模型主导新方向，双向多维促发展

张楠 王瑾

【摘   要】教学“分数的意义”可以从分数的现实来源和数学内部来源两方面引导学生探究分数的本质，为其后续学习分数的基本性质、四则运算及应用奠定基础。基于对数学文化教学资源的理解，对“分数的意义”的数学文化元素进行了相应的挖掘和处理，遵循“数学思考—数学创造—数学欣赏—数学应用”的模式开展教学，引导学生经历以模型为核心，与实物、符号、言语实现多维转化的分数意义的建构过程。在双向互动和融会贯通中，学生的主体性在深度思考中凸显，价值感在充分交流中彰显，体现了数学文化的育人效能。

【关键词】数学文化教学；分数的意义；模型思想；德育；智育；美育

【教学思考】

“分数的意义”是人教版教材五年级下册“分数的意义和性质”单元的教学内容。在三年级的学习中，学生已借助直观操作的方式，初步认识了分数、简单同分母分数的加减、分数的简单应用等内容。本内容从分数的现实来源和数学内部来源两方面帮助学生理解分数的意义，从而为后续学习分数的基本性质、四则运算及应用奠定基础。

教材从历史的角度和现实生活中等分量的需要出发，生动形象地呈现了分数的现实来源。首先，以历史发展为背景，介绍了分数的历史起源：古人分物、测量时会借助绳结，当某长度无法用一个完整的绳结表示时，就产生了把一个单位等分成若干份再量的需要，分数就此产生。其次，结合学生熟悉的分苹果、月饼和饼干等实际情境，提出一个物品分给两个人无法得到整数结果，引出分数。然后，以[14]为例，结合几何图形、实物等，用言语描述分数的具体含义，帮助学生理解单位“1”与分数单位。最后，在“做一做”中设置了4道基本练习题：第1题巩固对整体和单位“1”的理解；第2题和第3题巩固用分数表示相应实物的具体含义的方法；第4题通过分数墙的直观呈现，认识分数组成，巩固分数单位。

基于对数学文化教学资源的理解，笔者对本内容中的数学文化元素进行了相应的挖掘和处理。教材呈现分数产生的历史，可以向学生渗透爱国主义思想，属于德育资源中的价值观。教材从引导学生根据图形说出[14]的含义扩展到让学生根据实物说出对应分数，使学生能从现实问题中抽象出分数，并通过言语表述其含义，从而培养学生的数感、几何直观、符号意识等核心素养，在此基础上再引导学生进行单位“1”与分数单位的学习，渗透数形结合、整体的数学思想，这些可以归结为智育资源。另外，用分数符号表示分实物的过程，展现了分数的简洁之美，属于美育资源。

五年级学生对分数已经有了初步认识，但他们对数学概念的理解仍以感性经验为主，因此在教学过程中，要让学生经历操作、观察、比较、概括等数学活动。基于此，笔者综合《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“结合具体情境探索并理解分数的意义，感悟分数单位，进一步发展数感和符号意识”这一内容要求，制订了本内容的教学目标。

1.德育目标：（1）深挖分数产生的史料，增强学生的民族自豪感，树立良好的价值观念；（2）带领学生从实际情境出发，在“发现问题—提出问题”的过程中培育严谨的理性精神。

2.智育目标：（1）引导学生在具体的生活情境中感悟分数的意义，理解单位“1”与分数单位的含义，体会部分与整体的关系，帮助学生习得知识技能；（2）在探究分数意义的过程中，发展学生的数感、几何直观、符号意识及应用意识等核心素养。

3.美育目标：（1）借助分数符号表示分实物的过程，理解分数的意义，感受数学之简洁美；（2）借助单位“1”的思想深化分数实质，解决实际问题，体验数学的美好，体悟数学的美观。

【教学过程】

v教学模块1：数学思考

借用成语猜谜游戏引入分数，激发学生学习兴趣。用教材给出的历史素材，围绕教学目标，介绍不同国家分数的发展历程，展现数学的文化性与历史性。回顾相关知识基础，基于生活背景探究分数产生的缘由，感悟分数的实际意义。由此制订了任务1和任务2。

