规范叙写与逻辑推证并重

王杰

摘要：几何是一门结构严谨的学科，几何证明大题也是当前中考的必考题.然而不少一线数学教师总是抱怨学生在做这一类题时出现“会而不对，对而不全”的现象，学生对此也很苦恼.究其原因，主要是在答题过程中：几何语言书写不规范、逻辑推理不严谨等.针对这一现象，本文谈谈如何帮助学生提高几何证明大题的正确率．

关键词：几何证明；规范叙写；逻辑推证

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，推理能力是初中阶段数学核心素养之一，推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神.［1］然而中学生的几何推力能力存在一定的缺陷，主要原因是几何语言的掌握和书写不规范、逻辑推理过程不够严谨等.下面将以一道经典试题为例，从试题分析、证法评析、典型错误以及教学启示这四个方面浅谈几点看法.

1试题与分析

如图1，已知AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC、EF相交于点M，且AM=CM.

（1） 求证：AE∥CF；

（2） 若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC.

本题为几何证明题，题设条件为平行、一组角相等以及一个中点.第（1）小题证明另一组平行线，第（2）小题证明垂直平分线.主要考查平行线的性质和判定及等腰三角形的判定和性质等基础知识，考查想象能力、逻辑推理论证能力及转化思想方法.题目考查知识点广泛；设计常规朴实，由易而难；语言表述简明扼要，思路明朗，有利于学生上手，属于承上启下的常规题.

2证法与评析

本题看似朴实无华、平淡无奇，但其证明方法已将基础知识、基本方法、基本技能和数学素养融为一体.本题是对最基础、最重要知识点的单独考查，关注通性通法，淡化特殊的技巧，涉及的恰是几何学习中的关键问题.因而对学生叙写的规范性和逻辑推理论证能力要求明确而具体.

第（1）问证法单一，下面着重分析第（2）问，以下是常见的几种证明方法：

（1） ∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

又∠BAE＝∠DCF，

∴∠BAC -∠BAE＝∠DCA-∠DCF，

即∠EAM＝∠FCM，

∴AE∥CF．

（2） 证法一： ∵AM平分∠FAE，

∴∠FAM＝∠EAM，

又∠EAM＝∠FCM，

∴∠FAM＝∠FCM，

∴△FAC是等腰三角形，

又AM＝CM，

∴FM⊥AC，即EF 垂直平分AC．

证法二：∴∠FAM＝∠FCM，（同证法一）

∴FA=FC，

又AM＝CM，

∴F、M分别是直线AC垂直平分线上的点，

∴直线FM垂直平分AC，即EF 垂直平分AC．

证法三（思路）：先证△AEM≌△CFM（ASA）得AE=CF;再证FA=FC得AE=AF;进而证△AFM≌△AEM（SAS）得∠AMF=AME，再利用平角定义得出∠AMF=90°，进而推出EF垂直AC，即EF 垂直平分AC.

第（1）小题从学生答题情况来看，大多数学生熟练掌握并且灵活运用了这几个定理，只有少数学生因写错关键词的字母而丢分；第（2）小题证法一，由第（1）问的平行和角平分线推出△FAC的两底角相等，再判定是等腰三角形，然后利用等腰三角形的三线合一的性质推出结论；证法二是利用两点确定一条直线，证明 F、M分别是直线AC垂直平分线上的点，进而推出结论；证法三通过全等得出角等，再利用平角的定义得出垂直，从而得证.从阅卷情况来看，此问学生答题情况不太好，主要问题就是证明过程不规范、逻辑推理混乱.

3典型错误分析

这道题目，不偏不怪，非常基础，但是学生在答题中普遍存在“会而不对，对而不全”的现象，究其原因，主要是败在一些“小问题”上.下面就从学生容易出错的几个方面进行分类剖析，挖掘失误的根本原因，从而有助于学生在高考中减少这些错误的产生.

3.1叙写不规范

阅卷过程中发现：解答思路正确，逻辑链条明晰，但由于不注意准确表达和规范书写而被扣分的学生不在少数，很是令人扼腕.

3.1.1字母、符号使用混乱

學生答题过程中的字母错、符号错比较普遍，成为答题整体失误的根源.个别学生答题时，E、F混写、各种字母看错；平行、垂直、等号符号乱用.这些情况着实令人惋惜，但又不能简单地归结为粗心，多半是平时不良的解题习惯和态度所致.

3.1.2表述不严谨，严重跳步

第（2）小题的证法一有几个得分点很多学生因表述不严谨而丢掉分数：第一，在证明△FAC是等腰三角形时很多同学这样写， ∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠EAM=∠FCM.他们误认为第（1）小题有了∠EAM=∠FCM，第二小题要用时可以不写，这是不对的，因为第（1）小题中已经写的条件、结论，在第（2）小题中引用时必须交代清楚，这样才能保证推理的连续性、严谨性，另外由角平分线只能得到两个角等，不能直接得到三个角等.第二，在利用三线合一时，个别同学没有写“AM=CM”，认为题目中已有的少写无影响.第三，在用证法三时，直接由△AFM≌△AEM（SAS）得∠AMF=AME=90°，跳过了平角定义这一步.由此可以看出，在解答几何题中，丢分往往在“举手投足”之间，表述若不严谨，一不小心就会造成“会而不得分”的结果，实属遗憾之至.

