L-fuzzy逆子半群

赵立军 赵晗

文章编号：1003?6180（2023） 03?0005?03

摘  要：给出[L]-fuzzy子逆半群和[L]-fuzzy弱逆子半群的定义，借助[L]-Fuzzy集的截集给出其等价刻画.

关键词：[L]-fuzzy子半群；[L]-fuzzy正则子半群；[L]-fuzzy逆子半群；[L]-fuzzy弱逆子半群

[   中图分类号    ]O159 [    文献标志码   ]  A

L-fuzzy Inverse Subsemigroups

ZHAO Lijun1，ZHAO Han2

（1.College of Mathematics and Statistics ，Shaoguan College，Shaoguan 512005 ，China；

2.Mathematics Group， Guangdong Nanxiong School， Nanxiong 512400， China）

Abstract：In this paper， the concept of L-fuzzy inverse subsemigroup and L-fuzzy weak inverse subsemigroup are given. The characterizations of L-fuzzy inverse subsemigroup and L-fuzzy weak inverse subsemigroup are presented by means of cut sets of L-fuzzy sets.

Key words： L-fuzzy subsemigroup； L-fuzzy regular subsemigroup； L-fuzzy inverse

subsemigroup；L-fuzzy weak inverse subsemigroup

1 引言及预备知识

本文给出[L]-fuzzy逆子半群及[L]-fuzzy弱逆子半群的定义，给出[L]-fuzzy逆子半群与[L]-fuzzy正则子半群及[L]-fuzzy弱正则子半群之间的关系，并借助[L]-Fuzzy集的截集给出[L]-fuzzy逆子半群的等價刻画.

本文[L]恒为完全分配格，[M（L）]表示[L]中所有非零并既约元之集，[P（L）]表示[L]中所有非单位素元之集.[X，S]表示非空通常集.[LX]表示[X]上的所有[L]-Fuzzy集的全体 .本文不区别分明集与其特征函数.对空集[??L]，定义[∧?=1]和[∨?=0].根据参考文献[1]， [L]中的每一个元素[a]都有最大极大族和最大极小族，分别记作[α（a）]和[β（a）].记[α*（a）=α（a）?P（L）]，对于[A∈LX]与[a∈L]，沿用参考文献[2]的记号.

[A[a]=x∈XA（x）≥a]，          [A（a）=x∈Xa∈β（A（x））]，

[A[a]=x∈Xa?α（A（x））]，     [A（a）=][x∈XA（x）?a].

定理1[2，3] 设[A∈LX]，则：

（1）[A=∨a∈La∧A[a]]=[∨a∈M（L）a∧A[a]]；

（2）[A=∧a∈La∨A[a]]=[∧a∈P（L）a∨A（a）].

定义1[4] 设[S]是半群，[A∈LS].若[A]满足

[?x，       y∈S，        A（xy）≥A（x）∧A（y）]，

则称为[A]为[S]的[L]-fuzzy子半群.

定理2[[3]]  设[S]是半群，[A∈LS].则下列条件等价：

（1）[A]是[S]的[L]-fuzzy子半群；

（2）[?a∈L，A[a]]是[S]的子半群；

（3）[?a∈M（L），A[a]]是[S]的子半群；

（4）[?a∈L，A[a]]是[S]的子半群；

（5）[?a∈P（L），A[a]]是[S]的子半群；

（6）[?a∈P（L），A（a）]是[S]的子半群.

定义3[7]  设[S]是半群，若[?x∈S，]都存在[x∈S]，使得[xxx=x]，则称[S]是正则半群.记[R（x）={x∈Sxxx=x}].

定义4[7]  设[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），]都存在[x∈R（x）]，使得[A（x）≥A（x）]，则称[A]是[S]的[L]-fuzzy正则子半群.

定义5[7]  设[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），R（x）≠?]且[∨x∈R（x）A（x）≥A（x）].则称[A]是[S]的[L]-fuzzy弱正则子半群.

2 L-fuzzy子逆半群及等价刻画

定义6[6]  设[S]是半群，若[?x∈S，]都存在唯一[x-1∈S]，使得[xx-1x=x，x-1xx-1=x-1]，则称[S]是逆半群.记[I（x）={x-1∈Sxx-1x=x，x-1xx-1=x-1}].

定义7 设[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），]都存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，则称[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

定理3 设[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，则下列条件等价：

（1）[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群；

（2）[?a∈M（L），A[a]]是[S]的子逆半群；

（3）[?a∈P（L），A（a）]是[S]的子逆半群；

（4）[?a∈α（0），A[a]]是[S]的子逆半群；

（5）[?a∈α*（0），A[a]]是[S]的子逆半群.

