星下点轨迹恒定的低轨星座构型设计方法

张雅声,贾璐,于金龙,梁爽

航天工程大学,北京 101416

1 引言

当前,巨型星座已成为太空领域备受关注的研究热点,越来越多的国家或机构提出低轨巨型星座计划[1],其中,最受关注的“Starlink”星座[2]和“OneWeb”星座[3]正按计划持续部署,中国也相继提出“鸿雁”“虹云” “国网”等低轨大型星座计划[4]。对于巨型星座这一复杂而庞大的系统,不少学者从空间安全、网络性能、运控管理、应用潜能等多个角度开展了充分研究[5-7],但针对低轨巨型星座构型设计的研究仍十分匮乏,而星座的构型设计至关重要,它直接决定了空间系统的服务性能,是建设巨型星座系统的基础和关键。在此背景下,本文将针对巨型星座的构型设计问题开展研究。

星座构型设计方法主要分为两类,分别是几何解析法和优化设计法[8]。几何解析法以空间几何、轨道动力学为理论基础,研究星间几何拓扑关系,并用编码的方式确定卫星轨道参数。该方法具有形式简洁,卫星空间分布规律性较强,易于星座构型维持控制等优势。Walker星座是该方法的典型,它采用卫星总数、轨道平面数和相位因子3个参数编码,被广泛应用于各导航星系统、铱星系统等,且“Starlink”“OneWeb”星座也以Walker星座作为基础构型。优化设计法利用遗传算法、差分进化算法、蚁群算法等优化算法,搜索任务驱动下的目标函数在可行域内的最优解。该方法在求解难以建立解析关系式的复杂问题时具有优越性,但不具备可解释性。

由于巨型星座卫星数量大,变量多,采用优化设计法时存在搜索空间大,算法难以收敛的问题,因此,几何解析法更适用于巨型星座构型设计。参考几何解析法,本文提出了一种恒定轨迹低轨星座构型设计方法,该构型应用于巨型星座任务的优势主要体现在以下3方面。其一,星座内卫星在空间中的分布足够均匀,覆盖范围可兼顾各时区。其二,每颗卫星的基本轨道属性相同,所受摄动力影响基本一致,减轻了星座运行过程中构型控制的负担。其三,由于巨型星座卫星数量巨大,且LEO卫星相对地面具有高动态性,使得空间系统与地面系统的关系错综复杂,尤其对装有定向天线的地面设备提升了设计与控制难度,天线需要不断的定位、瞄准、跟踪卫星。而本文提供的恒定轨迹星座构型中所有卫星永远沿固定地面轨迹运行,意味着位于任意位置的地面设备与星座中任意卫星的方位关系相同,地面设备对卫星的跟踪捕获有规律的周期性重复,既有效降低星地系统协同的复杂度,又一定程度上保证了信号传输的强度与稳定性。

综上所述,本文给出了一种巨型星座设计的新构型,有助于丰富巨型星座设计理论,并为巨型星座任务的工程实践提供更多选择。

2 低轨恒定轨迹星座构型建模

本文设计的低轨恒定轨迹星座是指星座内所有卫星永远沿一条固定的地面轨迹运行。该星座需满足两个条件:第一,星座内所有卫星共同扫过同一条星下点轨迹,可通过合理设计星间相位差、升交点赤经差实现;第二,该轨迹不随时间产生漂移,利用回归轨道地面轨迹周期性重复的特点可满足该要求。基于这两个条件,建立星座构型设计模型,具体如下。

2.1 考虑J4摄动的回归轨道设计

回归轨道是指卫星的星下点轨迹在特定周期内重复的轨道[9]。回归轨道的回归周期Tr与卫星的交点周期TΩ(卫星连续两次经过升交点或降交点的时间)、格林威治周期TΩG满足下列关系:

Tr=NpTΩ=NdTΩG

(1)

式中:Np为一个回归周期内,卫星绕地球旋转的圈数;Nd为地球在回归周期内旋转的恒星天数。Np,Nd皆为整数。

卫星平纬度幅角为近地点幅角与平近点角之和:ω+M,其变化范围为[0,2π],那么,卫星的交点周期计算为:

(2)

(3)

在地球引力位函数中,利用球函数展开式导出的由地球质量非均匀分布产生的摄动项[10]用R表示。

(Cn,mcosmλ+Sn,msinmλ)

(4)

式中:r,φ,λ分别为卫星在ECEF坐标系下的地心距、纬度、地心经度;Pn,m(sinφ)为包含带谐项系数Jn的Legendre函数;Cn,m,Sn,m为田谐项系数。

