掌握图形图像表征策略,提升解决真实情境复杂问题的能力

黎国胜 罗 恒

(四川省双流中学)

本文结合典型例题介绍利用图形图像表征的两种策略,可以帮助学生打通思维堵点,快速高效地解决复杂问题。

1.利用点线等几何图形表征物体的运动过程

1.1 原题呈现

将图1(a)中的蹦床简化为图1(b)所示的弹簧,当质量50 kg的运动员站在蹦床上静止时,弹簧的上端由O点压缩到A点。现将比赛过程分为两段,过程1：运动员从A点开始,通过多次起跳,在空中完成动作,且越跳越高,直至重心达到距O点高为6 m的最高点(此时运动员的速度为零);过程2：运动员在最高点结束表演,此后不做任何动作,多次往返,最后静止在蹦床上,弹回过程中重心与O点最大高度差为4.1 m。若整个过程中运动员所受空气阻力大小恒为重力的0.2,重力加速度大小为10 m/s2。则 ( )

图1

A.过程1中运动员能够越跳越高,是因为弹簧对运动员不断做正功

B.在过程2的每一次单向向上运动过程中,运动员的速度最大时弹簧的上端都处于A点下方

C.过程2中从开始下落到弹至重心距O点高4.1 m处,运动员克服空气阻力做的功为1 010 J

D.过程2中,弹簧的最大弹性势能为2 280 J

1.2 试题疑难分析

(1)对蹦床模型的认识与理解,即对运动员在蹦床上的大致运动阶段以及各阶段临界状态模糊不清;

(2)各选项所涉及问题无法与所学知识有效联系,即问题表征与解题策略的选择,比如A选项弹力做功正负情况的判断,B选项运动员速度最大时弹簧的上端位置以及CD选项中力所做的功和最大弹性势能与所学的什么知识有联系等;

(3)对题目中运动员的“重心”的理解,尤其是与“重心”相关的几个位置,比如,运动员脚底的位置、在蹦床上静止时的平衡位置、弹簧原长的位置以及运动员重心的位置与变化(尤其是重心的最高与最低位置及其变化)等,对于学生是否能正确、有效表征问题有重要影响。但解决此题并非所有条件都是必要的,因此,学生还应具备从众多信息中抓住“主要矛盾”,忽略“次要因素”的能力。

图2为利用图形表征该问题的步骤。分析运动员的运动过程时,首先要明确运动员不能看成质点,因为运动员有身高,而且题目中明确了重心的变化。在画运动过程示意图时,我们重点关注几个关键位置：重心的最高位置和最低位置(用几何点表征),弹簧原长位置(O点)及弹簧的最低位置(用点表示),运动员静止时的位置(A点)。本题的难点在于,初始时刻运动员的重心位置在弹簧原长的上方还是下方,无法判断,可以假设。

图2 利用图形的问题表征过程及解题方法的选择

A选项：“运动员能够越跳越高”,对应的过程不止一次地上下运动,而应是多次落下来再弹上去。下落过程从接触弹簧到速度减为零,弹簧对运动员做负功,运动员的机械能转化为弹簧的势能。反弹上升的过程,弹簧对运动员做等量的正功,弹簧的势能又全部转化为运动员的机械能。因此,运动员越跳越高的原因肯定不是弹簧做正功的结果,从能量转化的角度看只能是运动员内力做功的结果,消耗了运动员的生物能。一些学生想当然地认为上升过程,弹簧对运动员做了正功,所以运动员越跳越高,说明这些学生能量转化的物理观念还没有真正建立起来,也缺乏应用能量转化的观念去分析生活现象的能力。

B选项：运动员静止时,重力与弹力等大反向,二力平衡。运动员向上运动的过程中,速度最大时受重力、弹簧的弹力、竖直向下的空气阻力,三力平衡,画出受力如图3所示,易知弹簧弹力变大了,弹簧压缩量更大,此位置应该在A点的下方,B正确。

图3 运动员向上运动的受力示意图

1.3 利用图形表征求解CD选项

根据题意,将蹦床简化为弹簧,运动员站在蹦床上静止时,弹簧的上端由O点压缩到A点,示意图如图4所示,其中W表示运动员重心的位置,由于现在尚不清楚重心的位置,暂假设静止时运动员的重心位于O点上方。再将题目中所描述的运动员比赛过程1与过程2简化为如图5所示的运动过程示意图,其中B点为重心距O点的最高点,H=6 m,C点为弹回过程中重心距O点的最高点,h=4.1 m。

图4 构建蹦床的弹簧模型

图5 点线等表征运动员的运动过程

对于C选项,在过程2中,根据图5,运动员从B到C过程,由动能定理有mg(H-h)-Wf=0,代入数据可得运动员克服空气阻力做的功Wf=950 J,C错误。

对于D选项,由于运动员从B处下落至压缩弹簧到最低点处时,运动员重心位置暂不能确定,可假设运动员从B处至重心与O点齐平后,重心继续下落至D点且O、D两点高度差为Δh,并将从B到C的运动示意图简化为如图6所示。运动员从B到D,根据功能关系有mg(H+Δh)-f(H+Δh)=Ep弹。运动员从B到C,根据动能定理有mg(H-h)-f(H+h+2Δh)=0,代入数据,可解得Ep弹=2 280 J,D正确。值得注意的是Δh=-0.3 m,其中负号表示运动员运动到最低点时,其重心位置位于弹簧原长位置O点上方,因此,运动员静止时重心W也位于O点上方。

