渗透归纳思想提升学生的数学思维品质

沈天娇

归纳是从部分到整体、从特殊到一般、从个别到普遍的推理。归纳思想可以理解为从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维能力，是学生在数学学习中必须掌握的一种高阶思想方法。在初中数学的教学中，教师不仅要注重数学基础知识与基本技能的传授，还要重视学生对数学思想方法的掌握，引导学生从数学的角度思考问题，以切实提高学生的数学思维能力。基于此，笔者以数学思想方法中的归纳思想为切入点，着重探讨了在初中数学教学中渗透归纳思想的可行教学策略，以期帮助学生高效学习数学知识，解答数学问题，切实提升学生的数学思维品质。

一、分解运算过程，科学转化

部分初中生的抽象思维能力与变通能力稍有欠缺，很难从不同角度、用不同方法去思考和分析问题，这反映出的就是思维品质的缺失。为了帮助学生夯实计算基础，提高运算能力，教师可以采用分解运算过程、归纳运算思路的方式，促使学生发现并总结运算规律，让学生学会融会贯通，实现高效的简便运算。

以人教版初中数学八年级上册“因式分解”相关内容的教学为例，这一课涉及十字相乘法的教学。十字相乘法是指方程从x?+（p+q）x+pq到（x+p）（x+q）的基本转化，是学生进行因式分解、解答一元二次方程相关问题应该掌握的一种转化思路。在具体的教学过程中，教师可以先出示一些例题，让学生进行转化，并引导学生归纳和总结它们的规律，让学生掌握十字相乘法的基本思路。接着，教师可以准备一些题目，让学生应用十字相乘法进行因式分解，引导学生用口诀的方式归纳“拆两头，凑中间”“叉着乘，横着写”等分解方法。最后，教师可以引入二次项系数不为1的二次三项式ax?+bx+c，引导学生按照十字相乘法的逻辑和思路，思考这种题中的常数项、二次项系数与一次性系数应该如何对应，以进一步强化学生的归纳思想，让学生学会举一反三、融会贯通，进而提高学生的数学解题能力和知识应用能力。

二、分析數量关系，验证猜测

归纳思想的关键是培养学生思考问题、分析问题的数学思维方式。数学知识之间具有内在关联，教师要通过针对性训练，逐步提高学生的归纳推理能力，帮助学生理解数学学习的基本规律，掌握解答数学题目的基本思路与技巧，建构数学解题模型。这样，当学生遇到同类型题目时，他们会更容易找到解题的切入点，并运用归纳的思维模式对问题作出直观判断，分析数量关系，进而提高数学学习能力。

以人教版初中数学八年级上册“因式分解”相关内容的教学为例，其涉及“提取公因式”的教学。在教学过程中，教师可以先准备一些简单的题目，如计算3x?-3x和（m+4）（m-4）等，让学生进行回顾训练，比较思考a（a+1）（a-1）=a?-a与a?-a=a（a+1）（a-1）这两种运算方法的联系与区别，借此帮助学生理解整式乘法的计算，并逆向得到因式分解的基本概念。接着，教师可以准备一些具有探究性和一定难度的因式分解类题目，让学生根据刚才提取公因式的思路，找出这些题目中的公因式，并引导学生归纳得出确定公因式的系数、字母（多项式）和指数的方法。其中，公式数的系数为各项系数的最大公因数，字母（多项式）必须是各项都有才能提取，指数取相同字母（或多项式）的最低次幂。

三、利用错题资源，多向建构

在初中数学教学中渗透归纳思想时，教师要重视对错题的反思和错题资源的利用。首先，教师要引导学生学会归纳和总结错题产生的原因，如审题不清、思维定式、概念模糊等，这样才能对症下药解决问题。其次，教师要善于利用错题，让学生进行有效的反思，并主动发现问题、分析问题，将错题转化为促进教学的资源。最后，教师要善于根据学生容易出错的题目，及时调整教学，改进教学策略，以确保数学课堂的教学质量。

例如，有一道题目是这样的：关于x的方程ax?-2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是   。这道题的难度不大，学生根据题目表述就能想到用一元二次方程的根的判别式解题，即题目中关于x的方程ax?-2x+1=0有两个实数根，那么判别式△=b?-4ac=（-2）?-4×a×1≥0，解得a≤1。于是，很多学生就会把a≤1作为最终的答案填进去，但这一答案其实是错误的。针对此种情况，教师可以引导学生细读这道题，反思是否遗漏题目中隐含的信息，是否找到了题目中设置的“陷阱”，是否认真梳理题目中的细节性信息。在这样的引导下，有的学生会想到并提出：“关于x的方程ax?-2x+1=0有两个实数根，这就证明该方程一定是一元二次方程，所以a不能为0。”从而让其他学生意识到这道题考查的知识点不仅是一元二次方程的根的情况，还包括一元二次方程的定义。在此基础上，学生会重新梳理这道题的解题思路，并修正错误答案。之后，教师可以准备一些同类型的题目，让学生进行巩固练习，并归纳出这类题的易错点，加深对相关知识的理解。

