“数学分析”课程启发式教学探索与实践

李晓艳 吴然超

摘  要：“数学分析”课程是数学专业的基础核心课程。熟练掌握该课程的知识内容，对于后续课程的学习、数学能力的提升、数学综合素养的培养具有重要的作用。文章鉴于数学分析课程知识的特点，积极探索启发式教学模式。启发式的教学以学生为中心、以老师为主导，充分发挥学生主观能动性和积极性，有助于数学分析课程的教学与学习，能够训练学生的思考问题、探究问题的能力，有效培养学生的创新能力和数学综合素养，提高教学质量和人才培养质量。

关键词：启发式教学；以学生为中心；教学探索与实践；教学质量

中图分类号：O171    文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2023）14-0050-04

“数学分析”是数学各专业的基础核心课程，是数学各专业学生学习后继各课程的最基础的课程［1-2］。该课程具有完备的知识体系、系统的基础理论、丰富的课程内容，是数学学科长期发展、不断完善而形成的课程体系。该门课程的学习，对于培养学生的抽象思维能力、严密的逻辑推理能力、熟练的计算能力等，具有至关重要的作用；对于本科阶段后续课程的学习起到重要的支撑作用。

“数学分析”的核心内容是微积分，其发展过程大体经过三个阶段。十七世纪科学家牛顿和莱布尼兹在继承前人科学家们的成果基础上，将微积分逐渐发展成为一门系统的学科［3］。经过科学家们将近多两百年的努力，到十九世纪五六十年代，柯西、黎曼及维尔斯特拉斯等数学家们建立了严格的极限理论，严格证明了微积分所有的定义和定理。到了二十世纪初，庞加莱、格拉斯曼、嘉当等数学家创立了外微分形式的语言，形成了现代“数学分析”的基本理论体系。如何让学生理解、掌握并应用好该门课程，是教师一直追求的教学目标和效果。应从加强“数学分析”教学队伍建设、优化教学内容、改革教学过程与方法、创新教学手段等方面进行改革创新，以实现提高教学质量和教学效果的目标和期望，培养学生的数学综合素养，并提升学生创新能力。

一、优化教学内容

近年来，教师在讲授基本知识内容的基础上，不断优化教学内容安排，对课程讲解内容做部分调整和增减，这样做一方面能够与中学数学知识较好地衔接，另一方面，能不断加强与现代应用数学的其他分支的联系，提高学生的学习兴趣而又不加重学生的学习负担，这是数学分析课程教学实践的教学经验总结。

（一）以史为引，了解才能热爱

在教学过程中结合教学内容穿插讲述微积分发展的过程与历史，讲述与教学内容有关的传奇数学与数学家的故事，体会数学之美［4］。例如由兔子问题得到的斐波那契数列；例如最浪漫的函数——心形线背后的数学家的爱情；体会数学中蕴含的哲学思想，例如无穷多个无穷小之和有可能是无穷大，表明量变产生质变等。数学原本在古代就是哲学的分支，许多伟大的数学家也是哲学家，数学的知识体系与发展过程都蕴含着丰富的哲学思想和科学思维。鼓励学生课后阅读数学发展史的书籍，了解是热爱的前提，能够使得学生理解克莱因的那句：“学生学习中遇到的困难，也是这些数学家们遇到的困难”，使得学生能够微笑面对数学的世界，激发对数学学科的学习兴趣与热爱，从容学习本门课程。学完本门课程后，不但学习掌握了理论知识，也能够了解“数学分析”这门课程简单发展历程。

（二）增加中学数学与大学数学的衔接内容

教学内容需要与中学数学内容相衔接，保持连贯性和一致性［5］。中学数学进行了多年的教学改革，教学内容在不断调整，由于高考对数学教学内容的改革，考察得很少。因此，在中学阶段，对逆映射、反函数，参数方法，极坐标与极坐标方程，三角函数公式，反三角函数等知识内容介绍得也比较少，有些甚至没做介绍。这些知识对于课程学习是不可或缺的，“数学分析”课程内容中却没有这部分知识，所以需要增加此部分内容予以介绍。微积分内容中导数的概念、相关性质与计算，定积分的概念与简单计算等内容在中学阶段已经做了介绍，对于分析中的此部分内容可以适当减少授课时间。

高中数学的学习是为了面对高考，在高中数学教学过程中，往往跳过很多数学教学的重要环节，直接告诉他们重要的结果与定理，只要会用于解题即可。因此，在进入大学学习特别是学习数学分析这门课程时，有些内容要进行相应的补充讲解。对这些知识内容的掌握是顺利理解数学分析相关内容的基础，在这些内容上花些时间十分必要的。