图6 运动员从最高点下落至弹回最高点的图形表征

2.用速度—时间图像表征物体的运动规律

2.1 原题呈现

如图7,用水平传送带向右运送货物,传送带左、右端点A、B间距为L=24.5 m,木箱质量M=1 kg、长度d=1.5 m。现将质量m=2 kg的货物放入静止的木箱,木箱左侧位于A端,货物恰与木箱左侧壁接触。放入货物后,传送带由静止开始依次做匀加速运动、匀速运动和匀减速运动直到静止,木箱在传送带匀速运动中的某时刻与传送带共速,且停止运动时其右侧刚好在B端,该过程中,传送带减速段、加速段的加速度大小均为a0=4 m/s2,最大速度v0=4 m/s。已知木箱与货物间的动摩擦因数μ1=0.1,木箱与传送带间的动摩擦因数μ2=0.2,重力加速度大小g=10 m/s2。货物可视为质点,货物与木箱间的碰撞为时间不计的完全非弹性碰撞,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：

图7

(1)传送带加速运动过程中,货物对木箱侧壁的压力大小;

(2)传送带减速运动过程中,系统因摩擦产生的热量;

(3)传送带匀速运动的时间。

2.2 试题疑难分析

(1)货物、木箱和传送带运动状态以及各个运动阶段分界点的判断;

(2)货物、木箱以及传送带各自对地位移与相对位移(或相对路程)的计算。

上述疑难点均可通过利用图形、图像进行表征,使问题更加清晰与明确。

图8为利用图形表征该问题的步骤。解决该问题时,首先应该明确研究对象,即传送带(以传送带上A端的点为研究对象)、木箱与货物。其中传送带由电动机带动,其运动状态分为匀加速、匀速与匀减速三个阶段。对于木箱与货物的运动状态必须结合受力分析进行判断,而受力分析时应灵活选用整体法与隔离法对运动状态进行确定。

图8 图形、图像表征过程

对于第(1)小问,根据受力分析示意图,利用牛顿运动定律即可顺利解决。第(2)小问将研究过程聚焦于传送带匀减速阶段,而对货物与木箱的运动情况的分析是解题的突破口,由于题设条件尚无法明确判断二者的运动情况,故而采用了假设法,这是一种常用且有效的方法。对于第(3)小问,在解决(1)(2)小问的基础上,利用题设已知条件,作出全过程、各阶段,货物、木箱以及传送带的位形图,传送带匀速运动的位移由几何关系可快速得到,问题便迎刃而解。

2.3 利用图形、图像表征的具体解题过程

(1)解法一

Ⅰ.传动带匀加速运动阶段

传送带启动后向右做匀加速运动,货物和木箱一起相对于传送带向左滑动,对于货物和木箱,分别采用整体法与隔离法对货物和木箱整体以及货物进行受力分析,其受力分析示意图如图9所示。对于货物和木箱整体,由牛顿第二定律有μ2(M+m)g=(M+m)a,代入数据解得a=2 m/s2。对于货物,因μ1=0.1,仅靠静摩擦力提供的最大加速度为μ1g=1 m/s2,所以木箱对货物的静摩擦力不仅达到最大值,且左侧壁对货物还施加有压力F。对于货物,由牛顿第二定律有μ1mg+F=ma,根据牛顿第三定律,货物对木箱侧壁的压力大小为F′=F=2 N。

木箱与货物整体受力分析示意图

货物受力分析示意图

图10 传送带与木箱和货物均加速结束时位置示意图

Ⅱ.传动带匀减速运动阶段

欲求解此过程中,系统因摩擦产生的热量,必须清楚货物、木箱以及传送带之间的相对运动情况。在此过程中,可知货物一定相对于木箱向右滑动,而木箱是否相对传送带滑动需进行判断,不妨假设木箱会相对传送带滑动,分别对木箱以及传送带进行受力分析,示意图如图11所示。根据牛顿第二定律,对木箱、货物分别有μ2(M+m)g-μ1mg=Ma2,μ1mg=ma1代入数据解得a1=1 m/s2,a2=a0=4 m/s2,故而木箱相对传送带静止且一起做减速运动。

木箱受力分析示意图

图12 传送带静止时位形图

Ⅲ.传动带匀速运动阶段

(2)解法二：利用v-t图像

通过受力分析与运动分析,在同一坐标轴上分别做出传送带、木箱、货物以及木箱与货物的v-t图像,如图14所示。其中OA段表示传送带匀加速运动阶段,OB段表示木箱与货物一起匀加速运动阶段,BC段表示三者共速且匀速运动阶段,CD段表示木箱与传送带一起匀减速运动阶段,CE段表示货物减速运动阶段,EF段表示货物与木箱完全非弹性碰撞瞬间,FG段表示货物与木箱一起匀减速运动阶段,G点所对应时刻木箱右侧恰好位于传送带右端B点处。根据v-t图像与横坐标所围成的面积可得传送带、木箱及货物各个过程运动位移,其余步骤同解法一。

图14 全过程v-t图像