渗透模型思想 提高解题能力——以一次函数问题为例

周清波

(南安市柳城中学,福建 泉州 362300)

初中数学的教学目标是引导学生掌握基础知识和基本技能,掌握数学思想方法,积累基本活动经验,培养学生的数学核心素养,促使其更好地适应未来社会的发展需求.一次函数是初中数学教学的重点,在课堂教学中,教师需注重渗透模型思想,体现数学知识的应用意义与价值,让学生学会构建数学模型,能够站在数学的角度对问题进行思考与解决,从而提高学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

1 模型思想概述

1.1 数学模型

数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系,采用数学语言,概括或近似地表述出的一种数学结构,这种数学结构是借助数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构.数学模型有着广泛内涵,相关数学概念、公式、算法等都属于数学模型范围.由于初中生自身的认知水平、理解能力相对比较差,因此,在具体教学时,教师需注重数学模型的构建,也就是依据相关数字、字母或数学符号构建相应的关系式、代数式、方程式等数学模型.

1.2 模型思想

从数学产生与发展的角度作出的思考,则是数学思想.在数学知识学习时,呈现的思维特征也属于数学思想.模型思想作为数学思想的重要组成部分,其主要指对实际问题进行描述时,所用到的数学概念及数学公理.在数学课堂教学中,教师需注重培养学生的模型思想,促使学生深刻理解数学知识和其他事物的联系.

2 在一次函数解题中渗透模型思想的策略

2.1 渗透模型思想,解决经济问题

例1 已知有两种理财产品供投资者选择,第一种:中国银行销售一种五年期国债,其年利率是2.63%;第二种:中国人寿保险公司推出一种分红型保险,投资者要上交10 000元(10份)保费,且保险期是5年,在五年以后,能获得本息为10 486.60元,还能获得红利,但分红金额并不是固定的.

(1)请写出购买国债的金额x和五年以后银行所支付的本息和y1之间的函数关系;

(2)求分红型保险的年利率,并找出支付保费x和五年以后保险公司应支付的本息和y2之间的函数关系;

(3)请分析选择哪种理财产品更合算.

解析(1)依据题意可知,一年的年利率是2.63%,买国债花费了x元,即y1=(1+5×2.63%)x.

(3)两种方法均投资10 000元,第一种:购买了五年的国债,y1=(1+5×2.63%)x=(1+5×2.63%)×10 000=11 315元;第二种:购买了五年的保险,y2=(1+5×0.97%)x=(1+5×0.97%)×10 000=10 486.6元.两者之间的差是y1-y2=11 315-10 486.6=828.4元,因此,当保险的分红超过了828.4元的时候,买保险才能更有利.

2.2 渗透模型思想,解决购买问题

例2 某服装厂要生产种领带与西装,且西装的每一套定价是200元,每一条领带的定价是40元,厂家进行促销活动,提供给客户两种方案:

(1)购买一套西装,送一条领带;

(2)西装与领带都按照定价90%进行付款;

某个商店的老板需要到服装厂买20套西装,x(x>20)条领带,请你帮助老板选择最优惠的购买方案,并说明理由.

解析设第(1)种方案共付款y1元,第(2)种方案共付款y2元,则

y1=40x+3 200,y2=36x+3 600.

当y120,所以20

当y1=y2时,即40x+3 200=36x+3 600,所以x=100.即当x=100时,第(1)种方案与第(2)种方案的一样省钱;

当y1>y2时,即40x+3 200>36x+3 600,所以x>100.即当x>100时,选择第(2)种方案更加优惠.

若同时选择(1)(2)两种方案,想要获得厂家赠送更多的领带,则能设计出第(3)种方案,即先依据方案(1)买20套西装,获得20条赠送的领带,剩余的(x-20)条领带,再依据第(2)种方案进行购买,其花费为200×20+(x-20)×40×90%=(36x+3 280)元.显然,第(3)种方案比第(2)种方案更加优惠;第(3)种方案和第(1)种方案相比,当36x+3 280<40x+3 200时,可求解出x>20,即x>20时,第(3)种方案比第(1)种方案更加优惠[1].

2.3 渗透模型思想,解决运输问题

例3 某果蔬公司需将不容易存放的水果由A市销售至B市,现有三个运输公司提供了相应的运输方案,详见表1.

表1 运输公司的运输方案

(1)如果乙、丙两家公司包装、装卸、运输的总费用为甲公司2倍,求A、B两市的距离是多少?(精确到1);

(2)如果A、B两市距离是s千米,这批水果在包装、装卸、运输中会有300元/小时的损耗,想要使果蔬公司花费的总费用最低,选择哪家公司进行运输最合适?

由于s>0,因此,y2>y3是恒成立的,即对比y1与y3的大小即可.由y1-y3=-2s+1 100,易得

①当s<550时,y1>y3,且y2>y3,所以,丙公司是最佳选择;

②当s=550时,y2>y1=y3,此时,甲公司或者是丙公司是最佳选择;

③当s>550时,y2>y3>y1,此时,甲公司是最佳选择.

2.4 渗透模型思想,解决信息收费问题

例4 某市的宽带上网按流量收费,即依据网上接收与实际发送信息量进行收费,其收费标准是:月租费是75元,赠送了900M流量,也就是每月的流量在900M之内,是不收费的,而超出了900M的时候,则按照超出的部分进行分段收费,其规定是:流量低于400M的时候,每M的收费为a元,超出400M的时候,不超出的部分则每M收费a元,超出的部分每M收费c元,某个单位的4、5月上网流量及费用详见表2.

表2 某单位4、5月上网流量及费用表

(1)求a,c值;

(2)设单元某个月上网用的流量是x(M),费用是y(元),请写出流量超过1300M的时候,请写出y和x的函数关系式.

解析(1)依据题意,可得方程组

(2)流量使用超过1 300M,即x>1 300的时候,y=0.1(x-1 300)+75+400×0.2=0.1x+25,因此,y=0.1x+25(x>1 300)[2].

2.5 渗透模型思想,解决水产品加工问题

例5 某水产品养殖与加工厂一共有工人200名,每名工人每天可平均捕捞水产品50 kg,或者将当日捕捞到的水产品40 kg实施精加工.现已知出售每千克水产品能够获得6元的利润,当精加工以后再出售时,每千克能获得18元利润,设每天有x名工人对水产品实施精加工.

(1)求每天进行水产品精加工获取利润y元和x之间的函数关系;

(2)若每天精加工水产品与没有进行精加工水产品均能销售完,怎样安排生产能够使其获得最大利润?最大利润为多少?

解析(1)y=720x(0≤x≤200,x为整数).

(2)设每天获得的利润是W元,易得

W=180x+60 000.

因为W为x的一次函数,k=180>0,所以W随着x的增大而逐渐增大.又因为x是整数,所以当x=111时,其利润最大,W最大=180×111+60 000=79 980元.

综上所述,通过以上实例可以发现,在对应用类问题解决时,其关键就是渗透模型思想,构建相应的一次函数模型,并通过自变量的取值范围,求出相应的最值.这类问题与实际生活相贴近,更注重考查基础知识以及基本技能,通过应用数学知识解决相关实际问题,能够有效提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力.