（三）增加与现代应用数学联系的相关内容

“数学分析”是数学各专业后继课程的基础，在教学过程中根据内容增加一些与数学其他各分支联系的讲解，啟发学生发散性思维，拓展思路，不要局限于目前的知识内容，这样不但可以缓解理论讲解的枯燥，提高学生学习的积极性，还可以更好地学习后继课程，对数学专业的知识体系化具有一定的了解和把握。比如，介绍函数连续性时，可以介绍函数的连续性是一般映射的连续性的特殊情况，告诉学生在后面学习实变函数、泛函分析、拓扑学等课程时，还会介绍连续性，其思想基本是一致的；在讲解两个重要数列之一的极限时，讲解数学家伯努利提出了复利问题：在相同的年利率下，复利计算的越频繁，收益越好，那么这一切是否有某种上限？这类内容必然会对金融数学专业某些后继课程的学习有帮助；再比如，在讲述函数列时，当它的极限存在时是我们关注的，一旦极限不存在我们就一般不再关心了，其实这个极限不存在时，再来研究其变化，也能发现这个序列复杂的变化，这正是以后在动力系统理论中要讨论的混沌系统的范畴。当然在与数学其他内容建立一些联系时，原则上不增加所讲教材内容的难度，以不增加学生学习负担为前提，点到为止。

二、改革教学方法和教学过程：启发式教学

数学分析课程由于其讲解的知识内容多、理论推理详细等特点，往往采取“满堂灌”“填鸭式”的教学方式。这些教学方式有些学生不能适应，教学效果和学习质量不理想，逐渐不符合新时代的教学规律和教学要求，需要创新教学方式方法，更新教学理念。让课堂“以教师为主”向“以学生为中心”转变，倡导“以教师的主导、以学生的主体”教学理念，采用启发式、探究式教学方式方法，充分发挥学生的积极性和主动性，提高课前、课中、课后学习的效果，不断提高教学效果和教学质量。

启发式教学运用，能提高学生的兴趣和积极性，培养探究问题的习惯和提高能力。在传统的课堂教学方式下，教师在讲台讲授知识，学生在被动接受知识，加上数学知识比较枯燥乏味，整个课堂教学氛围比较沉闷，同学课堂注意力不容易集中。启发式教学能够提高教学和学习的效果。在有条件的情况下，课前请教师预习课堂教授的知识，对于不理解的知识，在课堂上集中听讲认真思考，课下可以和老师、同学进行交流探讨。在课堂教学过程中，教师可以设计一些问题，请学生思考并回答。通过设计问题，驱动学生的积极性、主动性，加强师生沟通交流，提高教学和学习的效果。

（一）精讲与引导教学结合

由于数学分析知识内容繁多，且具有公理化、逻辑性、抽象性的特点，对于关键的知识点，如基本概念、定理、引理、结论、公式及典型例题，进行详细的推导和讲授是十分必要的。但是由于课堂时间有限，教师可以就所要学的内容布置若干问题，引导学生课下自主学习，对知识点进行预习、复习，开展启发式探究式学习等自学活动等，通过这样学习方式的训练，不仅能够让他们思考、理解、掌握数学分析的知识内容，而且能够培养他们的自学能力、思考能力、创新能力，对于以后的学习和继续深造也是十分必要和重要的。

大学学习和中学课程的学习不同，学生在老师的引导下自主学习，不断进行思考、探究和总结，不但可以更好地理解掌握基本概念、定理、结论，还可提高自学的能力。比如，学过求导以及积分之后，做一个方法总结性小报告，进行研究性学习；在学过“无限多个开集的并是开集，无穷多个闭集的交仍是闭集”后，课后启发学生思考“无穷多个开集的交是不是还是开集？无穷多个闭集的是不是还是闭集？如不是请试举反例”等等［6］。通过一系列启发式引导教学措施，锻炼自学能力，以此取得良好的学习效果。

（二）抽象性与直观性结合

数学是高度抽象的学科，“数学分析”内容是真正需要抽象思维能力的先学课程，抽象思维能力是需要培养的［7］。通过在“数学分析”课程的教授过程中的直观感受，才能建立经验、形象化的意识和能力，产生形象思维。在形象思维的基础上理解抽象概念、模型以及抽象的规律，并在此基础上上升到创新思维和创新能力。抽象思维能力需要以直观感受为基础，在教学过程中对抽象性的概念及定理尽量展现通俗的描述，以直观的图形加强直观感受和抽象的理解。比如一元函数在某点处连续性，可以描述为“曲线在该点处的左右两边通过这一点 ‘粘住了”。再比如，函数列在区间上的一致收敛性与收敛性区别一直是学生理解的难点。通常会这样解释，如果函数列里的每取一变量当成一个学生，在进行2000米的测试时，收敛性代表每一个学生能跑完2000米即可，不管时间长短（存在N即可）；而一致收敛是能不能找到统一的时间（统一的N对每个同学），比如四分钟，在四分钟内所有的学生均跑完2000米，称函数列是一致收敛的。

（三）一般性与特殊性相结合

数学分析中的知识内容有些具有相同性，具有一般的共性特点，有些具有特殊性。可以先重点介绍具有一般性的知识，在此基础上，对后面具有共性的类似知识，教师可以简要介绍概念、结论，启发学生自主完成证明推导应用等。比如函数列、函数项级数、含参量积分的一致收敛及其性质等，可以只详细介绍其中一个概念以及相关结论、证明推导，后面的概念结论可以简要介绍，具体的证明推导可以留一部分给学生完成。