3.2逻辑混乱

阅卷中还发现，导致证明错误的主要原因不仅在于知识，更重要的在于逻辑.很多答题能力差的学生在解答过程中表现出逻辑较混乱，比如：循环论证、主观臆断、没有条理的罗列，因果关系倒置等等，进而导致“一步错步步错”的现象发生.

3.2.1主观臆断

凭直觉判断或缺乏论证就下结论是学生常犯的错误，这也是学习几何的大忌.例如，第（1）小题只证明了AE∥CF，很多学生把由图看出的结论直接拿来当条件使用，凭空添加条件AF∥CE;其次，第（2）问已知AM平分∠FAE，不少同学直接认为AM平分∠FCE，以此来证明AE=CE；此外，一些同学证明△AEM≌△CFM得出EM=FM（即M是中点），再由AM平分∠FAE，得出AM⊥EF，看似没问题，实则是在利用“等腰三角形三线合一”的逆命题，而这个命题不是定理不可以直接拿来用，这也反映了学生对题目理解不透彻、对概念定理不熟悉、逻辑不清晰、急于求成等问题.

3.2.2虚假理由

部分学生对于几何相关概念、定理并未真正理解、掌握，因此在几何证明时，往往会任意推广引申定理，进而得出有利于论题成立的“假”判断，并将其作为论证的根据，导致证明出现误差甚至错误.这样的证明违反了逻辑上的充分理由律，“虚假理由”是初中生证明过程中出现频率较高的错误.例如，第（2）问证法二，很多同学证明了FA=FC后，∴EF 垂直平分AC．这个证明方法从表面看没有什么漏洞，但是由FA=FC只能得出F是直线AC垂直平分线上的点，而过点F的直线有无数条，AC的垂直平分线不一定是EF，犯了“虚假理由”的错误.

3.2.3循环论证

循环论证是证明题中最容易出现的、也是最隐蔽的逻辑性错误.每个逻辑段由条件和结论构成，条件是已知或已证（前面逻辑段的结论）的语句，结论则是由公理或定理推理而得的新判断，而循环论证就是把待证的结论当作了推理的条件.看似正确的证明过程实际上就是“鸡生蛋、蛋生鸡”的往复论证.其实，这种循环论证的背后也反映出学生对问题理解不深刻，基础不扎实，推理论证能立薄弱.

4对几何教学的几点思考

熟知定理、证明规范、逻辑推理严谨是学生得分的关键.那么如何在几何教学中做到这几点，从而避免学生犯上述不必要的错误呢？可以从以下三个方面入手：

4.1立足课本，回归基础知识

从试题解答暴露出的问题可以看出学生的基础掌握不扎实，而不是技巧应用困难.几何中涉及的概念、性质、定理较多，知识点之间的联系也比较紧密.基础不扎实的学生，在考试极度紧张的环境下，很容易因知识掌握不牢而导致逻辑混乱、表述不严谨.因此，在平时的教学中，无论是概念、命题教学还是解题训练，都必须紧紧围绕基础知识去展开.在平时的练习中要注意归纳和概括，帮助学生梳理知识形成系统，对几何的知识点准确把握，掌握对一类题目的常规解法，熟記定理中的每一个条件，切勿为追求进度效率而忽视部分学困生，也切勿过于追求解题技巧而忽视课本基础知识.

4.2规范表述，合理划分步骤

在几何教学中，很多数学老师只注重画图分析、培养学生解题能力与技巧，却往往忽视了对学生答题规范性的培养和训练，久而久之，学生就误认为题目只要解出来、证出来就行，过程怎么表述也就无所谓，最终导致学生在考试中“会做而不得分”. 因此，合理划分步骤、规范表述在几何教学中非常重要.比如，在平时训练时，教师要教学生学会划分解题步骤，理清逻辑段之间的顺序，并且对有效得分点做重点训练，使学生明确哪些步骤是可省的，哪些是一定不能省的，在做题时尽量按得分点、按步书写，严格训练；再比如，为了避免出现“笔误”，教师在平时批阅作业和试卷时，一定要严格要求学生，不姑息字母、数值、数学符号等一些看似不起眼的错误，这样学生逐渐就会意识到规范证明的重要性，意识到唯有解题规范，思维的轨迹才能显现清楚，做到“言之有理，落笔有据”.

4.3缜密思考，强化推理论证

养成“缜密思考，严格推理论证”的习惯应当作为几何教学的关键和落脚点.然而，在学习过程中，学生很容易出现逻辑上的错误，因为这类错误往往隐蔽性强，而且不易察觉，比如循环论证、主观臆断、因果倒置等.那么如何才能做到缜密思考，严格论证，推理严谨呢？可以考虑采用“曝光法”.即教师在平时改作业时，把学生的典型逻辑错误曝光在黑板上，让学生发现错误，纠正错误，并给出正确的解题步骤，最后让学生反思“如何避免这类错误”.久而久之，学生就会潜移默化地在寻找证据时采取严肃认真的态度，养成严格论证的习惯，进而强化学生的推理论证基本功.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.