强化学生的数感

◇陈 永（江苏：沭阳县耿圩中心小学）

2022 年版《义务教育数学课程标准》的最大变化就是让立德树人这一教育根本任务得以落地，课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”），发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”），形成正确的情感、态度和价值观。

新课标指出：义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同。小学阶段，核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。

由此看来，新课标把小学生数感的培养摆在了首位。数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟。能够在真实情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能在简单的真实情境中进行合理估算，做出合理判断；能初步体会并表达事物蕴含的简单数量规律。数感是形成抽象能力的经验基础。建立数感有助于理解数的意义和数量关系，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。

那么在日常课堂教学中，如何根据教材的内容强化小学生的数感呢？

一、在数数中培养数感

小学生数感的培养是1～3 年级数学的重点，在小学生日常生活中通过有意无意的数数活动，让学生知道用数可以表示多少，这样在数数的过程中潜移默化，就会逐渐对数有一个直观感悟。小学生数数的难点是满十进一的进位数，来看这样的例子，十十……，站在孩子角度分析一下为什么会出现十十呢？儿童数数不仅仅是数，还蕴含着简单的推理，所以数数的过程也是数感发展的过程。这是了不起的感觉，来自简单地数数，而且是自我体悟的过程，遇到这样的孩子，教师一定要在第一时间理解孩子的想法，即便你没想到，也应给孩子解释的机会。

再看一万一万地数。四年级数学就有这样一节课，课中教师让孩子自己数，结束后有个孩子站起来说：老师，九万之后为什么是十万啊？当时教室哄堂大笑，觉得这个问题太简单，老师也有点莫名其妙，因为这是个学优生，老师没有忽略他的感受，就让他说出自己的想法，结果他说：根据我们以前学的满十进一的方法，只要满十都要换一个新的计数单位，满十万了该换成什么了呢？你看这个孩子的思考多么深入？他用类推的方法想到要有新的计数单位产生，这就是小学生对数的内心深刻体验。

小学生在学习分数、小数之前，大致经历了三个阶段数的认识：20 以内数的认识、百千数的认识、较大数的认识，这三个阶段对数感的培养各有侧重，20 以内侧重数字，百千数重点是位值，较大数主要是数级。教材中对“位值”的物化主要有两种：一种是小棒，用捆表示十，用根表示一；第二种是点、线、面、体的方格图，借助直观认识数的组成，然后用半抽象的计数器帮助学生建立“位值”的感知、模型；而较大数的认识，主要是建立“数级”的概念，让学生体会“数级”本质是前一阶段的延伸。我们可以借助个级的几千几百几十几推出万级的几千几百几十几万和亿级的几千几百几十几亿，这样的教学，以个级的几千几百几十几个为支撑，逐步升级，让学生在四位一级的不断提升中，获得大数的表象。学生经历三个阶段的学习后，从数字到位值再到数级，数感逐渐丰富起来。

二、在读数中渗透数感

比如233，可表达的就是读写，先从直观的小方块开始，理解它的组成，再抽象成直观到半直观的模型，学生在理解这个数的意义、读出这个数时，经历了对位值的体验，它是从“满十进一”的计数过程的物化开始的。也许有的教师会说，读数也能读出数的感觉吗？请看例题。

5678读作（）千（）百（）十（）；

一个数由5 个千，6 个百，7 个十，8 个一组成；这个数是：（ ）

5678=（ ）×1000+（ ）×100+（ ）×10+（）。

第1 题，会读数的学生都能正确填写；第2题，部分学生就要对照数位顺序表慢慢写了；第3 题，有的学生就不知如何是好了。这样的题目，从许多学生的角度认为是一题比一题抽象形式化。现在将三题放在一起对比，不难发现它们原来是一回事，只要会读数，就应该都能正确回答。那么，为什么却感觉一题比一题难，难度从何而来？就是因为一部分学生虽能正确读出五千六百七十八，却就像小和尚念经，有口无心，并没有意识到五千就是5 个千，就是5×1000……有的学生总在想读数法则，注意力都在想我怎么能把数读正确，而不是边读边理解这个数的组成。

不仅是整数，其实分数也能读出数感。我们来看2/3 怎么写的：先写分数线，再平均分成3份，也就是三分天下的意思，表示其中的2 份，读作三分之二，三份之中的两份，慢慢体会一下，其实读写的过程也就是理解分数意义的过程，反过来说，在读的过程中已经体现了2/3 的意义，即读出了数感的功能。因此我们在教学分数时候，不仅要强调单位1 的等份，更要重视分数和书写顺序，书写过程与分数的生成过程一致，就是确保读与写的一致性。作为数学教师，我们要有意识地设计一些读数活动，帮助学生获得关于分数的感觉，增进对分数意义的理解。

