从试验到论证

金永涛

数学试验，是在综合解决学习任务时，根据问题情境，构造出具体的实例或反例、发现或猜测实例蕴含的性质，通过进一步检验、归纳与推广等过程，实现对学习任务的深刻理解的数学学习活动.数学试验，要从观察数学对象开始，是数学学习、数学探究与数学研究的基础.

高中阶段对数列的研究是以“背景——概念（定义、表示、分类）——性质——特例”为基本架构，其中“特例”是指等差数列、等比数列这两类有明确的现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值的数列，对它们的研究按照“背景——概念——表示——性质——求和公式——应用”的路径展开.在研究一个具体的数列时，先要识别它是否为等差数列或等比数列；如果不是，可否将其转化为这两类特殊数列；问题中的数列与两类特殊数列具有哪些联系，怎么应用它们之间的联系思考、解答问题；如何应用数列的研究方法，探究與思考数列问题等.数列是一类特殊的函数，在思考数列问题时，要关注自变量的离散性和有序性，重视应用数学试验探究，积累数学活动经验并解答问题.

三、思考与感悟

数学试验是研究数列的重要方式，对于复杂的数列问题，直接进行推理论证是困难的.数学试验，既是准确把握题目信息、深入认识数列规律的重要方式，也是探索研究思路和具体解决方法的基础.数学试验不能只停留在对数学对象的感性认知层面，还要对数学对象的内在规律进行深层次的探究，并借助推理论证、数学运算实现对数学对象的性质、规律的严谨说理.

在求解数列问题时，要重视对数列基本特征的认识和理解，这是有效解答数列问题的根本.通过将数列的递推关系转化为特殊数列（等差数列、等比数列）的关系，或构建起其与特殊数列的内在关联，进而应用典型方法（如公式法、迭代法等）求解数列的通项公式及前n项和.在解题过程中，不仅要准确掌握并应用递推关系、通项公式与前n项和公式思考并解答问题，还要有意识地构建、形成数列的学科观点——递推关系与前n项和也是一个数列，以数列的视角看待递推关系与前n项和，系统掌握数列问题的研究方法.