巧裂项，妙放缩

赵玉辉

摘要：解決一些涉及函数类型的数列递推关系式的求和问题，关键是抓住数列递推关系式的实质，进行合理变形与转化，巧妙结合不等式的性质加以放缩处理，综合数列求和的裂项相消法来解决，结合模拟题实例，从不同视角加以裂项处理，总结裂项放缩变形的基本策略与方法，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：数列；递推；求和；裂项；放缩

涉及数列递推关系式an+1=f（an）背景的数列求和的取值范围问题，一直是高考数学试卷中的一类比较熟悉的题型.此类问题合理综合数列的求和以及通项的放缩，将数列中的两个重点与难点加以合理交汇与整合，难度较大，具有较高的选拔性与区分度，倍受命题者青睐.

1问题呈现

问题：（2021—2022学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期末数学试卷·10）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1= an 6an+5 an +1 （n∈WTHZN*），则（）.

A.1

B. 7 5 

C. 12 5 

D. 17 5 

此题是具有浙江省高考数学特色的数列选择压轴题，从an和an+1的递推关系不好直接放缩为等比数列，所以可以考虑裂项处理，而要自然地想到如何使用裂项破解此题，必须让学生掌握常见的裂项类型，这样才能在考场上快速想到解决本题的策略，比如 1  n  如何放缩裂项等.另外，也有其他背景，比如蛛网图法、数列与函数的综合考虑等，也能很好得以解决问题.

2问题破解

方法1：（裂项放缩——分式裂项法）

解析：由a1=1，且an+1= an 6an+5 an +1 >0，

两边取倒数有 1 an+1 = 6an+5 an +1 an =6+ 5  an  + 1 an =（ 1  an  + 5 2 ）2－ 1 4 <（ 1  an  + 5 2 ）KG-*32，

可得 1  an+1  < 1  an  + 5 2 ，那么 1  an  < 1  an-1  + 5 2 ，

所以 1  an  < 1  an-1  + 5 2 < 1  an-2  + 5 2 ×2< 1  an-3  + 5 2 ×3<…< 1  a1  + 5 2 ×（n－1）=1+ 5 2 ×（n－1）= 5n-3 2 ，

可得an≥（ 2 5n-3 ）KG-*32，当且仅当n=1时等号成立，

又由于an+1= an 6an+5 an +1 < an 5 an +1 ≤ an 5× 2 5n-3 +1 = 5n-3 5n+7 an，可得 an+1 an < 5n-3 5n+7 ，

所以an= an an-1 · an-1 an-2 · an-2 an-3 ·…· a3 a2 · a2 a1 ·a1< 5n-8 5n+2 × 5n-13 5n-3 × 5n-18 5n-8 ×…× 5×3-8 5×2+7 × 5×2-8 5×1+7 ×1= 1 5n+2 × 1 5n-3 ×14，

则有an≤ 14 （5n+2）（5n-3） = 14 5 （ 1 5n-3 － 1 5n+2 ），当且仅当n=1时等号成立，

所以Sn≤ 14 5 JB<2［（ 1 2 － 1 7 ）+（ 1 7 － 1 12 ）+…+（ 1 5n-3 － 1 5n+2 ）JB>2］= 14 5 （ 1 2 － 1 5n+2 ）< 14 5 × 1 2 = 7 5 ；

又a1=1，故Sn≥1，当且仅当n=1时等号成立；

综上分析，可得1≤Sn< 7 5 ，当且仅当n=1时等号成立，

所以1

解后反思：根据数列的递推关系式对数列通项an的取值范围进行估计，综合一些相关的方法（如累加法、累乘法等，这里利用的是累乘法）得以确定数列通项an的上界或下界的估计，利用数列求和的裂项相消法（这里是通过分式裂项）加以合理放缩与处理，是解决此类问题最为常见的思维方式之一.

方法2：（裂项放缩——根式裂项法）

解析：由a1=1，且an+1= an 6an+5 an +1 >0，

可得an+1= an 6an+5 an +1 < an 1 =an，则知0

由an+1= an 6an+5 an +1 去分母，可得an+1（6an+5 an +1）=an，

移项并整理可得an+1= an-an+1 6an+5 an  < an-an+1 5 an  = 2 5 · an-an+1 2 an  < 2 5 · an-an+1  an + an+1  = 2 5 （ an － an+1 ），

所以Sn=an+an－1+…+a2+a1< 2 5 ［（ an-1 － an ）+（ an-2 － an-1 ）+…+（ a1 － a2 ）］+1= 2 5 （ a1 － an ）+1< 2 5 +1= 7 5 ；

又a1=1，故Sn≥1，當且仅当n=1时等号成立；

综上分析，可得1≤Sn< 7 5 ，当且仅当n=1时等号成立，

所以1

解后反思：根据数列的递推关系式特征确定数列前后项的大小关系以及取值范围的估计，并会巧妙进行恒等变形处理，转化为根式关系，进而利用根式裂项变形，通过数列求和的裂项相消法（这里是通过根式裂项）加以合理放缩与处理，对数学运算能力与关系式的变形能力要求更高，具备较好的函数化思维以及放缩嗅觉.