还有分数乘除法的教学，我们来看这样的例子：36×3/4，我们在读算式的过程中就能体会到就是求36的3/4是多少，那计算的时候就很自然地把36 平均分成4 份，再求其中的3 份。分数乘整数的算法就被你读出来了；再看36÷3/4，我们知道除法是乘法的逆运算，这算式就可以理解为已知一个数的3/4 是36，求这个数。根据对3/4 意义的理解，也就是一个数被平均分成4 份，3 份是36，那4 份是多少？学生就能想到先用36除以3求出一份，再乘4份。

三、在比较中发展数感

“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切。”数的大小比较，不仅能让学生理解数，更能加深学生对数的实际意义的理解，学生在比较中有了多、少、多一些、少一些、相当于这样的几倍的认识，使数感得到进一步发展。看似简单，其实包含许多数学思想与数学思考在里面。

让我们先来看4 大于6 的数学故事。6＞4的插图是6 只小鹅与4 只母鹅，尽管画了四条一一对应的虚线，通过实验，发现不少学生还是认为“4 大于6”。他们的理由是1 只母鹅都可能比6 只小鹅大，何况4 只母鹅呢，他们认为4 只母鹅又大又重，怎么可能比6 只又轻又小的小鹅小呢。通过前面我们对抽象的理解，我们应该知道，这就是孩子们没有具备从具体的实物中抽象出数这一能力，因为抽象本身就是比较难的数学素养，就一年级小学生而言，他们还难以彻底摆脱量（特别是质量）对抽象出数的干扰。通过几轮实验下来，最后教师把4 只母鹅改成了4 只小鸭，回避了不同量的干扰。许多年过去了，这个故事之所以会出现在许多场合，我觉得是因为它能给我们很多提醒与思考，更需要教师持续的教学努力。

四、在计算中强化数感

我们的孩子遇到9÷12.5 %，4÷25%这些口算题，一口就能说出它的得数，没有哪个孩子还在进行计算，这都得益于我们对这些0.125，25%这些数的敏感程度；再有就是简便计算125×32，孩子们都能灵活地利用乘法结合律进行巧算，提高计算速度与正确率，有了数感就能灵活地计算，反过来，在计算中进一步强化数感，它是相辅相成的。再看看42 除以3，小棒图先分捆，再分根，也就是从高位除起的道理，帮助学生理解第一次除后，剩下的1 个十和2 个一合起来继续除的算理。在这个过程中，小棒图起到两个作用，首先是将抽象的算式变得直观，将计算法则变得生动；其次，帮助不同层次的学生在认知上找到“齐点”，明白这样计算的道理，较好地掌握除法计算的基本法则。

五、在推理中激活数感

先来看，我们认数都是通过计数单位开始，个、十、百、千、万，那较大的数呢？即使是借助直观的模型学生也很难感受到它的多少，也就是说对于万以上数，依靠几何直观来感受大小效果甚微。那如何建立大数的表象呢？

让我们看《一亿有多大》案例，先复习说说，关于一亿你知道多少？然后让学生先数出100本练习本大约用了90 秒，然后推算：数1 万本大约要用100×90＝9000（秒），数1亿本大约要用9000×10000＝90000000（秒），最后用计算器完成“秒”换算成“年”的运算：90000000÷60÷60÷24÷365≈2.85（年）。

活动结束后问执教者“一亿有多大？”，说不出所以然，最后只能用课本的举例来回答。如：一亿本练习本要数三年。那关于一亿有多大，并没有建立一定的表象。让我们反思这节课，建立一亿有多大的概念主要靠什么？对，推算，就素养而言，你要对一亿有感觉，那只能靠推算获得的一10000 个10000 是一亿，也就是说大数的理解要靠概念、靠推理而不是联系情境了，因为现实情境太大，难以构成数量。

所以教学这节课，我们的立足点不能停留在通过活动培养数感，而是让学生感受真正的数学，数学不靠实验，而是靠推理获得，这才是数学真正的精髓，也是数学最本质的特征。这也是认证推理是数学核心素养的重要方面的典型课例，在数学学习上，如果我们的学生只相信眼见为实，缺少抽象的推理能力，那他在数学这条道路上就很难走得远。

生活是知识的源泉。小学生数感的习得不是一蹴而就的，而是一个长期的过程，这就需要我们抓住生活中的一切机会，引导学生观察生活，发现问题，在生活的探究中寻求解决问题的有效方法。也只有当他们将所学知识与现实生活联系起来，他们才能更好地理解知识、运用知识。小学数学新教材创设了很多生活情境，我们要善于引导学生体会数学知识就存在于每个人的生活中，学会用数学的眼光看待和理解日常生活中的问题，习惯于用数学的知识来感受生活、解决问题，数感才能不断得到提升和培养。让我们在数的世界里徜徉，让小学生的数感培养根植于日常的学习和生活中。