x）=xex－1－a（lnx+x）（x>0），则

h′（x）=x+1x（xex－a），记φ（x）=xex－a（x>0），则φ′（x）=（x+1）ex>0，

故φ（x）在（0，+∞）上单调递增.令φ（x）=0，则lnx+x=lna.

当a=1时，x0>0，使得x0+lnx0=0，∴φ（x）在（0，x0）上为负，在（x0，+∞）上为正.∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增.∴h（x）≥h（x0）=0，符合题意.

当a>1时，x1>x0，使得x1+lnx1=lna，∴φ（x）在（0，x1）上为负，在（x1，+∞）上为正.∴h（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增.∴h（x1）

当a<1时，x2

（2）即证x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2－1－lnx2+x－sinx+1－sinx>0，记F（x）=ex－x－1（x∈R），则F′（x）=ex－1，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.∴F（x）≥F（0）=0，即ex－x－1≥0，∴ex+lnx－（lnx+x）－1≥0，当且仅当x0+lnx0=0时取等号.

记G（x）=x－1－lnx（x>0），则G′（x）=1－1x=x－1x，∴G（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增.∴G（x）≥G（1）=0，即x－1－lnx≥0，∴x2－1－lnx2≥0，当且仅当x=1时取等号.

记H（x）=x－sinx（x>0），则H′（x）=1－cosx≥0，∴H（x）在（0，+∞）上单调递增.∴H（x）>H（0）=0，即x－sinx>0.又1－sinx≥0，当且仅当x=π2+2kπ（k∈Z）时取等号，故有ex+lnx－（lnx+x）－1≥0，当且仅当x0+lnx0=0时取等号；

x2－1－lnx2≥0，当且仅当x=1时取等号.

∴x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2－1－lnx2+x－sinx+1－sinx>0，故原不等式得证.

四、小结反思

以上解法中，第（2）问的异构解法尤为美妙，主要依托于常用的不等式ex－x－1≥0，x－1－lnx≥0以及三角函数的性质，通过对待证不等式进行恒等变形，化归为证明熟悉的不等式，将未知向已知转化.但是，异构法难于构造，难于转化，这需要在平时多加训练，掌握常用的不等式.一旦熟练掌握异构法，解决导数中的不等式证明问题及恒成立问题将会显得容易.