方法3：（裂项放缩——待定系数法）

解析：以上部分中方法1，可得 1  an+1  < 1  an  + 5 2 ，an≥（ 2 5n-3 ）KG-*32，当且仅当n=1时等号成立，

而an+1= an 6an+5 an +1 < an 1 =an，则知0

由an+1= an 6an+5 an +1 ，两边取倒数有 1 an+1 = 6an+5 an +1 an =6+ 5  an  + 1 an ≥（ 1  an  +kJB））2，其中k>0，而上式6+ 5  an  + 1 an ≥（ 1  an  +kJB））2展开，整理可得 5-2k  an  +6－k2≥0对任意的0

由 1  an+1  ≥- 1  an  +k，可得 1  an  ≥ 1  an-1  +k≥ 1  an-2  +2k≥ 1  an-3  +3k≥…≥ 1  a1  +（n－1）k=k（n－1）+1，

则有 an ≤ 1 kn+1-k ，即an≤ 1 （kn+1-k）2 = 1 ［（2 3 -1）n+2-2 3 ］2 < 1 ［（2 3 -1）n］2 < 1 4n2 （n≥4），

所以S2021=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2021<1+ 1 12 + 1 18+10 3  + 1 4 （ 1 42 + 1 52 +…+ 1 20212 ）<1+ 1 12 + 1 35 + 1 4 JB（［（ 1 3 － 1 4 ）+（ 1 4 － 1 5 ）+…+（ 1 2020 － 1 2021 ）JB）］=1+ 1 12 + 1 35 + 1 4 （ 1 3 － 1 2021 ）<1+ 1 12 + 1 35 + 1 12 = 251 210 < 7 5 ；

又0

所以1

解后反思：根据数列的递推关系式的变形，合理引入参数进行待定系數法处理，进而结合不等式的性质加以放缩变形，再通过数列求和的裂项相消法（这里是通过平方分式裂项）加以合理放缩与处理.这里主要是通过猜想上界的形式，结合待定系数法作为中介来过渡与转化，对数学思维能力要求非常高.

方法4：（裂项放缩——数学归纳法）

解析：由a1=1，且an+1= an 6an+5 an +1 >0，

可得an+1= an 6an+5 an +1 < an 1 =an，则知0

构建函数f（x）= x 6x+5 x +1 ，易知函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，

下面利用数学归纳法来证明：an≤ 1 （2n-1）2 ，

（1）当n=1时，可得a1≤ 1 （2-1）2 =1，而a1=1，不等式成立；

（2）假设当n=k（k∈WTHZN*）时不等式成立，即ak≤ 1 （2k-1）2 ，

那么ak+1= ak 6ak+5 ak +1 ≤  1 （2k-1）2   6 （2k-1）2 + 5 2k-1 +1 = 1 （2k-1）2+5（2k-1）+6 = 1 4k2+6k+2 < 1 4k2+4k+1 = 1 （2k+1）2 ，即当n=k+1时不等式也成立；

根据（1）和（2）可知不等式an≤ 1 （2n-1）2 对于任何n∈WTHZN*都成立，

所以an≤ 1 （2n-1）2 < 1 4n2-4n = 1 4 （ 1 n-1 － 1 n ）（n≥3），

所以S2021=a1+a2+a3+a4+…+a2021<1+ 1 12 + 1 4 JB<2［（ 1 2 － 1 3 ）+（ 1 3 － 1 4 ）+（ 1 4 － 1 5 ）+…+JB<2（ 1 2020 － 1 2021 JB>2）JB>2］=1+ 1 12 + 1 4 （ 1 2 － 1 2021 ）<1+ 1 12 + 1 8 = 29 24 < 7 5 ；

又0

所以1

解后反思：根据数列的递推关系式特征确定数列前后项的大小关系以及取值范围的估计，通过先猜后证，对数列通项an的变化速度有一个初步的判断，结合猜想并利用数学归纳法加以证明，得以确定数列通项an的上界估计，最后通过数列求和的裂项相消法（这里是通过分式裂项）加以合理放缩与处理.其实，该方法中的不等式也可以是an≤ 1 n2 ，结合该方法也可以得以解决.

3链接高考

以上模拟题类似于2021年高考数学浙江卷第10题，而且数列的递推关系式更加复杂，难度也比高考真题有所提升与深入，解决问题的技巧与方法基本相当.

高考真题：（2021年高考数学浙江卷第10题）已知数列{an}满足a1=1，an+1= an 1+ an  （n∈WTHZN*）.记数列{an}的前n项和为Sn，则（）.

A. 1 2 

B.3

C.4

D. 9 2 

答案：A.

该高考真题的解决方式也是多样，可参照以上模拟题的裂项放缩技巧與方法加以分析与解决，这里不多加以叙述与展开.

4教学启示

4.1掌握裂项的基本类型，熟知裂项模式

裂项相消法是数列求和常用的解题方法，常见的数列通项的裂项类型有：①利用分式的基本性质进行裂项；②利用根式的分母有理化进行裂项；③利用其他相关等式的运算进行裂项等.

4.2善于裂项的基本步骤，把握裂项“三关”

裂项相消法进行数列求和需过的“三关”：第一关是定通项关，即会利用求通项的常用方法，求出数列的通项公式；第二关是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项；第三关是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和.

参考文献：

［1］俞文锐.基于数学抽象的“裂项法”教学设计探析［J］.中学数学月刊，2022（7）：37-39+61.

［2］王翠娜.基于建构主义的数列裂项求和探析［J］.教学考试，2022（2）：55-59.