任务1：以成语猜谜游戏初引分数，以有关分数产生的史料再识分数。

教师用课件出示图1。

师：大家玩过成语猜谜游戏吗？请你们用数学上的数来表示这些成语。

生：这些成语可以用分数来表示，分别是[12]、[78]、[1100]、[910]。

师：刚才大家都根据成语猜到了相应的分数，你学过哪些分数知识？

生：我知道分数的读法、写法，以及分数各部分的名称。

生：我知道同分母分数的加减法。

［核心问题1］你们知道分数是怎么产生的吗？为什么会出现分数？

（教师播放有关分数发展历程的视频）

师：通过观看视频，你知道分数是怎么产生的吗？

生：在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，所以就要用分数来表示。

生：印度人和阿拉伯人表示分数的方法和我们现在的表示方法非常相似。

生：我国古代劳动人民真厉害！印度人和阿拉伯人都是在我国古代劳动人民的智慧上完善分数的表示方法的。

任务2：基于已有认知感悟分数价值，感受分数的实际意义。

师：你知道哪些分数？

生：[136]、[210]、[7100]……

师：你能说说[7100]的意义吗？

生：把一个物体分成100份，取其中的7份。

生：要平均分。把一个物体平均分成100份，取其中的7份，才是[7100]。

实施效果：以成语猜谜游戏引入，在体现学科融合的同时，成功调动了学生学习的热情。借助视频介绍分数的发展历程，学生感受到了我国辉煌的数学史成就，激发了继续探究分数的兴趣。引出三年级学习分数时的分物情境，建立知识的前后联系，帮助学生找到了分数意义的生長点。

v教学模块2：数学创造

分数意义的学习并非只有“分实物—言语表述”这一单一走向，因此，本模块以教材展示的言语表达为基础进行了二度创造。以[14]为例，引导学生通过“分实物—分数表示—模型提炼”的过程，体会同一分数可以表示多种分物过程，体现模型提炼的必要性，渗透整体思想，感悟单位“1”，由此制订了任务3和任务4。

任务3：通过实物操作，体会同一分数表示多种分物过程，初感模型思想。

师：把一张正方形纸片平均分成2份，每份用分数怎么表示？

生：[12]。

师：把一张正方形纸片对折再对折，打开后，每份是这张正方形纸片的几分之一？

生：[14]。

师：现在请大家拿出准备的物品，通过分一分、折一折等操作表示出分数[14]。

（学生动手操作，用纸片表示[14]并分享展示，教师巡视指导）

生：把一张正方形纸片沿对角线对折两次，平均分成4个三角形，每一个三角形是其中的[14]。

生：把一张圆形纸片平均分成4份，每份都是这张圆形纸片的[14]。

生：把8颗糖平均分成4份，每份就是这堆糖的[14]。

师：老师想在黑板上表示出分糖的过程，但是画糖有点麻烦，有什么好办法吗？

生：可以用小圆圈来表示这些糖。把8颗糖平均分成4份，2颗糖是1份，用分数表示就是[14]。

师：同样把16个正方体积木平均分成4份，每份都是[14]。通过刚才的分一分、摆一摆，你发现了什么共同点？

（小组讨论分物过程中存在的共同点，教师巡视倾听）

生：都是把物品平均分成4份，其中的1份用[14]表示。

任务4：通过实物操作提炼模型，渗透模型的简洁美，感悟整体思想。

［核心问题2］在分物的过程中会把这些物品看成一个整体，“整体”的具体概念是什么呢？

教师课件出示：一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。把这个整体平均分成若干份，其中的一份或几份都可以用分数表示。

师：一个计量单位是什么意思？

生：表示1米、1千克等。

师：前面所举的例子中，既有一个物体的[14]，又有一些物体的[14]。这些不同的表示方法有什么共同点？

生：都是把一个整体平均分成4份，每份都是这个整体的[14]。

师：这个整体，在数学上叫作单位“1”。

师：把8颗糖平均分成4份，这里的单位“1”是什么？

生：单位“1”是8颗糖。

实施效果：学生在折纸、分糖等操作活动中，直观感受到了同一个分数可以表示不同的分物过程。在教师的引领下，实现了“实物—模型”的转化，强化了模型意识。通过具体到抽象、特殊到一般的过程，学生感悟到“可以把一个或一些物体看作一个整体”，实现符号到言语的转化，并通过师生交流、概括，理解单位“1”的概念，渗透整体思想，实现“习得知识技能”“发展核心素养”“渗透思想方法”的智育目标与“感受美观”的美育目标。

v教学模块3：数学欣赏

基于对单位“1”概念的初步理解，围绕教学目标，使用教材分糖情境，设计分物互动活动，帮助学生深刻理解单位“1”不同，即使平均分的份数相同，每一份也会有所不同，并通过小数单位的类比，引出分数单位，强调知识的前后联系，由此制订了任务5和任务6。