证明  [（1）?（2）] [?a∈M（L）]， 若[x∈A[a]]，则[A（x）≥a>0]，故[0∈β（A（x））]，从而[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）≥a]，从而[x-1∈A[a]]，故[A[a]]是[S]的子逆半群.

[（2）?（1）] [?a∈M（L），x∈A（0）].若[A（x）≥a，]则[x∈A[a]].由（2）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A[a]]，从而[A（x-1）≥a，][A（x-1）≥A（x）.]故[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

[（1）?（3）?a∈P（L），]若[x∈A（a）]，则[A（x）?a]，所以，[A（x）>0]，从而[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，所以，[A（x-1）?a]，即[x-1∈A（a）].故[A（a）]是[S]的子逆半群.

[（3）?（1）?a∈P（L），x∈A（0）].若[A（x）?a]，则[x∈A（a）].由（3）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A（a）]，所以，[A（x-1）?a]，从而[A（x-1）≥A（x）.]故[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

[（1）?（4）?a∈α（0）.]若[x∈A[a]]，则[a?α（A（x））]，从而[A（x）≠0]，故[0∈β（A（x））]，所以，[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，故[α（A（x-1））?α（A（x））]，从而[a?α（A（x-1））]，所以，[x-1∈A[a]]，故[A[a]]是[S]的子逆半群.

[（4）?（5）]显然.

[（5）?（1）]若[x∈A（0）]，即[0∈β（A（x））]，则[A（x）>0].[?a∈α*（0）]，若[a?α*（A（x））]，由于[a∈P（L）]，从而[a?α（A（x））]，即[x∈A[a]].由（5）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A[a]]，所以，[a?α（A（x-1））]，[A（x-1）≥A（x）].故[A]是[S]的[L]-fuzzy逆子半群.

定义8  设[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，若[?x∈A（0），I（x）≠?]，且[∨x-1∈I（x）A（x-1）≥A（x）].则称[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群.

定理4 设[A]是半群[S]的[L]-fuzzy子半群，则下列条件等价：

（1）[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群；

（2）[?a∈P（L），A（a）]是[S]的子逆半群.

证明  [（1）?（2）] [?a∈P（L）]， 若[x∈A（a）]，则[A（x）?a]，从而[A（x）≠0]，故[0∈β（A（x））]，所以，[x∈A（0）].由（1）知存在[x-1∈I（x）]，使得[A（x-1）≥A（x）]，从而[A（x-1）?a]，即[x-1∈A（a）]，故[A（a）]是[S]的子逆半群.

[（2）?（1）] [?a∈P（L），x∈A（0）].若[A（x）?a，]则[x∈A（a）].由（2）知存在[x-1∈I（x）]，使得[x-1∈A（a）]，从而[A（x-1）?a]且[I（x）≠?]，所以，[A（x-1）≥A（x）.]从而[∨x-1∈I（x）A（x-1）≥A（x）].故[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群. 显然有定理5.

定理5 （1）若[A]是半群[S]的[L]-fuzzy逆子半群，则[A]是[S]的[L]-fuzzy正则子半群，反之不一定成立；

（2）若[A]是半群[S]的[L]-fuzzy逆子半群，则[A]是[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群，反之不一定成立；

（3）若[A]是半群[S]的[L]-fuzzy弱逆子半群，则[A]是[S]的[L]-fuzzy弱正则子半群，反之不一定成立.

参考文献

[1]Wang G J. Theory of topological molecular latticces[J].Fuzzy Sets and Systems，1992，47：351-376.

[2]史福貴.[Lβ-]集合套与[Lα-]集合套理论极其应用[J].模糊系统与数学， 1995，9（4）：65-72.

[3]Shi F G.L-Fuzzy Relations and L-Fuzzy Subgroups[J].The Journal of Fuzzy Mathematics，2000，8（2）：491-499.

[4]Wang G J. Theory of topological molecular latticces[J].Fuzzy Sets and Systems， 1992，47：351-376.

[5] 赵立军. L-Fuzzy子群的L-Fuzzy同态[J].数学杂志，2003，23（4）：503-506.

[6] 史福贵，王国民. L-Fuzzy子群与L-Fuzzy正规子群的表现定理[J]. 烟台师范学院学报：自然科学版，1995，11（1）：16-19.

[7] 赵立军. L-Fuzzy正则子半群的刻画[J].韶关学院学报，2009（9）：1-3.

编辑：琳莉