对于回归轨道,主要关注摄动项对轨道的长期影响,摄动函数中的田谐项因地球自转而部分抵消[11],因此,本文计算中忽略田谐项影响。实际情况下,带谐项中J2,J3,J4为主要摄动项,其余带谐项摄动系数量级较小,在计算回归轨道时可忽略不计。将R转换到轨道坐标系中,且仅考虑J2,J3,J4摄动项的表达式为:

(5)

其中:

(6)

根据EGM2008模型:J2=1.0826355×10-3,J3=-2.5324105×10-6,J4=-1.6198976×10-6。

显然,摄动力伴随真近点角变化呈现周期性变化,在轨道设计时,通常采用平均化方法规避快变量的瞬时变化[12]。在一个轨道周期内,摄动函数R关于真近点角f在区间[0,2π]上的平均值为:

7(4512+22560e2+8640e4+60(8+40e2+15e4)cos4i-100e4cos2(i-2ω)+3200e2cos2(i-ω)+

1600e4cos2(i-ω)+25e4cos4(i-ω)-6400e2cos2ω-3200e4cos2ω+150e4cos4ω+

3200e2cos2(i+ω)+1600e4cos2(i+ω)+25e4cos4(i+ω)-100e4cos2(i+2ω))]

(7)

(8)

(9)

在巨型星座任务背景下,为保证大量卫星在低轨空间内有序运行,并保证卫星服务质量的稳定性,考虑所有卫星为近圆轨道,即e→0,ω→0。回归轨道的倾角i根据具体任务的纬度带覆盖需求确定。L为在合理范围内给定的正整数比值。最终,回归轨道设计问题转化为在给定参数e,i,ω,L条件下,求解方程(9)关于唯一未知数a的根。对于复杂函数求根,可在精度允许范围内,利用牛顿迭代法求解。

2.2 共星下点轨迹轨道设计

第2.1小节研究了J2～J4项摄动影响下的回归轨道设计方法,确定了恒定轨迹星座内卫星的通用轨道参数a,e,i,ω。本小节的主要任务是讨论共星下点轨迹卫星的特性,确定星座内所有卫星的分布方式,即确定每颗卫星的升交点赤经Ω与平近点角M。

通过研究地球与卫星轨道面间的相对运动关系,可以确定共地面轨迹的两卫星的ΔΩ与ΔM[13]。图1所示为共星下点轨迹卫星相对位置示意。图中白色曲线分别为两卫星S1、S2的运行轨道,两轨道具有相同轨道根数a,e,i,ω。黄色夹角为两卫星的升交点赤经之差ΔΩ,蓝色夹角为相位差ΔM。

图1 共地面轨迹两卫星相对位置示意

如图1所示,由于地球自西向东转动,那么空间中位于西侧的卫星S2,其星下点将首先划过地表某一特定区域,为使卫星S1的星下点也沿相同轨迹行驶,就要求随着地球自转卫星S2扫过的地面轨迹经过卫星S1所在轨道正下方时,卫星S1的相位与初始时刻卫星S2的相位相同。也就是说在初始时刻,位于东侧的卫星S1,其相位应当落后于卫星S2,以保证随着地球东进,卫星S1能够恰好经过卫星S2扫过的轨迹。

(10)

星下点轨迹重合(要求东侧轨道面上的卫星相位落后于西侧卫星)。

2.3 星座轨道构型

尽管通过卫星间相位差、升交点赤经差的合理设计,可以得到一个所有卫星地面轨迹重合的共星下点轨迹星座,但由于地球的自转,卫星经过同一地面目标时的轨迹将会在东西方向偏移,共地面轨迹的设计就失去了意义[14]。故,为使星座内所有卫星经过同一地面目标时,与地面目标保持相同的方位关系,即星座的地面轨迹恒定,在共星下点轨迹设计的基础上,还需加上回归轨道设计的条件。

结合式(9)(10),可得:

(11)

即,当星座内卫星之间满足ΔM,ΔΩ比值为回归因子L时,该星座为恒定轨迹星座。恒定轨迹星座的实质是由数颗满足共星下点轨迹条件,且位于回归轨道上的卫星组成的星座,每个轨道面仅有1颗卫星。

综合以上分析,可总结出恒定轨迹星座设计模型,具体如下:已知回归因子L以及卫星基本轨道参数e,i,ω,通过第2.1小节中回归轨道设计方法确定轨道半长轴a。根据巨型星座的基本特性,星座需兼顾全球范围的覆盖需求,即卫星应充分散布于整个空间球域。设定星座内卫星总数为N,显然,星座的轨道平面数也为N,那么相邻轨道面之间的升交点赤经为:ΔΩ=2π/N,根据式(11)可得相邻轨道面上卫星的相位差为:ΔM=2πL/N。

最终,恒定轨迹星座构型设计模型表示为:

(12)