任务5：通过实物、言语、模型多维转化，深化模型思想，巩固知识。

任务6：通过分物互动活动理解单位“1”，促进分数的意义的全面理解。

师：现在有一些糖，想分给A同学12块糖的[14]，分给B同学8块糖的[14]，你們觉得这样分公平吗？为什么？

生：他们分到的不一样多，这样不公平。

师：他们分到的都是[14]。

生：可是他们分糖的基础不同，分到的糖数就不一样。A同学分到3颗，B同学分到2颗。

师：分糖的基础不同，用刚才学习的知识可以怎么说？

生：虽然都是平均分成4份，但是单位“1”不同，每份的数量就会不同。

师：有一堆糖，一共12颗，平均分成2份和3份，每份分别是这堆糖的几分之几？

生：[12]和[13]。

师：两种方法分到的糖数相同吗？为什么？

生：不同。虽然单位“1”相同，但分成的份数不同。

师：如果把这一堆糖平均分成3份，其中的2份是几分之几？

生：[23]。

师：[23]里面有几个[13]？

生：有2个。

师：这让你想起了哪些数学知识？

生：我想起了小数，小数0.5里就有5个0.1，0.1是0.5的计数单位。

师：类比小数计数单位，你有没有一些大胆的猜想呢？

生：[13]是[23]的计数单位，[16]是[56]的计数单位。

师：分数和整数、小数一样，也有自己的计数单位，叫作“分数单位”。谁能来说一说，什么是“分数单位”？

生：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作“分数单位”。

师：[611]、[58]、[7100]的分数单位是多少？它有几个这样的分数单位？

生：[611]、[58]、[7100]的分数单位分别是[111]、[18]、[1100]，里面分别有6个、5个、7个这样的分数单位。

［核心问题3］联系我们刚刚学习的知识，能说一说分数的意义吗？

师：你能完整地说一说分数的意义吗？

生：把单位“1”平均分成若干份，其中的一份或几份都可以用分数来表示。比如把10颗糖平均分成5份，每份可以用[15]表示，其中的3份可以用[35]表示。

师：谁是单位“1”？

生：10颗糖是单位“1”。

实施效果：在分物的互动活动中，学生理解了由于单位“1”不同，同一个分数符号所表示的意义也不同，并通过小数计数单位的类比，成功习得分数单位，由此对分数概念的本质属性有了全面理解，实现了“习得知识技能”“发展核心素养”的智育目标和“体验美好”的美育目标。

v教学模块4：数学应用

现实生活中蕴含着大量与分数有关的问题。为了巩固学生对本节课内容的理解，拉近数学与生活的距离，围绕教学目标，将分数与生活相联系，有意识地引导学生利用分数的意义解释现实生活中的现象，由此制订了任务7和任务8。

任务7：从生活出发，拓展分数意义的应用，夯实学生的新知。

练习1：教材“做一做”第1～3题。

练习2：猜猜哪堆萝卜多。

任务8：回顾总结，提炼知识。

师：谁来和大家分享一下，这节课你收获了什么？

生：我们学习了分数的意义、单位“1”和分数单位。

生：学习了什么是一个整体，发现用模型表示分物的过程会很方便。

师：除了这些可以直接解决问题的数学知识，这节课我们还感受了模型思想、整体思想以及数形结合思想等对数学学习的帮助。课上用到了很多纸片，课后同学们要合理利用它们，节约资源。

师：最后留一个思考题：古时候，有位老人得了重病，临终前他立了一份遗嘱，遗嘱规定：3个儿子要按要求分配17头牛，老大应得总数的[12]，老二应得总数的[13]，而老三只能得总数的[19]，牛要全部分完，不能杀牛分肉。请问：如何按遗嘱的规定来分配？

实施效果：练习1的3道练习题为巩固练习，使学生进一步理解了分数的意义。练习2是理解单位“1”的变式练习，使学生对分数的意义有了全面的认识。课堂总结中，引导学生从数学知识和数学思想两方面对本节课进行回顾总结，并借助课后思考题来发散学生的思维，实现了“习得知识技能”“发展核心素养”的智育目标和“体悟数学美”的美育目标。

【教学意蕴解析】

这是一节通过“成语猜谜游戏—动手操作提炼模型—在分糖活动中理解单位‘1—归纳分数的意义”这一流程理解分数的意义的数学文化课。教师通過一系列教学活动，实现“实物—模型”的转化，体现用几何模型表示分数的优势和简洁美。

教师沿用教材的整体思路，在此基础上对其进行二度创造，利用数学文化元素与资源，凸显了本节课的独特风格：（1）学生在数学活动中积累数学基本活动经验。学生沉浸于探究活动中，在数学思考模块，置身分数产生及演变的历史，感受知识的产生过程；在数学创造模块，通过折纸片和分糖等操作活动，提炼模型，感受数学的简洁美；在数学应用模块，解决与生活相联系的问题，培养运用分数的意义解决实际问题的能力。（2）模型思想指引教学方向，实现了多维转化。在探究分数的意义时，学生以模型为核心，经历实物、模型、符号、言语多维转化的数学化过程（实物→模型?符号、实物→模型?言语、模型?符号?言语），实现了对分数意义的全面理解。

学生在教师的引导下，由分实物操作活动建立数学模型，充分积累数学基本活动经验，契合笔者提倡的数学文化内核。在“模型主导、双向多维”的引领下，学生建立起了模型与符号、言语之间的双向多维逻辑关系，实现对分数的意义的深度理解。教师给学生提供的积极主动的学习氛围和机会，是数学文化内核效能的充分体现，有助于学生主体性的发挥。

（1.北京市顺义区牛栏山第三小学

2.佛山科学技术学院）