对于具有特殊性知识部分，需要有不同程度的侧重介绍。数学专业的学生，需要熟练掌握基本知识和运算能力，在此基础上，逐步掌握理解比较抽象复杂的命题与定理。对于这些特殊的复杂的定理的证明，力求先给予直观的解释，让学生把握知识的本质，在直观解释和理解基础上，给予比较简洁的证明，让学生能够理解并学会运用自主完成证明。比如利用极限的定义证明、实数的连续性和完备性、隐函数定理、一致连续及其性质等，并启发学生是否可以改变其中的条件、是否可以用其他的方法来完成证明等，让他们进行探究性学习。

三、完善教学手段

（一）传统教学与信息技术相结合

“数学分析”课程理论推导多，在教学过程中主要坚持传统黑板教学为主，多媒体教学为辅。适应新时代的教学要求，不断加强信息技术在教学中应用。充分利用网络教学平台，不断完善电子教学资源，如电子参考书、课程的课件、习题、练习、测试等。使得学生能够充分利用信息技术带来的便利，进一步促进教師的教学和学生的学习，为教学带来更多的方便［8］。

近两年教师不断加强信息技术在教学中应用，完善适合本校数学学院学生与教材的成套教学课件。同时在线上教学期间借助学校提供的教学平台以及网上其他优质的教学平台和教学资源，提供更加丰富的电子教学资源，供学生学习和参考。通过网络教学平台可以增强线上与学生的互动交流机会，老师和学生可以通过平台布置课后作业提交完成后的作业和测试，通过平台增加和老师互动的机会，学生可以有更多机会提问题，促进学生自主学习，以达到良好的线上教学效果。

（二）加强习题课以及课外辅导力度

为提高数学分析课程的教学效果，让新进年轻老师担任数学分析课程的助教工作，承担每周的批改作业、习题课的讲解及答疑工作，充实教学队伍，为以后教学做准备，每周为学生定期安排学生答疑时间。通过加强平时的课程教学管理，实现对课程学习的全过程管理，能够掌握平时的答疑、作业完成情况、测试情况，大大提高了学生课后学习的效率，有利于发现问题并及时针对性地改进。

（三）改革数学分析的考试方式

加强过程考核，将平时、期中、期末成绩综合进行评定。目前的学习评价考核与成绩评定，主要采用平时成绩分与期末考试成绩综合评定，期末的考试成绩占比较高。对学生学习的过程考核在该方式中体现不足，不能较全面地评价学生的学习情况，不利于促进学生平时学习。知识的掌握在于持续不断的学习和积累，平时的作业、提问，期中考试、期末考试都是学生学习情况的反应。

改革由各主讲教师出卷进行期中期末考试的方式，实施教学与考试分离。此方式有利于考核教师的教学和学生的学习情况，比较公平和公正，有助于科学、有效的教学评价，有助于教风和学风的改变。能够使学生认识到，考核评定的好坏取决于自己全程學习的努力程度、取决于对所学知识的掌握与理解程度。同时在过程考核中，增加每月小测试以及小报告等环节，促使学生回归基础，注重点滴知识的积累。

四、结语

通过多年的教学实践经验与摸索，数学分析课程的教学对于培养学生数学思想、抽象思维能力、创新能力以及数学综合素养，有着非常重要的作用。随着新时代人才培养和教学改革的需要和要求，不断更新教学理念、创新教学方式方法、改革教学模式，以提高教学效果、教学质量和人才培养质量。由于数学分析课程的知识体系和教学特点，启发式教学在数学分析课程的教学过程中发挥着积极的作用，能够帮助学生理解掌握知识、培养他们的数学能力和素养。但是，教学过程中也面临着需要改进的问题，如由于教学班人数相对较多，教学难易度与进度都难以兼顾所有同学；每周的习题课与测试由于时间无法统一，导致部分同学无法参加；任课教师之间定期的交流不能保证等等。总之，“莫听穿林打叶声，何妨吟啸且徐行”，培养优秀数学人才的道路任重而道远。

参考文献：

［1］ 陈纪修，於崇化，金路. 数学分析［M］. 北京：高等教育出版社，2019：1-5.

［2］ 常庚哲，史济怀. 数学分析教程［M］. 合肥：中国科学技术大学出版社，2012：1-20.

［3］ 蔡天新. 数学简史［M］. 北京：中信出版社，2017：143-164.

［4］ 段璐灵. 关于数学分析课程融入数学史的思考［J］. 西南师范大学学报（自然科学版），2015，40（06）：162-165.

［5］ 刘素红. 如何让数学专业大一新生顺利进入《数学分析》的学习［J］. 大学数学，2016，32（03）：93-100.

［6］ 江樵芬，徐起. 数学分析中一类与存在性有关的错误解法原因分析［J］. 大学数学，2022，38（01）：93-100.

［7］ 蒲和平. 浅谈研讨课的选题与学生创新能力的培养［J］. 大学数学，2019，35（01）：36-41.

［8］ 蔡宝来，林强，梁广，等. 在线教育环境下大学生学习方式转型研究：问题、趋势与发展路径［J］. 黑龙江高教研究，2021（12）：140-144.

（责任编辑：汪旦旦）