四、加强变式训练，提炼本质

变式类训练有助于拓展学生思维的宽度与深度，提升学生的思维品质，具有重要的教学作用。教师在数学教学中渗透归纳思想时，可以将变式类训练作为引导学生辩证思考的切入点，让学生从不同角度出发，思考同一考点的不同出题形式，抓住问题考查的本质知识，并从中提炼解题方法与解题思路，建构数学解题模型，从而促进学生归纳能力与逻辑思维能力的发展。

例如，在分解因式（x-4）（x-2）（x-1）（x+1）-72时，教师可以引导学生认真观察题目结构，让学生发现（x-4）（x+1）=x?-3x-4，（x-2）（x-1）=x?-3x+2，它们的二次项、一次项完全相同，那么就可以引入一个新元进行降次处理，设x?-3x-1=a，那么原式=

[（x-4）（x+1）][（x-2）（x-1）]-72=（x?-3x-4）（x?-3x+2）-72=（a-3）（a+3）-72=a?-81=（a+9）（a-9）=（x?-3x+8）（x?-3x-10）=（x?-3x+8）（x-5）（x+2），顺利完成了因式分解的要求。

又如这样一道题：已知（x?+y?+1）（x?+y?+3）=8，则x?+y?=   。在解题时，教师可以引导学生把x?+y?作为一个整体来考虑，将x?+y?代换为t，则原式变为（t+1）（t+3）=8。

（t+1）（t+3）=8可化简为（t+5）（t-1）=0，解得t1=-5，t2=1，又因为t=x?+y?≥0，所以t1=-5应舍去，可以确定x?+y?的值只能是1。

在变式训练中，教师要带领学生归纳和总结换元法求解的思路，通过引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，以达到化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式的简化运算的效果。

五、指导动手实验，发现规律

动手实验是初中阶段数学学习的重要方式，在实验中，学生会经历产生问题、提出假设、思考论证、实验证明等过程。在学生自主进行实验时，教师可以适时介入指导，让学生通过动手操作与动脑思考，归纳和发现实验中的数学规律，体验与经历知识的形成过程，以帮助学生理解抽象的数学知识，促进学生动手实践能力与归纳总结能力的共同提高。

以折叠问题为例，这一直是很多学生头疼的数学问题，由于对折叠的实质理解不够透彻，学生在解决这类问题时感到难度很大。基于此，教师可以开展有关折叠问题的实验探究活动，准备一些常见的折叠问题，如矩形折叠、翻折变换、三角形中的折叠、纸片折叠等，让学生通过动手操作，把握折叠引起的“变”与“不变”，并观察折叠前后的对应关系。这种方式非常清晰直观，能让学生将头脑中想象的折叠变化得到验证。通过动手操作，学生能归纳得出折叠问题的实质，即图形的轴对称变换，折叠之后图形的形状与大小不变，对应边与对应角相等。在此基础上，教师可以再准备一些学生平时比较头疼的折叠类数学问题，让学生进行巩固练习。

例如，有这样一道题：如图1沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积。学生通过实际折纸操作会更直观地理解折叠过程中的变与不变，归纳出重合部分实际上就是以折痕为底边的等腰三角形，并将其应用到解题中。

六、打开学科视角，逻辑推理

打开学科视角是指教师可以把数学教学与其他学科结合起来，打破不同学科间的边界，创造性地将其他学科的知识点和学习方法作为素材引入数学课堂。这种学科之间相互交叉渗透的方式，一方面可以调动学生学习数学的积极性，帮助学生巩固多学科知识，另一方面可以促使学生发现不同学科的知识学习之间的共性，有助于发展学生的逻辑推理能力，让学生掌握科学的学习方法。

例如，在教学人教版初中数学九年级下册“反比例函数”的相关内容时，教师可以将其与初中物理结合起来，为学生播放关于电流电阻实验的视频，让学生观察实验并记录实验数据，分析电流与电阻之间的关系。通过对实验数据的归纳与分析，学生得出在同一电路中，通过某段导体的电流与这段导体的电阻成反比，从而建构出反比例函数的数学模型。

同时，电流、电压、电阻、功率等参数间存在着多种换算关系，涉及多种数学模型，这都是教师在数学课堂上可以引入和拓展的内容。需要注意的是，教师一定要保持数学课堂的出发点，不能把重点放在物理实验上。教师可以通过播放物理实验视频或者出示数据的方式让学生进行分析，構建数学模型，打造新颖高效的初中数学课堂。

（作者单位：

江苏省南通中学附属实验学校）