从2022年高考试题看数学教材题源的使用途径

黄国稳　黎福庆

【摘要】本文分析2022年高考全国甲卷数学理科卷试题与教材题源的关联，论述教师用好教材题源的途径：改变题源的条件、问题，或将题源的条件和结论互换，将题源中的结论进行迁移应用，归纳同类题找解题规律，深挖题源背景以发挥其育人功能。

【关键词】教材题源 高考试题 试题改编

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）14-0051-04

数学教材是教师实施教学和学生学习的主要材料，也是发展数学学科核心素养的重要载体。本文论述的教材题源，指的是课本中的典型例题、习题及阅读材料中的相关题目。笔者通过分析2022年高考全国甲卷数学理科卷试题与教材题源的关联性，论述在日常教学中用好教材题源的策略。

邓军民在《基于数学核心素养的题源教学法研究》一书中提到，“根据创造学理论，任何一个数学问题都包括‘结构‘关系‘顺序三个部分，这三部分并不是独立的，而是相互联系，形成有机整体。只要对其中部分进行改变，都能产生新的问题”。我们通过分析高考真题与教材题源关联性可知，将教材题源改编为试题的主要途径有：改变题目中的条件、将条件和结论调换、引申推广进行深度的变形。下面笔者结合具体例题详细阐述在高中数学教学中用好教材题源的策略。

一、改变题目的条件

根据数学问题的结构特征，教师可以通过改变题目的条件进而引申出新的问题。改变条件的途径很多，既可以进行浅层的改变，如单一的横向变化，又可以进行深层的改变，如通过升维或降维、强抽象或弱抽象，或将几个问题进行重组等。

（一）将条件进行浅层的改变

将条件进行浅层的改变就是从某个角度出发从整体上将题目的条件进行改变，比如改变考查三角函数的题目中的函数类型、改变考查圆锥曲线的题目中的曲线类型等。

五、归纳同类题找规律

奥苏贝尔（Ausubel）提出的有意义学习理论认为，新旧知识联系的性质既受学习者原有知识背景的影响，也受要学习的材料本身的性质的制约。可见，学习材料在学习过程中有着重要的作用，学习材料的呈现方式也会影响学生对知识的理解。教师科学有效地组织材料并将其呈现出来，有利于学生在掌握基本知识的同时理解知识的内在逻辑关系，从而使学生明晰知识间的联系，形成相对稳定的知识网络。要想科学有效地组织材料，教师要考虑材料的外部结构、内部结构以及它们与学生认知结构的适配性等。不少教材题源具有相同的结构，但是它们分布在不同的板块中，教师可以整合这些同类结构题，在备考复习中引导学生找出题目的共性，进而抓住解题规律，或是发现题目之间的区别，在比较中厘清数学知识之间的关系。

比如，在教学椭圆的过程中，教师整合教材中的例题、习题以及阅读材料，将形成椭圆的九种途径串在一起，让学生建立全面的知识结构，同时掌握求曲线轨迹的方法。

（一）用直接法求动点的轨迹方程

解答上文提到的例3时，设点M的坐标为（x，y），可用含x，y的式子表示距离，从而得出x，y的关系。

（二）用相关点法求动点轨迹方程

例10（人教A版数学教材必修2第124页B组第2题）长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

例11（人教A版數学教材选择性必修第一册第108页例2）在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合。）

例12（人教A版数学教材选择性必修第一册第115页第9题）在圆x2+y2=4上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点M在DP的延长线上，且[|DM||DP|=32]，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状。

上述例题是点P运动引起点M运动，可以建立点M与点P的坐标关系，由点P的坐标满足圆的方程，即可得到点M的轨迹方程。

（三）用定义法求动点的轨迹方程

例13（人教A版数学教材选择性必修第一册第115页第10题）一个动圆与圆[x2+y2+6x+5=0]外切，同时与圆[x2+y2-][6x-91=0]内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

例14（人教A版数学教材选修2-1第43页）用一个与圆柱母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，你能仿照上述方法，证明截口曲线也是椭圆吗？

上述两道例题均可以利用椭圆的定义求解。

此外，教师还可以归类整理函数板块中的比较大小问题，形成比较大小的微专题。

六、深挖题目背景发挥育人功能

教材题源是专家精心编制的成果，有些题考查知识体系中的必备知识，有些题是数学发展史上的经典问题，有些题考查跨学科知识。在教学中，教师要充分挖掘这些题源的背景，寻找问题背后的故事，让学生在解题过程中感受知识的发生、发展过程，从而发挥题目的育人功能。

例如人教A版数学教材必修2第30页中的阅读材料提及《九章算术》，其中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：幂势既同，则积不容异。这就是祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积相等，则它们的体积相等。祖暅提出上面的原理，要比其他国家数学家早一千多年。以此为背景的题目比比皆是，教师可以引导学生了解这些文化背景，坚定文化自信。

又如人教A版数学教材选修2-3第32页“‘杨辉三角与二项式系数的性质”谈及我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》，其中提到：表里“一”以外的每一个数都是等于它肩上两个数的和。这个方法的发现要比欧洲早五百年左右。由此可见，我国古代数学的成就是伟大的，非常值得我们自豪。教材上类似这样的素材有很多，需要教师深入挖掘、收集和整理。

综上所述，教师可以在研究高考真题与教材题源关联性的基础上，从改变题源的条件、问题，将题源的条件和结论互换、将题源中的结论进行迁移应用，归纳同类题，以及深挖题源背景等方面入手，充分发挥教材题源巩固所学、拓展迁移的作用，帮助学生高效备考的同时，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，使学生在掌握知识的过程中获得数学思想方法，获得进一步学习以及未来发展所必需的“四能”。

参考文献

［1］邓军民.基于数学核心素养的题源教学法研究［M］.长春：东北师范大学出版社，2020.

［2］陈真丽，周莹，陈基河.基于高考评价体系的高考数学试题分析：以2021年新高考Ⅰ卷为例［J］.理科考试研究·数学版，2022（4）.

［3］林晴岚，陈柳娟，张洁.探寻高考试题之源，找准复习目标回归教材［J］.中国数学教育，2017（12）.

［4］董成勇，刘志华.深研课本习题提升数学素养［J］.高中数学教与学，2021（13）.

［5］蒋永鸿.基于高考复习视角下的课本题研究［J］.数学教学研究，2018（2）.

［6］周永兴.从课本题到高考题［J］.数理化解题研究，2018（13）.

注：本文系南宁市教育科学“十四五”规划2022年度课题“以课本题为生长点的深度学习策略与案例研究”（2022C395）、南宁市教育科学“强基计划拔尖人才培养”专项课题“强基计划背景下培养高中数学竞赛拔尖创新人才的实践研究”（2021QJ002）的研究成果。