式中:M0,Ω0为星座内基准卫星的初始相位、升交点赤经,k=1,2,…,N。

由于ΔM∈(0,2π),由ΔM与ΔΩ的关系可知,ΔΩ的取值范围为(0,2π/L),从而可得到恒定轨迹星座卫星总数N的取值应当满足:

N>L

(13)

综上所述,恒定轨迹星座的星座构型在给定基本轨道参数e,i,ω情况下,可通过2个构型参数[L,N]确定。

3 星座构型设计仿真分析

为验证本文提出的恒定轨迹星座构型设计的有效性,进行如下仿真分析。

首先,根据第2.1小节中的方法,对不同回归因子L,轨道倾角i影响下的回归轨道进行仿真计算。令卫星偏心率e=10-5,近地点幅角ω=10-5。通常设定回归轨道的回归周期为1个恒星天数,此时,回归因子L表示卫星在1天内绕地球旋转的圈数,根据LEO卫星轨道周期范围大致推算,L的合理取值空间为L∈[10,16],且L为整数。考虑地球非球形摄动J2～J4项影响,计算回归轨道的轨道高度,得到结果见表1。

表1 LEO回归轨道仿真计算结果

由表1结果可以看出,回归轨道的轨道高度随回归系数L增大而减小,随轨道倾角i增大而增大,且L越大,i对于回归轨道轨道高度的影响越显著。结合工程实际,轨道高度过高或过低都将给巨型星座的部署和构型维持带来挑战。当L=16时,轨道高度在200km附近,受大气阻力影响明显,星座构型维持代价较大;当L<13时,轨道高度过高,超过1600km,一方面对巨量卫星的发射部署带来挑战,另一方面影响了载荷性能(例如,通信卫星数据传输时延增大,遥感卫星分辨率降低)。因此,对于LEO回归轨道,L取值为13,14,15较为合理,其中,权衡运载能力、载荷性能、构型维持等诸多因素,当L=15时,轨道高度在500km附近,是最理想的巨型星座部署高度。

为更直观展示本文提出的回归轨道计算方法的有效性,选取表1中任意一组轨道参数,进一步仿真得到该轨道的星下点轨迹,结果如图2所示。

图2 卫星轨道回归性对比

图2(a)为根据本文方法计算得到的回归轨道星下点轨迹,仿真时间为7天,回归因子L=15,轨道倾角i=70°,轨道高度H=517.8227km;图2(b)作为对照组,仿真了7天内,轨道倾角为70°,轨道高度为470km的非回归轨道的地面轨迹。显然,图2(a)中回归轨道仅留下1天的星下点轨迹,仿真时间内卫星每天扫过的地面轨迹完全重合,而图2(b)中非回归轨道则随时间逐渐偏移原轨道,轨迹在地表呈细密网格状。通过图2星下点轨迹的对比说明了本文回归轨道设计方法的有效性。

在图2(a)中卫星轨道基础上,根据第2.3小节中的恒定轨迹星座设计模型,进行仿真分析。仿真参数设定为:轨道倾角70°,卫星数量为270,回归因子L=15,基准卫星的初始轨道参数为M0=0,Ω0=0,仿真持续时间为7天,仿真时间步长为60s。该星座相邻轨道面的ΔΩ为1.333°,相邻轨道面上的卫星相位差ΔM为20°。

图3所示为构型参数[270,15]的LEO恒定轨迹星座构型仿真图,图3(a)为星座在运行7天后扫过的地面轨迹,图3(b)为对应的星座空间三维构型。仿真结果显示,所有卫星均沿同一条星下点轨迹运行,并且随时间推移,该轨迹固定不变,也就是说,在不考虑其他摄动因素影响条件下,该星座内所有卫星将永远沿着图3(a)中所示的恒定轨迹运行。星座构型3D图中所示,所有卫星独自运行于各自轨道面上,形成270个轨道面,均匀分布于天球表面。综上,仿真结果较理想,满足了恒定轨迹星座的设计目标,验证了本星座构型设计方法的有效性。

图3 卫星轨道回归性对比

4 结论

本文提供了一种适用于巨型星座任务的LEO恒定轨迹星座构型解析设计方法,该构型用回归因子、卫星总数2个参数进行编码。最终仿真结果表明,该星座构型设计方法确保了所有卫星共星下点轨迹的同时,地面轨迹不随时间发生漂移,符合恒定轨迹星座的设计预期,验证了本构型设计方法的有效性。本星座构型确保了空间系统与地面系统的方位一致性,极大程度降低了星地系统协同的复杂度。

Starlink星座、OneWeb星座均以Walker星座作为基础构型,与此类似,本文提供的恒定轨迹星座构型也可作为巨型星座的基础构型,通过多个该星座的拼接、组合以实现具体任务的对地覆盖需求。除通信应用外,低轨恒定轨迹星座构型应用于区域对地观测星座,能够确保对特定目标区域的持续观测,获取实时情报。